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同学们，大家好

这次课我们来继续学习《情报监视侦察信息融合技术》的第三专题

具体介绍卡尔曼滤波的原理

在前几次课中，我们已经介绍了几种实现信号参数估计的具体方法

其中，线性最小均方误差估计是贝叶斯估计中最小均方误差估计方法的线性实现

也是公认最优的线性估计方法

而卡尔曼滤波则是线性最小均方误差估计方法在波形估计或者状态估计问题中的实现

我们首先来了解一下它实现的基本思路

根据之前推导出的线性最小均方误差估计量的计算公式

我们不难证明

线性最小均方误差估计量具有线性计算特性

即，对于一个由已知参数 A 与被估计量 x 所组成的线性变量 y=A*x

其线性最小均方误差估计量等于参数 A 乘以 x 的线性最小均方误差估计量

此外还可以证明

线性最小均方误差估计量具有递推计算特性

即，如果已知基于向量 p

为向量 x 构造的线性最小均方误差估计量为 x̂(p)

为向量 q 构造的线性最小均方误差估计量为 q̂(p)

那么，基于由 p 和 q 所组成的复合向量 Z

为向量 x 构造的线性最小均方误差估计量可以写成如下形式

其中， x̃(p) 与 q̃(p) 分别为基于向量 p 所构造的向量 x 与 q 的估计误差

基于这一递推计算性质

如果我们对状态估计问题中截止 k 时刻的所有量测向量组成的复合向量 Zₖ

将其中前 k-1 时刻的量测向量看作是向量 p

k 时刻的量测向量看作是向量 q

那么，基于复合量测向量 Zₖ

为 k 时刻的状态向量 xₖ 所构造的线性最小均方误差估计量就可以写成如下形式

在该表达式中

x̂ₖₗₖ 表示的是基于当前 k 时刻所有量测信息 Zₖ

对当前k时刻的状态 xₖ 所进行的估计

按照状态估计的三种类型划分

它可以称为是 k 时刻状态 xₖ 的滤波估计

x̂ₖₗₖ₋₁ 表示的是基于过去 k-1 时刻所有量测信息 Zₖ₋₁

对当前 k 时刻的状态 xₖ 所进行的估计

因此可以称为是 k-1 时刻对 k 时刻状态 xₖ 的一步预测

其中 x̃ₖₗₖ₋₁ 与 z̃ₖₗₖ₋₁ 分别表示相应的预测误差

这一公式就是基于线性最小均方误差估计方法所实现的卡尔曼滤波表达式

该表达式中涉及到了状态一步预测、量测一步预测误差、

状态预测与量测预测的协方差以及量测预测的自协方差

这些变量的计算需要利用到状态与量测的一些先验知识

而这些先验知识通常是由状态与量测的信号模型来表示的

接下来，我们先简单了解一下卡尔曼滤波所涉及的信号模型

信号一般是在某种规律的支配下进行变化的

对于线性的离散信号或者状态而言

它的变化规律通常可以由如下的线性差分方程来描述

它表示当前时刻状态 xₖ

是基于上一时刻状态 xₖ₋₁

在不确定的过程扰动 wₖ₋₁ 的作用下形成的

其中 Fₖ₋₁ 与 Γₖ₋₁ 分别表示 k-1 时刻的状态转移矩阵与扰动增益矩阵

这一描述状态变化规律的差分方程通常称为状态方程或者状态模型

量测信号通常是通过传感器对状态信号进行直接或间接测量之后获得的

而在测量过程中难免会引入不确定的测量噪声

它与状态信号之间的关系可以由如下的量测方程来描述

其中， Hₖ 表示观测矩阵或测量矩阵

νₖ 表示随机的观测噪声或测量噪声

这一描述量测与状态之间关系的方程通常称为观测模型或者量测模型

为了便于信息处理分析

通常不失一般性地对以上的信号模型作如下假设

假设过程扰动 wₖ 是均值为零、方差为 Qₖ 的高斯白噪声序列

也就是 wₖ 服从均值为零

方差为 Qₖ 的正态分布

并且，不同时刻的过程扰动之间协方差为零

假设测量噪声 νₖ 是均值为零

方差为 Rₖ 的高斯白噪声序列

也就是 νₖ 服从均值为零、方差为 Rₖ 的正态分布

并且，不同时刻的测量噪声之间协方差为零；

假设状态初始值 x₀ 与过程扰动 wₖ 以及与测量噪声 νₖ 均互不相关

