5.3 Q方法在线视频

同学们好

我们接着刚才的名额分配问题

我们继续往下再探讨 好的

我们的问题的背景还是在一个问题的背景

就是说 怎么把一个ni跟一个qi

跟它建设起来ni跟qi跟它建设起来

那么我们之前已经讲过了我们的Hamilton方法

那我开始通过取整 然后整数里面

然后开始根据小数 对吧

小数的大小能优先

我们跟它来

分配名额

那么我们同时呢

我们说提到了一个除子法

我们的简单的说一下

那么也是 当初的一个政治家詹姆斯

那么他提出了除子法

他的想法 实际上非常简单

我们刚才已经说过了取值以后

如果那个qi是整数 那取整就整好跟n相等

如果不是的话

那我们说取完以后肯定要比它小

比它小怎么办呢

那他的想法非常清楚

相当于除以一个 λ

能除以一个比1小的一个数

那不就想着把这个数放大了嘛

放大了以后 使得它整好呢

就是那个N

正好就是N

这样一来的话

把那qi *取值以后的数

当作我们说的ni来进行分配

那具体的想法

大家如果有兴趣 可以去查看相关的文件资料

我们这里就不再多讲了 这是除子法的一个例子

这下我们开始介绍另外一种方法

介绍另外一种方法

我们叫谢方法什么一个想法呢

它的想法也非常清楚

非常简单 就是我们说的

让每个代表 它的代表人数

我们来设想一下 就是我们说的

假如人口数用pi来表示

我们说ni了 表示什么

表示它的名额数或者表示代表数

我们来想象这么一个含义是什么

ni分之pi什么意思

ni分之pi呢 实际上就是相当

我们说的每个代表 所代表的人口数

我们举个 最简单例子来说

大学你们两个系 两个单位 要评选一个三好生

那么

假如甲系 对吧

甲系一百个人P1

那么A1

等多少A1 也等于一百

那么A1分之P1那就等于1了

也就是说

每一个学生 都是个三好学生

对于乙系来说

假如我们都pi 对吧

等于二百这个时候

n2等于多少呢

n2就等于1对吧

绝对一点

那么这个时候意味什么呢

因为对于乙系来说就是两百个学生 才出一个三好学生

那么大家可以想象 这样一种分配三好学生的指标名额

大家肯定会觉得就特别不公平的

对于甲系来说

每个学生都是三好学生 对吧

n1分之p1等于1 对于乙系来说的话

n2分之p2 等于两百

那么下面是两百个学生才出一个三好学生

所以大家可以设想 这样一来肯定是不公平

不公平 怎么办呢

我们从直观的还可以想象出来

如果 ni分之pi那个值越来越大的话

我们开玩笑说

它越吃亏对吧

相对来说

小的还赚点便宜

相对来说

小的还赚点便宜

那就是不公平啊

不公平怎么办呢

那我们现在很直观的想法

我们有没有一种定量的指标 来刻画一个不公平的程度

那么直观上来设想的话

那么最简单的想法就是把它们俩之差

来作为它们的刻画

它们俩不公平的程度

那我们接下来给出这么一个

图表看一看

假如我们说

ABCD 这是4个单位对吧

分别都是120 100

对A B这两个单位来说

分别的N呢

我们都给它分配 10

那么n分之p呢

我们分别是12

分别是10

它们两个相差是2对吧

我们说它们俩不公平

但它们俩相差是2对于CD

这两个单位来说

那么n分之p 呢

一个是1002

一个是1000

它们之间也相差为2

那么大家可以设想出来 这两个2的含义就不一样了

对吧

对于CD来说

你差2的话 一千个里面差2

我们觉得还可以接受

对于A B来说

十个里面就差2

那在接受起来难度就比较大了

所以我们认为绝对值 对吧

绝对值来 表示它的不公平程度

要认识起来快的接受起来就比较有难度了

于是呢

我们就接受我们的误差的另外一个概念

叫相对误差的想法 相对误差的想法

那么相对误差的想法就用到我们

这来就是我们得到一个rA

