4.5 双向Buck/Boost变换器数学模型在线视频

同学们好

本节课我们介绍

双向Buck/Boost变换器的数学建模问题

对于电力电子系统呢

数学动态模型是系统控制设计的基础

本节课将重点讨论

双向Buck/Boost变换器平均值模型

和小信号模型的建立过程

为了保证输出电压波形的质量

DCDC电路在输出端口侧需要并联电容器

那为了适用于双向功率场合的通用性

本节在双向Buck/Boost建模时

将在包含两侧端口电容

两侧含直流电源负载的完整电路的基础上

如图中所示进行数学模型的建立

图中C1和C2

分别为变换器低压侧和高压侧的直流端口电容

Vc1和Vc2呢

分别为电容两端的电压

iL为变换器的电感电流

V1表示低压侧直流电源电压

如在蓄电池储能系统的应用中

V1可以为蓄电池的端电压

而V2表示

高压直流母线侧的等效电源电压

R1和R2分别表示

低压侧和高压侧的等效内阻

因为电力电子电路

在不同的开关状态

等效电路结构不同

波形也不相同

因此我们需要先建立电路的分段开关模型

如图中所示

当S1开通S2关断的时段

0-d1T的时间段

d1呢为S1管导通的占空比

这个时段电感电流是由上桥臂导通的

若iL为正由二极管D1流通

若iL为负则由S1导通

而下桥臂相当于断开

那么在这种电路结构下呢

根据基尔霍夫定律

还有这个电感电容的伏安关系

我们可以列出系统中

各个状态变量的动态关系

如式一所示

这里我们选取电感电流iL

两侧电容电压VC1VC2为状态变量

那么方程组式一即为

当S1开通S2关断时段电路的约束方程

而当在S2开通S1关断的时间段

图中为d1T~T时间段

电感电流是由下桥臂导通的

若L为正

则由S2流通

若L为负呢

由D2续流

而上桥臂断开

此时

高压直流母线侧

由电容和等效电流V2

以及内阻R2自身构成

那么

在这种电路结构下

我们根据基尔霍夫定律

还有这个元件本身的伏安关系

就可以列出系统中各个状态变量的

动态数学关系

如式二所示

由此

我们就建立了系统的分段开关模型

也就是说

在互补PWM控制下

S1导通区间呢系统的动态行为

由式一描述

在S2导通期间呢

系统的动态行为是由式二描述

然后我们采用开关函数UT

则可以将这两个分段方程组呢

用一个方程组表示

如式三所示

式中UT是开关函数

根据不同的开关状态

分别取值一和零

式三这个式子呢

即是系统的开关模型

开关模型显然是不连续的

各变量波形也含有高频开关谐波

如图中所示

因为在实际电路中

开关谐波频率比较高

幅度也较小

容易被滤波元件滤除

同时为了方便系统控制的设计

我们一般可忽略开关谐波

只考虑低频扰动对系统的动态影响

也就是建立电路的平均值模型

那么如何建立呢

我们用一个数学运算

叫做开关

平均算子

应用于这个开关模型

即就将方程中各变量

在一个开关周期内取平均值

可以计算得到系统平均值

数学模型如式四所示

式中尖括号

表示状态变量在一个开关周期内的平均值

可见在平均运算后呢

电感和电容方程的微分约束关系仍然适用

基尔霍夫电压电流定律也适用

唯一不同的是

开关函数部分

此时变为等于其平均值来表示

这里开关函数的平均值

就等于S1管的占空比d1

一般为了描述

一般为了表述的简化

和建立小信号模型的这个描述方便

我们通常也可以把平均值模型中的尖括号省略

即平均值模型重写为式五所示

只是注意此时

式中各变量已经不包含开关纹波了

是开关周期内的平均值

根据平均值模型

我们另个状态变量的导数等于零

可以得到电路各变量的稳态数量关系

如式六所示

我们用大写字母表示

各变量的稳态值

进一步可推导得到

电感平均电流iL的稳态表达式

它是与两侧电源电压

等效电阻以及战功比有关的这个关系式

如式七

根据这个式子可知道

当D1

分子是大于零的

电感平均电流也大于零

功率由低压侧流向高压侧

反之

功率反向

接下来在平均值模型的基础上

我们讨论双向DCDC变换器的小信号模型

通过平均值模型可以看到

由于存在控制量D和状态变量的乘积项

双向DCDC变换电路的动态行为是非线性的

而为了设计线性控制方法

则需要进行线性化

小信号分析方法

是将非线性系统

转化为线性系统的一种通用的分析方法

对原状态空间平均模型进行一阶泰勒级数展开

令各变量

比如占空比D

iL

vc1和vc2

都用稳态值叠加小扰动的形式表示

带入平均值模型

然后我们整理一下消去稳态量

和二阶及以上的扰动量

我们就可以得到

系统的小信号模型状态方程

如式八所示

这里给出的是复频域的表达式

拉普拉斯算子s表示

时域中的微分计算

因为是一阶泰勒级数展开

获得的线性模型

只是在特定工作点微小变化范围内有效

所以称为小信号模型

而初始的平均值模型

因为它在整个运行范围内有效

可称为大信号模型

对复频域的小信号模型进行整理和求解

就可以得到状态变量

iL与控制量d1之间

以及状态变量vc2

与状态变量iL之间的传递函数

如式九所示

然后传递函数

可以表示成框图的形式

如右图A中

由占空比d1到iL的传递函数为Gid

然后由电感电流iL

到高压侧电压vc2的传递函数为Gvi

因此我们看

从占空比d1到高压侧直流母线电压vc2

它经过两级传递函数串联形式

根据该串级形势呢

则可以设计双闭环控制策略

实现对直流母线电压的控制

还有一种方法就是不考虑电感电流iL

将iL作为中间变量可以消去

那么就可以推导得到

直流电压对控制量d1的直接传递函数Gvd

及框图（b）

根据此传递函数可以设计电压单环控制策略

因此

小信号传递函数模型

可以用于指导控制系统的设计

我们根据不同的小信号传递函数模型

可以设计不同的控制策略

这个将在后面的课程予以阐述