当前课程知识点：线性代数(1) > 第十二讲 四个基本子空间的正交关系 > 12.1 引言 > 12.1
大家好
我们从前面几讲呢
大家已经学习了向量空间
和向量空间的基 维数等概念
我们知道向量空间的基
相当于一个坐标系
但是大家直观上呢
只知道我们学习过直角坐标系
那么这种直角坐标系呢
我们在向量空间里面
还没有体现出来
我们将在后面几讲中呢
将讨论这个问题
我们先从第一讲讨论
向量空间这种正交和垂直的概念
然后我们将把这个应用到
解方程组上
这是我们第一讲的主要内容
大家好
从这一讲我们开始确切地讨论
我们通常的直观的
直角坐标系这种概念
在空间里面的确切的含义
那么我们先来复习一下
我们前面的一些内容
设A是一个m乘n阶的矩阵
则我们有四个基本子空间
那么A我们假设它的秩是r
这四个子空间是这样四个
这个是Ax等于0的解
这个是A的行空间
这个是A的列空间
这个是A的左零空间
那么这些空间的维数
我们都列在这儿
从这一讲
我们会更细致地看出
这四个基本子空间之间的关系
为了后面的内容
我们先举一个例子
复习一下前面的内容
我们假设A呢
是等于B1 B2两个矩阵的乘积B1是n乘r阶阵
B2呢是r乘n阶矩阵
后面这两个矩阵呢
我们假设它的秩都是r
也就是说B1呢
实际是一个列满秩矩阵
B2是一个行满秩的
这是一个列满秩
这个是个行满秩的
那么把这样两个矩阵我们乘起来
我们可以看到A呢
它是一个n乘n的矩阵
A的秩呢它是r
那我们现在来证明这个事实
首先A的每一列
是B1的列向量的线性组合
这是从矩阵乘法里面可以看出来
所以A的列空间
包含在B1的列空间中
那么对偶的呢
A的每一行
是B2的行向量的线性组合
所以A的行空间肯定是
B2的行空间的一个子空间
第三条我们可以看出
B1是列满秩阵
列满秩矩阵呢
它的样子都是这种瘦长形的
因为列比行一般来说少
所以这种瘦长形的矩阵呢
我们可以从左乘一个可逆矩阵
使得把它化成这种简单的形式
你比如说拿个很简单的例子
1 2 这是个列满秩矩阵
那么我们可以左乘一个什么矩阵我们可以从这儿看到
1乘个-2可以把这个2消掉
所以我们就乘一个初等阵
1 0 -2 1
那么用这个矩阵去乘一下
就变成1 0了
所以就是这样一个形式
对偶的行满秩矩阵呢
行满秩矩阵都是一种扁的
胖形的这种矩阵
这种矩阵呢
我们可以从右乘一个矩阵
也就是说右乘以一个矩阵
实际上对它做列变换
可以把它化成一个
这种Ir 0的形式
第四条我们看到
A的列空间呢
跟AE2的列空间是一样的
因为E2是个可逆矩阵
一般来说我们知道
A乘上一个E2
按定义来说呢
实际上是A的列的线性组合
所以这个应该是包含在CA中的
但是我们知道E2是个可逆矩阵
所以AE2再E2逆又是它的
那么这个呢正好是A
这个正好等于CA
所以我们可以看到
CA等于CA（E2）
那么A乘E2呢
A是等于B1B2
我们最后就写成这种形式
因为B2E2等于这种形式
所以我们从这儿可以看出
A的列空间呢
跟B1的列空间是一样的
开始我们只是推出了它是子空间
那么由这个更细致的分析呢
它实际上是等于B1列空间
那么我们马上就可以看到
它们的维数应该也一样的
但是A的秩
跟A的列空间的维数是一样的
那么B1的秩呢
跟B1的列空间维数是一样的
所以由此我们看到
A的秩等于r
好 我们再来看一个例子
设A是m乘n阶的矩阵
我们从A的行空间
和A的零空间里面
找一个共同的向量v
假如说存在的话
那我们看这种向量满足什么性质
那么这种向量
首先A左乘这个向量是0
因为v属于NA
按定义它应该是这个
另一方面呢
v又是A的行向量的线性组合
因为我们一般喜欢竖着写
所以我就行向量转置的线性组合
因为我们一般把一个向量
写成列向量的形式
那么我们把这个确切的写出来
就是我们知道CA转置
我们假设A呢
是写成这样一个行向量的形式
那么CA转置呢
我们可以看到
它应该是c1α1加上cmαm
就是我们这些向量呢
我们一般默认的都是竖着写的
所以就是列向量的形式
所以我们CA转置
实际上是行向量的线性组合
但是我们用竖着写法
ci属于实数
那么v属于CA转置
所以v肯定是这样一个
α1到αm这些向量的
一个线性组合
那么我们现在呢
用A乘v等于0
那么我们可以推出来
α1 v都等于0 αm v等于0
因为A乘v呢 我们知道
就等于α1转置到αm转置乘上v
那么它写进去呢
就是这些内积 实际上
所以我们最后推出来了
这些都等于0
这些都等于0呢
但是v本身又是α1
到αm的线性组合
它又跟它们做内积全是0
所以我们就推出来了
v转置乘v也是0
那么这个呢 实际上我们知道
它应该是v的分量的平方和
所以最后我们推出v就是0
我们得到一个什么结果呢
我们得到了这样一个结果
就是v属于CA转置和NA的交
那么我们就最后推出v就是0
这告诉我们CA转置和NA呢
它们的交只有一个0向量
那么同样的道理呢
CA跟NA转置呢
它们的交也是只有一个零向量
这个从直观上
我们怎么来看这个呢
比如说A取1 2 3
那我们来看一下
CA转置是什么呢
就是A的行的线性组合
所以就是c倍的1 2 3
好 那我们看NA是什么呢
NA实际上
就是所有的x y z满足
x+2y+3z=0 这实际上是个平面
平面的法向量呢
跟1 2 3这个向量是平行的
所以我们可以看到
CA转置和NA呢
它们的交是0
实际上我们可以更确切地看
CA转置和NA不但交是0
而且它们是垂直的
从这个例子中看
我们看这不是偶然的
我们再来看一个例子
A是这样一个矩阵
那么我们看到这样一个矩阵呢
它的列空间
就是这三列它们线性组合的全体
我们看到第二个分量都是0
所以呢它是这样一个空间
这个空间我们可以看到
它恰好就是xoz平面
因为这个矩阵比较特殊
A和A转置实际上是一样的
所以CA转置和CA是一样的
就是A和A转置是一样的
我们也计算NA
NA是0 1 0的c倍
那么这正好是我们的y轴
所以我们看到CA转置
是xoz平面 NA是y轴
这恰好是垂直的关系
就是CA和NA转置是垂直的
同样的
CA转置跟NA也是垂直的
那么我们这节课的主要目标呢
我们就是来验证
CA转置和NA是垂直的
CA和NA转置是垂直的
那么我们
通常理解这个垂直的概念
都是直观的理解
我们现在呢
要从直观的把垂直的概念
转化成我们严格的数学定义
就是什么时候
说两个空间是垂直的
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