我们看这么来表示就是a1分之p1

减去n2分之p2再除以一个n2分之p2

这不是我们的相对误差的想法吗

这就是我们说的相对不公平程度

这就是我们说的相对不公平程度

好的 有了相对不公平程度

有了这个指标以后

我们接下去就开始

基于这个相对不公平程度

我们来进行名额的分配

进行名额的分配

分配的想法的话

我们设想一下也比较直观

直观的我们这边理解它

我们说有两个单位对吧

刚开始分配了名额

一个ni 一个pi

这边一个nj 一个pj

这倒好了

现在呢

我们的总盘子数出来了

对于追加了一个名额追加一个名额

那么很自然

就先开始说

你给了左边还是给它右边

你给了左边还是给它右边

我们设想的

不管给谁总是希望什么东西

总是希望大家的火气往下降

也就相对不公平程度往下再降下去

对吧

不是说我给了一个东西给大家拱火

这使得不相对不公平在增大起来

这就不合适了

所以我们的想法非常直观

就是给到谁都希望它的相对

公布公平程度能够降下去能够降下去

例如我们说的很简单

直观的理解一下

假如我们说刚开始左手这个单位 对吧

那个ni分之pi大 比它大

那么我们说

那我们设想一下给了左边给了左边以后的话

我们可以算出它的ni加一分之P1

那么我们的时候看看这个时候它怎么样

如果我们说这个时候还大

那么大家完全可以理解给到左边是正常的对吧

因为我们开玩笑说

左边这个单位刚才吃亏

吃大了

给了一个还不够

这次我们说的 好的

如果我们说给过了左边之后它又开始小下去了

右手这边又开始相对来说不公平程度大一点的话

那这个时候就开始考虑到底给左手还是右手这两个姿势

那么这到底给谁呢

那么我们怎么来判断它呢

意思是我们就有这么一个结论

我们有这么一个结论Q 或者说Qi的平方

那么这个平方就是我们说的

pi的平方除以ni

还有ni加1

或者说Q就是pi

除以根号的ni

或者ni加1

那么这个Q我们怎么来理解了

我们现在理解下Q

那就像那可以这么理解它

一个是ni分之pi

一个是ni加1分之pi也就这两个代表名额的词了

把它两呢做一个层级也就做一个几何平均的

做个几何平均那么这个值我们将来可以考虑

如果这个值大

那就优先给到对应的那个第i个单位

或者第二个州那么具体的数学证明

我们有兴趣的同学可以参考一下

我们这地方就不再多讲它了

好 有了这个指标以后的话

那我们接下来就开始根据这个指标来进行名额分配

那么整个分配的过程是什么样的呢

是这么来的

那么首先让每个州首先拿一个名额

大家可以理解

因为将来n要做分母的对吧

首先拿一个名额

那么这也是符合宪法的要求

首先拿个名额 然后开始计算计算什么呢

计算Qi的值了

计算Qi的值了

那么计算Qi的值

那么很自然就开始算哪个Qi的值越大

那么多名额相对应来说就给到那个第i个州上去了

那么完了以后重新再来一遍

再算一个Qi的值

然后再看谁大给到另外个名额上去

以此类推

这么一来的话

最后给出去的名额数最后到给完了为止

直到它给完了为止

那这样一来就不会出现问题了

那么这个算法的话

直观众保证什么东西呢随着名额总席位数再增加的话

随着它总席位数再增加的话

那么我要么得到了

要么就没得到

反正不会从我手上把名额让出去对吧

不会从我手上把名额让出去

这就是我们说的最直观来说

它满足每个州名额的单调性

对吧

它不会出现就是说名额总盘子数多了

以后结果还从我兜里把名额掏出去给别人

那这就不会出现这种情况的

所以我们说Q值这种方法的它有它一定的含义

或者说一定的合理性

那么接下来我们看一下这张表

我们具体的运算的过程

例如还是我们刚刚讨论的三个州

对吧 p1 103 p2 63 p3 34

这是我们三个单位的人口数量分配二十一个名额

