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同学们好

今天我们继续来学习《情报监视侦察信息融合技术》的第三专题

主要学习另外一种解决估计问题的经典方法——线性最小均方误差估计

在最小二乘估计方法中

我们可以在不借助任何统计特性先验知识的情况下

对飞机速度进行较好地估计

但也正是因为它没有利用统计特性先验知识

因此估计效果存在一定的局限性

在这一讲中

我们仍然从该案例出发

考虑当一些统计特性先验知识已知时

如何能够更好地利用这些信息

进行更准确地估计

在有些关于飞机测速的实际问题中

我们可以大致了解飞机速度的均值与自协方差 即方差

知道雷达测量过程中误差的均值与方差

并且在客观情况下

飞机速度与测量误差互不相关

即速度与测量误差的协方差为零

这个时候 我们应该如何来进行参数估计呢

为了让我们所研究的问题更具普遍性

我们将要解决的问题描述成多维变量 即向量的形式

相关的变量用加粗后的符号来表示

其中 zₖ 是 q 乘 1 维的量测向量

hₖ 是 q 乘 p 维的已知参数矩阵

x 是 p 乘 1 维的被估计向量

nₖ 表示 q 乘 1 维的测量误差向量

为了简洁表示

我们仍然将问题描述成复合向量形式

将每次的量测数据放在复合向量中的对应位置上

分别用大写的 Z H 和 N 来表示复合后的量测

已知参数和测量误差向量

由此得出问题的复合向量描述形式

对于该问题

我们的目的是获得一个某种意义下最佳的估计量 x̂

对于该估计量

我们希望它与被估计量 x 之间的误差越小越好

二者之间的误差为 x 减去 x̂

我们用符号 x̃ 来表示

由于估计量 x̂ 为随机变量

相应的估计误差也是一个随机变量

因此我们采用估计的均方误差作为估计误差大小的衡量指标 即 J(x̂)

通过使该指标最小来进行估计

就可以获得一个均方误差意义下的最佳估计量

这种估计规则就称为最小均方误差估计

所得的估计量用其英文名称的首字母缩写 MS 作为下标进行标注

为使估计量的计算更为简便

我们令估计量是量测的一个线性函数

即令 x̂ 等于 a 加 B 乘以 Z

其中 a 和 B 为向量或矩阵形式的参数

在这种形式下

我们通过使衡量指标 J(x̂) 最小所获得的估计量就是一个均方误差意义下的最佳线性估计量

相应的估计规则就称为线性最小均方误差估计

所得的估计量用对应的英文名称首字母缩写 LMS 作为下标进行标注

与最小二乘估计类似

线性最小均方误差估计也可以转化成一个求解优化的问题

相应的优化求解也可以通过令衡量指标对估计量的一阶导数为零来进行计算

由于我们规定了线性最小均方误差估计量是量测的线性函数形式

因此计算该估计量就等价于计算其线性函数中的参数 a 和 B

那么相应的一阶导数为零的条件应该分别对于参数 a 和 B 成立

该条件中同样涉及到了函数对向量的求导计算

因此这里同样需要用到函数对向量求导的计算公式

根据该公式

我们可以分别对参数 a 和 B 进行计算

从而得出线性最小均方误差估计量的最终计算公式

这里参数 a 和 B 的具体计算过程大家可以参考本课程的电子教材内容

那么 基于线性最小均方误差估计的解决思路以及计算公式

如何来解决一个具体的问题呢

我们仍以速度估计为例

已知雷达工作的波长与多普勒频移的三次量测

估计目标飞机的相对速度

在之前的分析中

我们已经将该问题对应地描述为估计问题的标准形式

并且由已知条件可以计算出参数 hₖ

根据分析思路

我们需要将问题描述成复合向量形式

并将所有的量测和参数放在对应位置

从而构造出量测复合向量 Zₘ 和参数复合向量 Hₘ

然后套用线性最小均方误差估计量的计算公式

但是我们发现

计算公式所需的信息中我们仅能直接知道速度 x 的均值

为解决这一问题

我们进一步给出一种单参数形式的估计量计算公式

对于一类单参数形式的估计问题

已知被估计量 x 的均值为 x₀

自协方差即方差为 σₓ 的平方

测量误差 nₖ 的均值为零

协方差为 σₙ 的平方乘以 δ 函数

它表示每次测量误差的方差为 σₙ 的平方

不同次的测量误差协方差为零

此外

已知被估计量 x 与测量误差 nₖ 的协方差为零

即互不相关

那么 根据线性最小均方误差估计的分析思路

我们可以将该问题描述为复合向量形式

复合后的测量误差向量的均值仍然为零

自协方差为 σₙ 的平方乘单位矩阵

被估计量 x 与测量误差的复合向量的协方差仍然为零

通过以上的已知条件及线性最小均方误差估计量的计算公式

我们经过一些计算与变换后

可以得出单参数形式下线性最小均方误差估计量的计算公式

该计算公式的推导需要用到矩阵反演公式

感兴趣的同学可以自行推导

现在我们再回到之前的案例中

根据刚才给出的单参数估计量的计算公式以及已知条件

我们就可以直接将例题中的数据直接代入公式进行计算

计算所得的速度估计量为299.95008米每秒

它的估计效果

我们可以通过进一步分析线性最小均方误差估计量的性质来进行评价

根据线性最小均方误差估计量的计算公式

我们可以证明

线性最小均方误差估计量一定是一个无偏估计量

即估计量的均值等于被估计量 x 的均值

这就是线性最小均方误差估计量的第一个性质

由于线性最小均方误差估计量是通过最小化均方误差计算出来的

因此它的均方误差矩阵最小

具体的均方误差矩阵计算公式如下

这也是线性最小均方误差估计量的第二个性质

此外 我们还可以证明

线性最小均方误差估计量的估计误差与量测正交

这就是线性最小均方误差估计量的第三个性质

以上三个性质的证明过程大家可以参考本课程电子教材中的对应内容

那么

我们可以根据线性最小均方误差估计量的性质来分析

刚才例题中利用线性最小均方误差估计方法进行估计的效果

首先根据第一个性质我们知道

刚所计算出的速度估计299.95008米每秒是对实际速度的无偏估计

其次 根据第二性质中均方误差的计算公式

我们可以将例题中的数据代入计算公式

得出该估计量的均方误差为7.49875×10⁻³

小于我们在上一讲中采用最小二乘估计方法所得的估计量的均方误差

说明线性最小均方误差估计的估计效果要优于最小二乘估计

以上就是线性最小均方误差估计的基本内容

与最小二乘估计相比

线性最小均方误差估计直接从被估计量的估计准确度出发

而且能够利用被估计量与量测的前二阶矩来进行估计

因此估计效果更好

好 这次课的内容就介绍到这里 下课