当前课程知识点:数学建模 > 第7章 模糊信息处理 > 7.1 模糊集合 > 7.1.1 模糊集合
大家好
我们前几次课
我们都提到了一些确定性模型
包括我们的 一些随机性模型
那么相应的内容呢
就如我们刚才说的 线性规划问题啊
层次分析问题啊 等等来说
包括我们那个说的那个生死的随机 模型
这都是我们处理的确定性 跟随机性的事情
那么实际上的话 现实生活当中还存在另外一种不确定性
我们把它称作为模糊性
我们把它称作为模糊性
那对于模糊性
这种问题怎么来研究呢
怎么来分析呢
那么 这个时候我们需要借助于模糊数学的
一些相关知识来对它 进行分析跟研究它
好的 再说到模糊数学之前的话
我们首先回顾一下 一个概念 集合的概念
也就是我们通常说的普通集合的概念
所谓集合的话很简单 就是我们说
把某一些对象 或者说具有某种特性的一些对象呢
把它构成一个整体
那么我们这个整体呢 我们把它称之为集合
把它称之为集合
那么集合当中的一些对象呢
我们把它称作为集合里面的元素 集合里面的元素
例如我们的全体的中国人那
或者说方程X平方减1等于0的所有的实根啊
那么这就是我们说的正1负1都是它的根
把它正1负1集中起来 就构成了我们说的一个集合的概念
或者说方程根 实根的这么一个集合
一般来说
我们用大写的英文字母呢 来表示集合
例如 我们A呀 B呀
对吧 用小写的英文字母呢 表示集合里面的元素
例如我们通常说的小x呀 等等来说
那么相比之下
集合跟元素之间的关系 那就实际上是
一个个体跟整体之间的关系了
所以呢 集合跟元素之间的关系呢
就是我们通常说的 属于还是不属于的事情
例如我们说
假设N 是个全体自然数所组成的集合
那就是 0 1 2 3 4一直往下再走了
那么 3肯定就属于自然数
所以呢 3那就属于N
那么负3就不是自然数
所以负3就不属于N了
这是我们做关于集合里面 元素跟之间的关系
我们说一下
那么在这里面需要特别注意两点 集合里面的元素
它是没有序的
集合里面的元素 是没有序的
谁在先 谁在后
我们不做特别的要求
对吧 我们不做特别要求 另外一个呢
我们说集合里面的元素呢
我们一般不考虑重复的
也就是通常说的没有重复性
没有重复性
这么一来的话
那么集合 就有很多种表示的方式
集合就有很多种表示的方式
例如我们最常见的
我们通常说的 是枚举法或者说显示法
把满足要求的 那些对象全部跟它列举出来
这是我们的枚举法
还有什么呢 描述法
我们用文字用语言或用数学表达式
把满足它的一些性质
跟它描述清楚了
例如我们说通常说的 小于10的全体自然数
小于10的全体自然数 这是我们描述的事情
另外 我如果我一定要跟你列出来的话
小于10的自然数 那就是0123456789了
这就是我们的列举了
枚举出来的事情了
当然还有一种呢
我们可用
文氏图的办法来进行刻画
也就是在平面上 用个几何图形来表示
集合a是这些 集合b是这些 然后之间有没有交
交是多少 并是多少等等来说
这是我们通常所说的三种方式
枚举 描述 还有文氏图的办法
那么 我们在这里再强调另外一种
特征函数的描述方法 特征函数的描述跟方法
也就是说
利用一个函数的方式 来刻画一个集合 来刻画一个集合
那么 既然是个函数 那么很自然的话
函数的定域呢
就是我们的全集X
函数的值域呢
这是谁呢
就是由01组成了一个2值
对吧 01组成了一个2值
构成了一个集合 好的
我们说 用一个符号a来表示集合的话
那么 fax可以表示为
那就是说
如果x小于元素 x小于属于a的话
那它就是1了
如果元素它不属于它的集合的话
那它就是零了
它就是零了 那么很显然
