4.2 一致性指标在线视频

好的 同学们

我们上节课已经提到了成对比较矩阵

我们又把它称作为 正负反矩阵

那么这个矩阵呢

我们说就这么一个样子

以我们刚才例子为准 考虑个理由考虑五个因素

我们就得到一个5乘5的一个矩阵

主对角线的都是1 对称位置上的值呢

覆为倒数

那么在这个矩阵里面的话

我们来考虑一种最特殊的矩阵

什么样的矩阵呢

就是我们说满足这么一个条件

我们把它称作为一致性条件

aij等于aik乘上akj

也就换句话说

在aij当中插入个逐标k

使得aik乘上akj等于aij

如果满足这种条件的话

我们把这个矩阵称作为一致性矩阵一致性矩阵

那么由这个条件可以看得出来

如果ijk都相等的话

那不就是aii等于ai的平方吗

那么ai 不就等于1了嘛

那么很自然可以看得出来

一致性矩阵呢实际上是我们正负反矩阵的最特殊的情况

最特殊的情况

这是我们说的一致性矩阵

那么很自然的话

我们就开始要考虑这种最特殊的正负反矩阵

或者说一致性矩阵有什么样的性质

有什么样的性质

或者将来能够满足什么样的条件

好的

为了说清楚这个事情

我们现在给出几个数学上的结论

那么这几个结论呢

我们说一说或者说直观的解释一下

那么具体的详细证明的话

我们接下来可以看看参考的资料

首先给出一个结论

我们把它称作为Frobenious定理

那么指的是什么意思呢

首先是一个非负的矩阵

一定会存在一个正的

最大模的一个特征根以及对应的一个特征向量

好的我们大家都知道

一个矩阵共有特征根特征向量这很正常的事情的

那我们现在提到的是一个非负矩阵

所谓非负矩阵指的是什么

指的它的任何一个元素都一定是大于等于0的

它不是一个负数

我们说

对于这种矩阵来说一定会有特征根这好说的事情

那么在这里面

我们说一定会存在一个正的

这也好说

特征大于0那么所谓的最大模

那么什么叫最大呢

特征根我们知道不就解一个方程吗

解一个行列式a减去λ单位矩阵等于零

那么对于一个n乘n的矩阵来说

他应该有n个特征根

n个根里面的话

那么大家都可以知道有正根有负根还会有辅根

那么

属于最大怎么来刻画

我们说最大这么来理解它

如果是正根

那就是它自己本身

那就正数比较大小

如果是负根我们就跟它加上绝对值了

对吧

加上绝对值了

如果是辅根的话

疑似就出现我的模

这一说法了

辅根那就是a加bi对吧

i是个虚单位

那么它的模呢就是a方加b方开根号了

所以这么一来的话就会出现

我们刚刚提到的最大模对吧最大模

好的有了这个特征根

一定会对应到一个正的特征向量

这就刚才我们说的第一个定理的结论

接下来我们说第二个结论

我们不说了一致性矩阵吗

一致性矩阵是一种最最特殊的一个正负反矩阵

那么它什么好的性质呢

接下来就体现了我们说这个矩阵它的致一定是1的

它的最大特征根或者组特征根一定为N

一定为n

一定为n

那么n是谁呢

n就是我们刚刚说的那个矩阵

n乘n的那个ja数n乘nja数

这是我们说第二个结论

那么有了这个结论以后的话

那我们将来就会得到一个非常有意思的结论了

也就是说

对一个一致性矩阵来说

它的每一列它都将是这个特征根n的一个特征向量

这就把我们的特征根n以及它所对应的特征向量

我们跟它拉上关系了

将来我们就要来讨论这个特征向量

跟我们要讨论的问题

有什么关系

好的给出第三个结论

第三个结论说了什么事情呢

我们刚刚不说n个因素

它不有个相对重要性嘛

那么相对重要性

大家可以设想一下

最简单的描述就用权重来描述了对吧

我们假设wi是因数xi

关于目标的一种权重

那竟然是权重

那么很自然就可以得到我们说的另外一个值

wij

wij我跟它表示为wi比上wj

那wi比上wj正好不就是我们说

xi这个因素关于目标的重要性