那怎么分配呢

我们刚刚说的

首先每个单位都拿一个名额过去拿了一个名额过去以后

那我们出现第四个名额给谁呢

第四个名额给谁

那我们就开始计算的吧

如果第一个单位 对吧

p1的平方除以n1 n1等于1了

n1加1这就说

1乘上1加1了 就说 我们说二分之一

百零三的平方那么得到一个值5304.5

如果放在第二个 对吧第二个单位

那就63的平方除以二

那就等于1984.5

那就等于1984.5

放到第三个单位就34的平方除以二

那么从这三个字里面可以看得出来

谁大呢

大概是五千多的大了

那么五千多个大

所以很自然

我们第四个名额就给到它了

第四个名额给到A 这个单位

所以我们在表格里面看到一个括号的事

就表示第四个没给给了它了

它拿了第四个名额以后

那这个时候它就应该有两个名额了

这时候它就应该两个名额了

那么这个时候我们说如果还要给它

分配的话就要计算什么东西呢

那么计算就开始分母了

就2乘上2加1了对吧

分母就变成2乘2加1 分子呢

还是103的平方

那么我们可以看得出来

这个时候计算的值呢 就大概是1768点多了

那么很自然

从这斜三角来看

那么这三个值

谁最大呢当然是我们说的

1984这个值是最大的

所以我们的第五个名额就给了它了

所以后面它就个括号5了

好的律式来说

我们就有括号6括号7 括号8一直

往下在最后到了我们的第20个名额

往下在最后到了我们的第20个名额

第21 名额一直往下在走了

这是我们说的这么一种情况

好的有了

它以后的话就是满足了

我们第i个州单位的最后实际得到名额数

它满足一种单调增加性 对吧

最起码它不会出现我们减少的

也就换句话说

按照这种方式分配的话

它就不会出现我们的Alabama州的那种悖论的对吧

不会出现Alabama州这种悖论

好的这种的谢海方法当然啦

我们说

在研究的过程当中

还会出现很多很多种别的方法

让我们这地方做了一个代表 对吧

有份额的有Q的方法

还有我们的除子方法等等

来说

这地方我们就不过多去讨论了

在这最后

在这最后

我们开始探讨另外一种方法

这种方法也是一种我们非常困难的一种方法

也是一种非常非常

具有难度跟挑战性的方法

我们叫做公理化建模方法

所以公理化建模方法是什么意思呢

它是就针对我们的名额分配这么一个问题

我们就开始了

考虑几条我们一般的尝试对吧

所谓的尝试在数学里面就把它称为公理啦

成为公理了

希望这种分配能够满足几条常规 对吧

满足几条公理

然后呢希望在满足公理的情况之下呢

来接下来考虑对吧

在满足公理里面有没有满足公理的这种方案

或者有还是没有

有是有一个还是无穷多个疑似那就会出现我们说的

除了唯一解呀还是无解呀

还是无穷多解等等这种事情了

那么后来我们说哈佛大学两个学者

那么针对我们的名额分配问题的话

他给出了五条假设

那就是五条公理出来了

那么

对于这五条公理对这五条公理

我们说逐一的可以进行分配

最后得到了一个结论

就是说同时要满足这五条公理

五条公理的数学结构或者说

数学模型它是不存在的

那么这样一来彻底把这个问题就说清楚了

彻底这个把这问题说清楚

也就换句话说

要找着一种

能够满足这五条公理的这种分配方法是不存在了

也就意味着大家就不要再去讨论

过多的分配的办法

也就是我们说的最后采取的一种EP的方法

大家在这种方法之上来考虑晋级名额的分配

也就我们说的这么一个问题

名额分配从美国的宪法战争开始的话

经过了将近两百年

才把我们说的众议院名额分配了这么一个问题

起初

有一些政治家来参与最后到数学家来结束

彻底把这问题跟它说清楚了

得到一个新分配的一个不可能定理

好的 同学们名额分配的模型

我们就今天讲到这地方

谢谢大家

我们下次再见