我们可以看得到 如果一个集合知道
那么特征函数也就知道
反过来说
特殊函数要知道 那么这个集合也就知道了
所以我们说集合跟特征函数
那么它们俩之间是一致的
它们俩是一致的 对吧
有了它 有了集合 特征函数就知道
有了特征函数 那么集合也就知道了
集合也就知道了 好的 这些呢
用01来表示
我们说元素之间的属于跟不属于关系
或者说元素之间的一种隶属关系的话
那我们俩非常清楚
非常清楚
但是呢
我们说
现实生活当中还有很多 不是这么清楚的
集合或者不是这么清楚的概念
那么在1965年
那么 美国的控制论专家扎德就提出了一个概念
叫作为模糊集合
叫作为模糊集合
除了模糊集合
它要刻画它什么东西呢
它要刻画的就是
我们说
在一些复杂性当中
它必然存在一种模糊性
复杂性当中必然存在一定的模糊性
也就换句话说
尤其是在人
起作用的过程当中 那么系统当中
我们说必须要把什么 把我们的精确性跟模糊性
我们说坚固起来
把精确性跟模糊性给它坚固起来
举个最简单的例子来说
例如我们社会上或日常生活当中
会存在很多这种模糊的概念
什么叫低烧
什么叫老年人
对吧
什么叫天气好
什么叫能力强
应该说这种模糊性
广泛存在于我们的能力的自然语言呢
或者说人文系统啊
经济系统啊等等 各个领域里面去
那么属于模糊数学研究的是什么呢
研究的是用 精确的数学来研究
或者说来处理 这种模糊性或者说模糊现象
那么它的基础呢
就是我们刚才提到的模糊集合
那么 对于模糊集合到底是什么东西呢
我们来看这么一个例子 来看一看
我们说把我们的特征函数
我们刚才看到特征函数取值
就这两个值
要么是0 要么是1 对吧
0跟1之间
我们开玩笑说 它是泾渭分明的事情了
对吧
我们说大于等于1 小于等于2
那就是0点99
那就是小于1
那就是变到0上去了 对吧
2.0001那么换句话说
它已经比2大 所以它也出线 它也变成0了
这是我们说在边界点了
它属于泾渭分明的事情
但实际上的话
我们很多现实生活当中的一些概念
在边界点上
它并不是泾渭分明的 而是什么
而是它稍微有一点点弹性
对吧
有一个缓冲的地带
有个缓冲的地带
也就换句话说
把我们01的那么一个 矩形函数稍微缓冲一下的话
就变成了我们图像里面这么一个函数了
这么一个函数了 对吧
在01之间稍微有个缓冲
或者说慢慢的从1就开始变到0上去
或者说变到小到0上去了
这么一个事情 好的
然后把这个函数拿出来
我们再来说一下
我们说有这么一个函数 这个函数呢
ax呢 它对应过来 对吧
x属于整个论域 x属于u这么一个范围里面去
对应过来值呢 ax呢
它实际上是对应在01区间 对应在01区间
那我们很自然的话
原来说的012值肯定是01区间的
一个特殊情况的 一个特殊情况
所以我们说的普通的集合呢
对于我们模糊集合来说
它就是它一种特例了
它就是一种 它的一种特例
那么对于这里面呢
我们的ax呢 表示怎么 表示是一个值啊
它是一个大于等于0 小于等于1的值
也就是0.1 0.2
或者说0.8 0.9
或者到1上去
我们说的这么一个值
这个值呢 我们给它一个说法
称作为元素x关于集合a的一个隶属程度
元素x关于集合a的隶属程度
或者我们把它称作为隶属度
把它称作为隶属度 那么很自然的话
这个隶属度呢
就是比我们原来的01这两个值呢
所宽泛的多的多了 宽泛的多的多了
所以我们刚刚说的
普通集合呢 就是我模糊集合的一种特例
好的 对应过来
我们刚刚说过了
实际上模糊性
我们现实生活中到处都存在的
那么回到我们说了几个小概念
就说老年人 那么很自然
就是我们说 在年龄论域上的一个模糊概念
属于高个子
那肯定只能是在身高这个论域上的一个模糊概念
