当前课程知识点：力学 > Ch5.角动量 > §4.刚体 (下) > Video

返回《力学》慕课在线视频课程列表

Video在线视频

Video

下一节:Video

返回《力学》慕课在线视频列表

Video课程教案、知识点、字幕

我们下面有些附加内容

这些附加内容

都不是基本要求

很多你了解一下就可以了

但是你有了了解

那么你就知道有这样的问题

将来如果你要做深入研究的话

你就可以继续研究

第一个附加内容

就是对于O点的角动量

和角速度的关系

我们了解就可以了

如果你想深入的话

你要看一些个参考文献

继续深入研究

现在我们提两个问题

就是说

我如果不给你讨论附加内容的话

你很可能犯一些个很严重的错误

所以我们通过问题体现出来

第一个问题

现在刚体绕z轴

以ω做定轴转动

于是我们知道

对于z轴的角动量

等于转动惯量乘以ω

这是我们已经知道的

那我问你

对x轴的角动量是不是零呢

对y轴的角动量是不是零呢

也就是说

一个刚体绕着z轴

做一个定轴转动

在z轴上自然有角动量

那么它对x轴和y轴

有没有角动量呢

一般可能认为是没有的

我们说这是不对的

第二个问题

刚体绕着O点

以一个角速度ω定点转动ω

是个角速度矢量

可以分解成三个

坐标轴上的分矢量

x轴分矢量

y轴分矢量

z轴分矢量

于是在x轴上

有一个角速度ωx

那么对x轴的角动量

是不是等于

对x轴的转动惯量

乘以角速度ωx呢

类似对于y轴角动量

是不是等于

对y轴的转动惯量乘以ωy呢

类似可以对z轴那么讨论

就是我把角速度

分解成三个坐标轴之后

是不是每个轴上的转动惯量

乘以角速度

就是对它的角动量呢

这是一个很重要的问题

很多人初学者以为

它就相等

实际上也是不对的

所以答案都是否定的

一般情况下

包括定轴转动

刚体某时刻

以ω绕某个轴

比如说z轴转动

那么z轴的角动量

等于I乘ω没有问题

但是在x轴上也有角动量

在y轴上也有角动量

总角动量

等于这个x轴角动量

加上y轴角动量

加上z轴角动量

并不等于Lz

这就是在一般情况下

以定轴转动的时候

在x y z轴上都有角动量

总角动量是三个的相加

如果刚体绕O

以ω定点转动

把这个角速度

分解成三个分量

那么x轴上的角动量

不等于Ix乘以ωx

类似也都不对

所以这是非常重要的问题

如果你不了解它

很容易犯错误

我们看一个例子

大家看这是一个钢架

固定的钢架

钢架上有两个质点

固定两个质点m

我们不考虑钢架的质量

只考虑两个重物的质量m

让你这个整个钢架

绕着这个z轴

以ω匀角速转动

求角动量和轴上的动反力

就让你求角动量

首先我对两个m和轴系统

我对质心计算一下

它的角动量是多少

对质心的话大家看

它是以ω转动

所以它的速度多大呢

它的速度是ω乘以这个距离

这个距离是r sinθ

所以它的v

就等于r sinθ乘以ω

那么它的角动量等于r乘上

这个速度是这个方向

所以它乘以这个mv

就是这个的角动量

于是等于2倍的r乘以mv

v等于ωr sinθ

于是就得这个结果

这就是对这个质心的角动量

大家看

我拿r去叉这个

所以这个的对质心的角动量

是这个方向

它并不沿着z轴方向

所以这个角动量

我可以说总角动量

是这个方向

在转动过程中

这个角动量的方向不断改变

所以这个并不是一个

不变的角动量

那么沿着z轴

它的这个转动惯量

等于多大呢

转动惯量

是m乘以它的平方

这个是m乘以它的平方

所以它对z轴的转动惯量

是2m乘以r乘sinθ的平方

于是这个绕它定轴转动

它对z轴的角动量