那么wj呢就是xj因素关于目标的重要性

这不非常

跟我们刚在aij的刻画就非常一致起来了

所以我们得到一个wij这么一个矩阵

这个矩阵呢我们把它称之为权重矩阵对吧

纯粹都是由权重来构造出来的

那么我们可以得到这样的结论

首先

这个矩阵权重矩阵

它一定是个一致性矩阵

也就是我们最好的那个矩阵了

对于这个权重矩阵来说

它会有一个特征根

根特征是谁呢

特征为n

那么大家可以看的出一致性矩阵

我们刚刚说到

每一个列向呢都是它的

权重向量都是它的特征向量

那么现在呢

我们每个列呢都是谁呢

都是我们的一个权重向量

所以现在可以看得出来吗

特征根为N

它的特征向量跟权重向量就可以跟它等价起来了

就可以跟它等价起来了

好的这么一来等价起来的话

那我想我们的问题就非常好办了

我们将来不就是想怎么来刻画一个程度比较矩阵

让它刻画的越来越完美

使得它是一致性矩阵

如果使得它是一致性矩阵的话

那么换句话说特征根n也得到了

我们特征根所对应的特征向量也得到了

又可以把这个特征向量可以看中为权重向量

如果是权重向量的话

大家就所有的问题都OK掉了

权重下来就表示这个因素关于目标的一种权重

一种重要性的一种大小或者一种数字化的一种刻画了

数字化的一种刻画

所以呢

可以设想我们利用层次分析方法

我们要得到一个最终的目标

就希望能够刻画出一个矩阵或者正负反矩阵

希望它是一个成对比较矩阵

那么希望它是一个一致性矩阵

希望它是一次性矩阵

那么大家退一步来讲

那么一致性矩阵那么好得到吗

对吧这个困难是很大的一个事情了

这个困难是很大的事情

于是呢

我们就开始反过来

捯一下

我们说万一刻画的不是那么好的话

那么他们之间就会有应该有个误差

那么这种误差怎么来刻画的误差怎么来刻画呢

于是呢接下来我们开始给出这个结论

一个成对比较矩阵

如果它要是一致性矩阵的话

我们说它的最大特征根

对吧一定是大于等于n的

那么只有当做特征根等于n的时候

那么它就是一致性矩阵

我们说

一般来说

特征根一定是大于等于n的

当前仅当它是一致性取证的时候

它才等于N

好的

这么一来的话就开始给我们创造一个条件

怎么来把一个正负反矩阵

我们来刻画成一致性矩阵对吧

给出一个条件给出个机会出来了也就说

一般来说它的特征根都比它n要来的大

于是呢

我们就开始给出这么一个指标出来了

这么一个指标什么样的指标呢

这么一个指标什么样的指标呢

就是我们说的

本来应该有n个特征根

n个特征根呢刨掉一个最大的还剩下多少呢

还剩下n减1个特征根

也就换句话说对吧

如果把最大的叫做为 λ1 的话

那还有那 λ2 λ3

一直到 λn 了

那我开始把n减1个特征根跟它求和

跟它加在一块

加在一块呢

再除个n减1分之1对吧

再除个n减1分n减1

那就变成什么

变成我们剩下的n减1个特征根的一种平均值

剩下的n减1个特征根的平均值

我们说

把这个平均值看作为一个指标

ci

看作一个指标CI

好的

这个指标呢刻画出来就是我们说的

n减1分之 λ减去n

那么从我们刚刚的结论可以看得出来

最大特征根是大于等于n的

所以我们可以看到ci这个值就一定大于等于0了

一定大于等于0了

那我们可以设想一下

我们说最好的是一致性矩阵

那么ci值就等于0

那么你现在不好一点呢

就开始往右边变对吧

那就开始大于0 大于0

那么很自然

就可以设想一下

什么时候在这之间这个误差

我们说满足我们的进度要求

那我们就OK掉了

所以我们现在就开始考虑这么件事情了

考虑整件事情

这是我们的ci值

好的

有了这个ci值以后的话

我们说可以看得出来

对吧

最好的情况就是一致性矩阵

一致性矩阵现在就等于0了

如果不是一致性

我们说虽然一定会大于0