模糊概念
所谓的好学生
那肯定就是我们说的能力素质
一个综合的 它的一个模糊概念
这是我们说的
那由这个图呢
可以看得出来 对吧
一个老年人 一个模糊概念
或者说这个模糊集合 它所刻画的隶属函数
我们从这里面可以简单的这么来阅读它 对吧
小于60岁以后
我认为他就不属于老年人了
过了75岁以后呢
他一定是一个老年人
那么 很自然的话 在60到75之间
那我们就体现我们的人的思维性
年龄越大
他接近到老年人
这种程度也就越来越大了
也就是慢慢的
从0 隶属度从0就开始变到为1上去了
变到为1上去了
这是我们说的 这么件事情
好的 接下来我们就开始给出了模糊集合的一个表示
怎么来表示呢
对吧
我们大家都知道
刚才说到集合里面有四种表述方式
那么对于模糊集合是什么来表示呢
那么 在这地方我们给出一种表示方式
给出一种叫向量的表示方式
向量的表示方式
我们假设整个大的论域呢
是123456
包含这6个元素 123456
那么 这上面的一个模糊集合a
我们说在这上面
什么叫大
那样呢 我们自己来理解的话
这上面叫大
那可肯定6就叫大了
对吧 5也叫比较大 1呢
肯定就叫比较小了
或者说就不属于大的这个范围里面去
所以在这里面 我们开始分别给出 对吧
1关于大的隶属程度
2关于大的隶属程度
6关于大的隶属程度的一种隶属度来刻画
那么在这里面
我们给出了 对吧
1关于模糊概念大
那么隶属度为0
2呢 稍微好点 就变成0.2
3呢 再好点就变成0.4
4呢 再好点变成0.7
5呢 就变成比较好了
就变成0.9了
对于6来说
在这个论域里面 6确实是最大的
所以对于大来说
它的隶属度就是1了 好的
一旦我们说的123456之后
六个元素的顺序给好了以后
那么相应来说 这个模糊集合呢
我就可以把它的隶属度呢
写成一个向量的形式
0 0.2 0.4 0.7 0.9 1
用它来表示
我们说这个模糊集合了
用它来表示这个模糊集合了
那么相对应的0 0.2对吧 0.4 0.7 0.9 1的话
我们就可以把它称作为 对吧
称作为元素 对吧
123456关于模糊概念大
它的一种隶属程度 或者说它的一种隶属度
它的一种隶属度
这是我们说的模糊集合类的表示
当然 关于模糊集合类的一些 运算的一些性质
或者说我们下次课 我们再来说
今天我们就说到这地方 下课 再见
-1.1 案例分析
-1.2 数学建模绪论
-1.3 数学建模活动
-第1章 习题
--第1章 习题
-2.1 最小二乘方法
-2.2 拟合函数的扩展
-2.3 最小二乘方法应用
-2.4 线性插值
--2.4 线性插值
-2.5 样条插值
--2.5 样条插值
-第2章 习题
--第2章 习题
-3.1 Malthus模型
-3.2 Logistic模型
-3.3 捕食者模型
-3.4 差分方程模型
-3.5 随机动态模型
-第3章 习题
--第3章 习题
-4.1 成对比较矩阵
-4.2 一致性指标
-4.3 权重向量的计算
-4.4 量纲分析
--4.4 量纲分析
-4.5 轮廓模型
--4.5 轮廓模型
-第4章 习题
--第4章 习题
-5.1 名额分配
--5.1 名额分配
-5.2 Hamilton方法
-5.3 Q方法
--5.3 Q方法
-第5章 习题
--第5章 习题
-6.1 两变量的线性规划
-6.2 单纯形方法
-6.3 整数规划
--6.3 整数规划
-第6章 习题
--第6章 习题
-7.1 模糊集合
-7.2 模糊关系
--7.2 模糊关系
-7.3 模糊综合决策
-7.4 模糊聚类分析
-第7章 习题
--第7章 习题