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知识拓展:三门概率问题

聪明人的三门问题

        三门问题又被称为蒙提霍尔问题,出自美国一个电视益智游戏节目,这个问题一被提出就引起了相当大的争议。

        在一次有奖竞猜活动中,参赛者需要面对三扇门的诱惑。参赛者会看见三扇关着的门,其中一扇门的后面藏有一辆汽车,选中这扇门就可以获得汽车,而另外两扇门后面则各藏有一头山羊。虽然山羊和汽车一样都可以充当交通工具,但和汽车相比起来,山羊还是便宜了一些,所以参赛者的目标是——选中汽车。

        当参赛者选定了一扇门但还未打开它的时候,知道门后情况的节目主持人打开另外两扇门中的一扇,出现了一头山羊。然后,主持人会问参赛者要不要改变主意选择另一扇关着的门。这时,参赛者就有这样的疑问了:换另一扇门是否会增加获得汽车的概率?

        假设参赛者最初选择的是1号门,现在主持人打开了3号门,后面是一头山羊。如果你是参赛者,你会改变主意选择2号门吗?

三门1.jpg

        对于这个问题,一位高智商女性玛丽莲·莎凡特给出了她的答案,她认为参赛者应该改变主意选择2号门,因为这个选择将会使他获得汽车的概率增加一倍。这个答案引起了轩然大波,因为它不合乎大多数人的直觉。

        事实上,大多数人的回答都是不改变主意,坚持选择1号门。他们认为不应该更换选择,因为汽车在哪扇门的后面是不能改变的,无论改不改变选择,参赛者选中汽车的概率都是50%。所以,顺从自己最初的直觉会比较好。

        玛丽莲给出自己的答案后,数千封投诉信纷至沓来。但很快,她漂亮地解释了自己的答案,让大家心服口服。她是怎么解释的呢?

        参赛者选中一扇门时,有三种可能情况,它们的概率相等,都是1/3

三门2.jpg

        我们对比一下会发现,在后两种情况下,参赛者都可以通过更换选择而获得汽车。第一种情况是唯一一种参赛者更换选择会吃亏的情况,所以改变主意而获得汽车的概率是2/3

        我们还可以用逆向思维来理解:

        无论参赛者开始的选择是什么,在被主持人问到是否更换时都选择更换。如果参赛者先选中山羊,那么更换后会获得汽车;如果参赛者先选中汽车,那么更换后会失去汽车。而选中山羊的概率是2/3,选中汽车的概率是1/3。所以选择更换是明智的,相对最初获得汽车仅为1/3的概率来说,改变选择可以增加获得汽车的可能性。

        三门问题是一个老问题了,不过它在任何时候都能引起激烈的争论。总结一下,正确答案应该是:如果主持人事先知道哪扇门后面有山羊,并且她特意选择把有山羊的那扇门打开,那么参赛者应该更换选择另一扇门,这可以使获得汽车的概率从1/3 升到2/3

        换还是不换?大部分人之所以会左右为难,是因为他们常常把自己最初就选中汽车的概率想得太高。如果我们将三门问题升级一下,或许就好理解了。

        现在,我们试试另一个挑战,我们将它称作百门问题。一百扇门中只有一扇后面藏有汽车,其余藏的都是山羊。请你先随心所欲选中一扇门。

三门3.jpg

        选好了吗?假设你选了1号门。不过,你应该对这个选择不抱什么希望——能一次就选中汽车的概率太低了,只有1%的可能。这时,主持人将剩下99扇门中的98扇打开,它们的后面全是山羊。也就是说,汽车在没有被打开的1号门或37号门后面。


下一节:知识拓展: 全概率公式与点子多赢的概率计算

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第一章 随机事件及其概率

-第一节 基本概念

--1.1.1 概率论的起源

--1.1.2 三个基本概念(随机试验、样本空间、随机事件)

--1.1.3 事件的关系

--1.1.4 事件的运算规则和综合例子讲解

--讨论题:互斥事件与对立事件的异同

--概率论的起源和发展课件

--三个基本概念课件

--知识拓展:概率论起源与发展

--事件的关系课件

--事件的运算规则和综合例子讲解课件

--第一章第一节作业

-第二节 事件的概率

--1.2.1 频率及概率的统计定义、概率的定义

--1.2.2 概率的性质

--讨论题:概率的有限可加性与可数可加性

--概率的定义课件

--概率的性质课件

--知识拓展:柯尔莫哥洛夫与概率公理

--概率的定义课件

--概率的性质课件

--第一章第二节作业

-第三节 古典概率

--1.3.1 古典概率

--1.3.2 几何概率

--讨论题:古典概型与几何概型

--古典概率课件

--知识拓展:几何概型之蒲丰投针问题(圆周率估算的一种方式)

