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Video课程教案、知识点、字幕

我们再谈一下

质心系中的动能定理

质心系是非常重要

又非常特殊的参考系

所以它的动能定理

就是跟一般参考系不一样

首先

我们证明一个重要结果

什么重要结果呢

在质心系里面

惯性力做的合功是零

这是非常重要的一个结果

对我们用质心系来讨论能量问题

非常重要

所以首先证明这个结果

如果质心系是非惯性系的话

第i个质点它受的惯性力

就是等于负的mi乘以ac

ac就是质心加速度

因为质心系

相对于惯性系

是个平动的非惯性系

所以它的惯性力加速度

就是它的质心加速度

所以第i个质点受到的惯性力

就是负的mi乘以惯性力加速度

于是

我们就可以计算惯性力的合功

主要讨论

元过程里面做的元功

那么惯性力做的合功

就是每个质点惯性力

做的功求和

那么因为这ac是常矢量

可以把它提到加号的外面去

就可以把它写成

负的ac点上∑midri′

这个求和号跟这个微分号

还可以交换

就变成了d（∑miri′）

大家一看到这儿就知道了

我们质心系的第一个重要性质

就是这个求和是零

所以这个的点积也就是零

所以质心系里面

惯性力做的合功是零

所以

我用质心系

来讨论动能定理的时候

就不必担心惯性力的影响

所以如果质心系是惯性系

那么在质心系里就直接应用

惯性系的动能定理

如果质心系是非惯性系

在讨论的时候

也不必讨论惯性力的影响

也就是说无论质心系是否是惯性系

在质心系中

作用在质点系上的所有真实力

它的功的和

等于质心系里面

它的总动能的增量

所以就不必考虑惯性力的影响

我用质心系来讨论

动能的问题

还要涉及到

质心系里边动能

跟惯性系动能之间的关系

这个关系也比较简单

比一般的参考系简单

这个关系叫柯尼希定理

这是在惯性系里边

质点系的动能

总动能

等于谁呢

等于质心系里边的总动能

加上所有质量集中在质心上

那么质量乘以vc²/2

就相当于

把所有质量集中在质心上

它质心大质点所具有的动能

这就是柯尼希定理

我再说一遍

惯性系看质点系的总动能

等于质心系看质点的总动能

加上

把所有质量集中在质心上的

质心大质点的动能

这就是柯尼希定理

我们看一下它的证明

这证明很简单

惯性系看总动能

等于惯性系里边

它每个质点的速度的平方

乘以质量再除以2

就是mivi²/2

把vi²写成v·v

就是这个

第i个质点动能再求和

这个vi

我们因为质心系

是个平动的参考系

所以它的vi

等于它的相对速度加上vc

牵连速度vc

于是变成这两个的点积

点积以后应该出来四项

有两项相同

所以一共是整体看三项

这一项是vi'·vi'

大家一看就知道

这是在质心系里边的动能

再看这个

这个是∑mivc²/2

因为vc是可以提出来的

二分之一也可以提出来

对所有质量求和

就相当于

整个的质量乘以vc²/2

所以这个就是

把质量集中在质心上的

质心大质点的动能

这一项大家看

这一项vc可以提出来

而这一项一求和

又是质心系的重要性质

它又是零

所以这一项没有

于是只剩下两项

这一项是质心系中的动能

这一项是质心大质点的动能

这就是我们说的这个结果

我们就加以证明

这个关系式经常要用到

所以大家要记住

下面我们说一下

惯性系中质点系所受力系

就是受到的所有力

做功的分解

这个大家知道就行了

这个是在惯性系里看

所有的力它做的功的和

做的元功之和

就是Fi·dri

第i个质点的位移

那么又是用质心系的性质

质心系的性质

绝对参考系里面的绝对位移

等于质心系的相对位移

加上质心的位移

然后把它点积出来之后

这就是这个结果

这就是Fi

第i个质点所受的合力

点上它在质心系里边的位移

所以这个求和之后

就是在质心系的做的总功

那么这一项我们看

这一项Fi·drc

这本来是点完再求和

因为它是常数

可以先求和再点积

所以先求和

就是把所有的

作用在质点系的力先求和

再点上质心的位移

应该是质点系所受的

力的矢量和点上它

而我们又知道

内力矢量和是零

所以就相当于

作用在质点系上

所有外力的矢量

和点上drc

这就是外力对质心做的功

所以就可以写成这两项

一项质心系里面

这些力做的功之和

一个就是外力矢量和

对质心做的功

就是这个结果

所以它可以分解成一个

质心系中力系的功dW′

和外力矢量和

对这个质心做的功

可以分解成这两项

所以大家知道就可以了

为了说明这个

我们还可以

从另一个角度来说一下

大家也是知道一下就行了

我们知道

惯性系柯尼希定理

柯尼希定理呢

我这个惯性系里边的动能

等于质心系动能

加上质心大质点的动能

所以对它取微分

对这个惯性系里

总的动能进行微分

就可以分解成一个

质心系动能的微分

加上质心大质点的动能的微分

在质心系里讨论问题的话

质心系动能的微分应该等于

所有的力在质心系做的功

所以这就是这一项

然后再由质心运动定理

质心的加速度

决定于外力矢量和

于是可以推导出

矢量和对质心做的元功

就等于质心大质点动能的增量

这样的话我们就看到

dW就等于dW'+F外·drc

跟我们刚才讨论的一致

所以刚才那个分解

可以换一个角度来说明

不过这一部分总的来说

还是给大家介绍内容

大家知道有所了解就可以了

好这一节就讲到这儿

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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