等于Iz乘以ω

Iz是这个结果

乘以它是这个结果

Iz并不等是Ic

它等于什么呢

等于Ic在这个轴上的投影

所以现在一个刚体或者一个系统

绕着z轴定轴转动的时候

它在x轴

y轴上也有角动量

它的总角动量是Ic

所以Lx不等于零

Ly不等于零

我们再来看

这个由于总角动量是这个方向

所以在轴上大家看这是轴承

在轴承上

就出现了作用力

对这个轴的作用力是这个方向

对于这个轴的作用力是这个方向

这俩力大小相等方向相反

形成一个力偶

它的作用是什么作用呢

它的作用就是使得这个

角动量有个变化率

所以大家看

总角动量不守恒

它方向在不断改变

那么总角动量变化率

应该等于它所受的外力矩

这两个力就产生了

使得这个角动量改变的力矩

所以

它因为它不沿着这个对称轴

不沿着旋转轴

所以总角动量的变化

引起了在轴承上的作用力

这个力我们叫动反力

由于它转动引起的作用力

叫动反力

然后我们再看

在这个转动过程中

角动量Lc是变化的

它有个变化率

因为它的大小不变

它只有方向改变

所以这个角动量的变化率

就是这个的转动角速度

叉上它

所以它的变化率

就是ω叉它

那么能够产生这个

使得它变化的力矩

是它跟它产生的

大家看

这两个力产生这样的力矩

对吧这样的力矩

力矩大小多少呢

等于力乘以力臂再成以2倍

等于2倍的Fl

什么方向呢

x′这个方向

y′这个方向

z′这个方向

所以它是y这个方向

这是它的力矩是这个方向

我们再看角动量的变化率ω

这个方向

L这个方向一叉

也是这个方向

所以正是因为这俩力产生力矩

使得这角动量发生了变化率

方向也相同

力矩就是F乘l

乘以2倍

那么角动量变化率就是它叉它

它叉它

等于它乘它

乘以这个角的余弦

所以我们看到就这个结果

力矩等于2倍的Fly′方向

等于它的变化率

它的变化率就是它跟它相叉

它叉它以后

就等于它乘它乘以θ的余弦

于是我们就把这个F求出来了

F就等于这个结果

我们看到

F是跟ω平方成正比的

所以如果你这个旋转角速度

非常大的话

F是会相当的大

远远要超过重力

比如我们看一个例子

质量是一公斤

它那个所受的重力

就是一公斤力

所以r等于l等于0.4米

40厘米

假如转速是100π

就是咱们工频的100π的话

那么θ角等于30度的话

那么动反力等于多少呢

等于173倍的重力

所以动反力相当大

而且动反力随着转动的时候

动反力的方向也在变

于是就使得轴承

有一个非常剧烈的振动

这样的话

我们知道

一个高速旋转的轴

比如汽车的

内燃机的主轴

高速旋转

我们必须使它做平衡

一个平衡是静平衡

静平衡使得质心在转动轴上

这样的话你放在什么地方

它都是不用转动

更重要的是做动平衡

所谓动平衡

就使得转动轴作为惯量主轴

惯量主轴我们一会儿说明

如果转动轴是惯量主轴的话

那么总角动量

就等于沿着z轴角动量

也就是说

如果你是惯量主轴的时候

你的总角动量

沿着转动轴的方向

既然沿着转动轴方向

就不会再出现动反力了

所以要做动平衡

你到汽车厂去看

它的内燃机的车间

都要对它的主轴做一个动平衡

非常重要

做动平衡做的好

你的主轴转起来

汽车的轴转起来

非常轻松的稳定的转动

做的不好

就会听见哐哐哐的一种撞击声

很快就使得轴承损坏

第二个

如果转动轴是对称轴

比如说我这个动力本身有对称轴

那么转动沿着对称轴的方向的话

那么对O点的角动量

就是I乘ω

就是如果你这个转动

沿着对称轴的话

总角动量就是沿着这个

对称轴的方向

这是一个问题

任意刚体必有三个

互相垂直的坐标轴

叫惯量主轴