那么一个正数对吧

所以我们将来就开始考虑是不是能够满足精度

满足精度的话

那它们就变成我们说

比较好的或者比较满意的一致性了

这是我们的一种想法

这是我们的想法好了

有了这个想法以后

我们再来回到我们现实里面

来看回到我们现实里面来看

那我们来看看特殊的几个小例子

例如n等于1就1乘1的一个矩阵

1乘1的一个矩阵

就是一个实数

n等于2的话

就2乘2的一个矩阵

2乘2的一个矩阵的话

主对角线两个都是1 1

另外两个位置负为倒数

所以这样一来这个矩阵很好的刻画对吧没有难度

我们再来设想一下3乘3的矩阵

3乘3的矩阵的话

主对角线是1

那么剩下还有那三个位置

那么互相为倒数

如果要满足一致性的话

我们中间还有个拉拉扯扯的关系

aij要等于什么

等于aik乘上akj

也就换句话说

我们说a2 3对吧要插一个指标变的

a1a21乘上a13那么那三个值变量之间

还要满足一定的关系

这就有一定的难度

有一定难度

设想一下再算一下

如果n等于4

n等于4的话

那就主对角线是1

那么第一行有三个

第二行还有两个

第三行还有一个

那么还有六个位置量对吧

要满足我们说一致性条件

可以想象出来

四阶就比三阶要难的多的多了

对吧四阶就比三阶

难得多的多了

所以我们开玩笑说

仅仅用个CI值来刻画够不够呢

我们可以设想一下

同样在三阶都是四阶

CI值都是0.5的话

它才可以设想出来

那么三阶的0.5是不是比较方便一点

四阶的0.5呢

是不是就特别特别要费劲了

所以我们开玩笑说

这个ci的值接下来还要做一件什么事情

要消除一下对吧阶数N的影响对吧

我们换句话说

说通俗一点的话就说

我四阶的ci 假如0.5的话

就应该相当三阶的ci的0.8对吧

这样困难度这才可以一致起来了

对吧

这样困难度才一致起来了

所以我们接下来就开始考虑

怎么来消除阶数N的影响

怎么来消除阶数n的影响

好的

沙蒂给了这么一种方法来消除我们说的

阶数n的影响

那么沙蒂做了这么一个实验

做了一个那么一个实验

那就是随便固定一个N

N乘N的一个矩阵对吧

我们刚才说不要求他正负反吗

所以他就随机的从123456789以及它的倒数

那十七个值里面来抓

来随机的取值了那么随机的取值

那么很自然

他就可以满足正负反矩阵

满足正负反矩阵

大家可以设想这样所构造的矩阵

他就不一定是一致性矩阵了

不一定是一致性矩阵了

然后他就开始来计算

每一个矩阵的是CI值

然后把这些CI值做个平均值

那就当做它的一种随机性的指标

当做它的随机性的指标

于是呢

就得到了这么一个表了

例如在这里面

我们可以看得出来

n等于1

n等于2对吧

RI就等于0了

在这里跟我们刚才想象的一样

n等于1 n等于2

那么那个矩阵肯定是一致性的

没有什么可商量的

到了3 4 5 6 7 8 9

那我们说才会出现那种困难的

对吧

逐渐增加

所以呢

在这里面可以看得出来RI的值呢

随着IN等于3等于4等于5一直等于9

那么是不断的开始递增的

不断的递增的

所以呢

也满足我们刚刚说的来消除n的一种影响

于是呢

我们接下来就开始给出了那么一个误差的指标

我们把它称之为一致性系数

称之为一致性系数

CR

再等于CI除以RI

好的

最后我们看出一个精度要求

一般来说

如果CR值小于0.1的话

我们就认为这个A的就具有满意的一致性

那么换句话说

这个A呢

我们就可以近似看作是一致性对吧

近似看着一次性以后的话

那么最大特征根所对应的特征向量呢

我们就可以近似把它看为权重向量

近似把它看为权重向量

好的

今天这个课我们说到这里

好的

下次我们再说权重向量以后的怎么累积效应

应该怎么考虑

同学们下次课 再见