即 x₀ 与 wₖ 之间以及与 νₖ 之间协方差均为零

利用以上模型与相关假设中所体现的先验信息

就可以在线性最小均方误差估计的基础上，推导出卡尔曼滤波的具体计算公式

回顾刚才我们得出的卡尔曼滤波表达式可知

只要分别计算出状态一步预测

量测一步预测误差

状态预测与量测预测的协方差以及量测预测的自协方差

就可以计算出卡尔曼滤波的状态估计值

首先来计算状态一步预测

根据状态模型以及线性最小均方误差估计量的线性计算特性

可以推导出以下公式

进一步根据模型假设中的先验信息可知

过程扰动 wₖ₋₁ 的线性最小均方误差估计量等于它的均值零

因此可推导出状态一步预测等于 Fₖ₋₁ 乘以 k-1 时刻的状态滤波估计 x̂ₖ₋₁ₗₖ₋₁

进一步根据状态模型

我们可以构造出状态一步预测误差的表达式如下

接下来，再来计算量测一步预测误差

根据量测模型以及线性最小均方误差估计量的线性计算特性

可推导出以下公式

进一步根据模型假设中的先验信息可知

测量噪声 νₖ 的线性最小均方误差估计量等于它的均值零

因此，可推导出量测一步预测误差

等于实际量测 zₖ 减去 Hₖ 乘以 k 时刻的状态一步预测 x̂ₖₗₖ₋₁

对于状态预测与量测预测的协方差

我们可以将刚才推导出的量测预测误差代入之后进行计算

根据量测模型，代入并化简后可以推导出如下公式

再进一步分解计算后推导出如下公式

而根据模型假设中的先验信息可知

状态预测误差与测量噪声 νₖ 互不相关

也就是，二者的协方差为零

因此，可以推导出状态预测与量测预测的协方差

等于状态预测的自协方差乘以 Hₖ 的转置

类似地

量测预测的自协方差可以表示如下

分解计算之后，并根据状态预测误差与测量噪声 νₖ 不相关的特性

可以推导出如下公式

其中，测量噪声 νₖ 的自协方差为 Rₖ

因此，可推导出量测预测的自协方差等于 Hₖ 乘以状态预测的自协方差再乘以 Hₖ 的转置

再加上 Rₖ

最后，将刚才所推导出的四项计算式

代入到卡尔曼滤波表达式之中

就可以获得卡尔曼滤波的计算公式

其中，为了表示方便

采用符号 Pₖₗₖ₋₁ 来表示状态一步预测的自协方差

在卡尔曼滤波计算公式中

等式右侧由三部分组成

分别是：根据状态模型所计算出的状态一步预测部分

根据实际量测与量测模型所计算出的量测一步预测误差部分

又称为新息或者残差

以及根据先验统计知识所计算出的参数部分

又称为滤波增益矩阵

由于卡尔曼滤波中涉及到了对状态的两类估计

也就是状态一步预测与状态滤波估计

因此，我们分别为这两类状态估计推导出相应的均方误差计算公式

以便评价其估计精度

对于状态一步预测的均方误差 Pₖₗₖ₋₁

根据之前推导出的状态一步预测误差可写出它的计算表达式

进一步分解计算后，可以推导出以下的公式

其中，根据模型假设先验信息可知

k-1 时刻的状态滤波误差 x̃ₖ₋₁ₗₖ₋₁ 与过程扰动 wₖ₋₁ 不相关

也就是，二者协方差为零

过程扰动 wₖ₋₁ 的自协方差为 Qₖ₋₁

令 k-1 时刻的状态滤波估计的均方误差表示为符号 Pₖ₋₁ₗₖ₋₁

则可推导出状态一步预测的均方误差计算公式

对于状态滤波估计的均方误差 Pₖₗₖ

根据推导出的状态滤波估计，可以写出它的计算表达式

进一步分解计算后，可推导出以下公式

对该公式进一步代入和化简

就可以推导出状态滤波估计的均方误差计算公式

由于滤波计算公式的整个推导都是建立在线性最小均方误差估计方法

以及线性信号系统模型的基础之上

因此，可以认为卡尔曼滤波的本质就是线性最小均方误差估计

在线性的波形估计或状态估计问题中的实现

而从滤波计算公式的形式上来看

卡尔曼滤波中的状态滤波估计

是利用实际量测所带来的新息或者残差

通过滤波增益矩阵对状态一步预测进行校正之后得到的

因此，可以认为卡尔曼滤波的形式是一个“基于模型预测+基于量测校正”的过程

以上就是对卡尔曼滤波的原理介绍

下次课我们再继续介绍卡尔曼滤波的具体应用

本讲到此结束，谢谢大家