咱们刚才不是说惯量主轴嘛

任何一个刚体

都有三个互相垂直的轴

称为惯量主轴

我们计为x1轴 x2轴 x3轴

沿着惯量主轴

x1 x2 x3三轴的角速度

分别记做ω1 ω2 ω3

与相应的角动量

它的关系就非常简单

怎么简单呢

如果你是这个

第一个惯量主轴的话

它的转动惯量是I1

角速度是ω1的话

L1就是沿着

第一个惯量主轴的角动量

就等于I1乘以ω1

类似L2等于I2成ω2

L3等于I3乘ω3

所以惯量主轴

它的角动量

和转动的角速度关系

非常简单

是个线性正比的关系

这叫惯量主轴

任何一个刚体

必然有互相垂直的惯量主轴

所以刚才说

如果内燃机的主轴

它就是惯量主轴

那么它沿着这方向转动

它的角动量就沿着这个方向

就不会有动反力了

这是惯量主轴

下面我们计算一下

对于O点的角动量

这个大家看一下

不要求

大家看过算一下就可以了

对于O点角动量

我在刚体上随便找一个质元mi

它到O点的失径是ri

它的速度是vi

所以这就是它的动量

ri一叉它

就是这个质点的角动量

一求和

就是对O点的总角动量

我们知道

vi等于多少呢

等于ω叉上ri

这是我们的

定点转动的时候的规律

我们有一个公式

什么公式呢

最开始讲矢量的时候

就曾经跟大家说过

这样一个叉积公式

A矢量叉上B叉C矢量

等于谁呢

先把B提出来

A点C减去

把C提出来A点B

所以ri叉上ω叉上ri的话

它等于多少呢

它就等于把ω先提出来

ri点ri就变成了

ri的平方ω

然后把ri提出来

变成ri点ω

所以这一项

可以分解成这两项

把这一项整理一下以后

写出来什么呢

就等于它点它

就等于xiωx Yiωy Ziωz

就是它点积以后是这个结果

所以我对O点的角动量

就写成这个形式

由这个形式

我可以写出三个分量来

这是在x轴上的角动量的分量

等于多少呢

等于Ixωx减去

大家看

这个求和号乘以ωy

这个求和乘以ωz

所以我们看到ω

x ωy ωz

都对Lx有贡献

它是这个结果

类似我们可以写成Ly

这个形式

Lz这个形式

我们看

什么是Ix呢

跟我们前边定义一样

Ix等于

yi平方加上zi平方

乘以mi求和

跟我们这个Iz的定义完全一样

所以Ix是对x轴的转动惯量

Iy是对y轴的转动惯量

Iz是对z轴转动惯量

所以大家看

就这样一个规律

由上面的关系式知道ω

x ωy ωz

对三个角动量分量都有贡献

所以

当ωx不是零ω

y不是零ω

z不是零的话

这些关系式都不成立

当ωx是零ω

y是零的时候

只有ωz的时候

那么我们看这个式子

它是零

它是零

它是零

于是Lz等于Izωz

所以这个时候

才有Lz等于Izω

所以只有定轴转动的时候

沿着转动轴的角动量

才等于转动惯量乘以ω

原因就是

另外两个角速度都是零

上述关系

可以写成矩阵的形式

就是大家看

这是一个列矩阵

Lx Ly Lz

等于这样一个矩阵

三乘三矩阵

乘以这样一个列矩阵

这就表示出了

这个ωx ωy ωz

和Lx Ly Lz之间的关系

其中这里边的三乘三矩阵

我们称为转动惯量的

惯量张量

大家注意上边是双箭头

这是惯量张量

所以惯量张量

写成这个形式

它是一个三乘三矩阵

于是

刚才这个关系

就可以写成这个形式

就对O点的角动量

等于谁呢

等于转动惯量点上角速度

这样一个关系

这就我们说的

这个对O点的角动量

和角速度ω的关系

最后就归到这样一个关系式

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。