--知识拓展:古典概率之球员生日问题

--几何概型课件

--第一章第三节作业

-第四节 条件概率

--1.4.1 条件概率的定义

--1.4.2 条件概率的计算

--1.4.3 乘法公式

--1.4.4 全概率公式定义及其理解

--1.4.5 全概率公式的例题讲解

--1.4.6 贝叶斯公式定义及其理解

--1.4.7 贝叶斯公式的例题讲解

--讨论题:条件概率与积事件的概率

--讨论题:全概率公式与贝叶斯公式的适应性

--乘法公式课件

--知识拓展:三门概率问题

--知识拓展: 全概率公式与点子多赢的概率计算

--知识拓展:贝叶斯公式与艾滋病检查

--知识拓展:贝叶斯公式与AI

--条件概率的定义课件

--条件概率的计算课件

--贝叶斯公式课件

--贝叶斯公式计算课件

--全概率公式课件

--全概率公式计算课件

--第一章第四节作业

-第五节 事件的独立性

--1.5.1 事件的独立性

--1.5.2 多个事件的独立性

--讨论题:独立与互斥的关系

--知识拓展:独立性的应用

--事件的独立性课件

--多个事件的独立性课件

--第一章第五节作业

第二章 一维随机变量及其分布

-第一节 随机变量的定义

--2.1 随机变量的定义

--讨论题:引入随机变量的目的

--随机变量的定义课件

--第二章第一节作业

-第二节 分布函数的定义

--2.2 分布函数的定义

--讨论题:分布函数的定义

--分布函数的定义课件

--知识拓展:非离散、非连续的随机变量及其分布函数的特例

--第二章第二节作业

-第三节 离散型随机变量

--2.3.1 离散型随机变量得定义及分布律

--2.3.2 两点分布和二项分布

--2.3.3 泊松分布

--讨论题:离散型随机变量的分布表示

--第二章第三节作业

--离散型随机变量定义课件

--知识拓展:二项分布与几何分布

--知识拓展:泊松分布的应用与泊松流

--两点分布与二项分布课件

--泊松分布课件

-第四节 连续型随机变量

--2.4.1 连续型随机变量的定义

--2.4.2 密度函数的例题讲解

--2.4.3 均匀分布

--2.4.4 指数分布

--2.4.5 正态分布的定义

--2.4.6 正态分布的实际应用

--讨论题:密度函数的不连续点

--讨论题:密度函数的连续性

--讨论题:连续性随机变量X=x的概率

--讨论题:连续型随机变量的分布表示

--正态分布的定义课件

--正态分布的实际应用课件

--知识拓展:指数分布的应用与推导

--知识拓展:正态分布在机械可靠性设计中的应用

--均匀分布课件

--密度函数的例题讲解课件

--指数分布课件

--连续型随机变量的定义课件

--第二章第四节作业

-第五节 一维随机变量函数的分布

--2.5.1 一维离散型随机变量函数的分布

--2.5.2 一维连续型随机变量函数的分布1

--2.5.3 一维连续型随机变量函数的分布2

--讨论题:求随机变量函数的密度函数的两种方法

--知识拓展:连续型随机变量函数的分布及其应用

--一维离散型随机变量函数的分布课件

--一维连续型随机变量函数的分布1课件

--一维连续型随机变量函数的分布2课件

--第二章第五节作业

第三章 多维随机变量及其分布

-第一节 多维随机变量的联合分布

--3.1.1 二维随机变量的联合分布

--知识拓展:随机信号的多维概率分布与密度

--二维随机变量联合分布定义及其性质课件

--第三章第一节作业

-第二节 二维离散型随机变量

--3.2.1 二维离散型随机变量

--二维离散型随机变量课件

--第三章第二节作业

-第三节 二维连续型随机变量

--3.3.1 二维连续型随机变量

--知识拓展:二维随机变量的概率分布与密度的图解

--二维连续性随机变量课件

--第三章第三节作业

-第四节 边缘分布

--3.4.1 离散型随机变量的边缘分布

--3.4.2 连续型随机变量的边缘分布

--讨论题:联合分布与边缘分布的关系

--知识拓展: 边缘密度的几何图解

--离散型随机变量的边缘分布课件

--连续型随机变量的边缘分布课件

--第三章第四节作业

-第五节 随机变量的独立性

--3.5.1 随机变量的独立性

--讨论题:随机变量的独立性与事件独立性的对比

--随机变量的独立性课件

--第三章第五次作业

第四章 随机变量的数字特征

-第一节 随机变量的数学期望

--4.1.1 数学期望的定义

--4.1.2 常见随机变量的数学期望

--4.1.3 随机变量函数的数学期望

--讨论题:数学期望与均值的理解

--第四章第一节作业

--数学期望的定义课件

--常见随机变量的数学期望课件

--随机变量函数的数学期望课件

--知识拓展:数学期望的由来

-第二节 随机变量的方差

--4.2.1 随机变量方差定义及其计算

--4.2.2 常见随机变量的方差

--4.2.3 随机变量方差的性质

--4.2.4 数学期望与方差的例题讲解

--讨论题:方差的意义

--讨论题:方差的大小

--第四章第二节作业

--知识拓展:方差的应用与风险型决策模型

--方差的定义与计算课件

--常见分布的方差课件

--方差的性质课件

--数学期望和方差的应用课件

第五章 极限定理

-第一节 大数定律

--5.1.1 切比雪夫不等式

--5.1.2 大数定律

--讨论题:依概率收敛的理解

--第五章第一节作业

--知识拓展:大数定理与蒙特卡洛模拟

--切比雪夫不等式课件

--大数定律课件

-第二节 中心极限定理

--5.2.1 独立同分布中心极限定理及原理

--5.2.2 拉普拉斯中心极限定理及原理

--二项分布近似计算的两种方法

--讨论题:中心极限定理的对比

--第五章第二节作业

--知识拓展:高斯与正态分布

--知识拓展:正态分布的应用——高尔顿钉板试验

--独立同分布中心极限定理课件

--拉普拉斯中心极限定理课件

知识拓展:三门概率问题笔记与讨论

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