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同学们好

今天我们继续来学习《情报监视侦察信息融合技术》的第三专题

主要学习解决信号参数估计问题的一种经典方法——最小二乘估计

在学习之前

我们先来看这样一个情景

我方雷达在某时刻发现了一架敌方飞机

为了获取该飞机相对我方的速度

我们可以根据多普勒原理

也就是雷达发射电磁波与目标反射电磁波之间的多普勒频移 fᵈ

电磁波的波长 λ 以及目标相对速度 v 之间所成立的等式关系

来计算飞机的相对速度

然而 实际中我们通过雷达所测量出的多普勒频移是一个不准确的信息

它是由真实的多普勒频移信息加上不确定的测量误差组成的

这使得理论上成立的等式关系在实际中不成立

而实际成立的等式应该是带有误差的关系式

它也是我们实际中的测量表达式

对于这个测量表达式

式中的多普勒频移是实际中的量测

我们可以用量测的符号 z 来表示

速度 v 是需要进行估计的量

我们可以用被估计量的符号 x 来表示

测量误差 eₖ 可以用误差的符号 n 来表示

2 除以波长 λ 为已知参数

我们可以用符号 h 来表示

那么我们就可以获得量测表达的标准形式

z 等于 h 乘 x 加 n

而我们对速度的获取问题就变成了基于量测来对被估计量进行估计的信号参数估计问题

通过分析可知

我们这里的估计要解决的问题就是如何最充分地利用雷达所得到的 m 次量测信息

来获得某种意义下最佳的估计量 x̂

根据这一目的 我们可以进行反推

首先分析最佳的估计量应该满足什么样的条件

然后再分析要满足这样的条件

我们应该如何利用量测信息

好 我们首先来看最佳的估计量应该满足什么条件

假设我们获得了一个估计量 x̂

那么我们可以对它左乘参数 hₖ

表示对第 k 次量测的估计量

进一步 用真实的量测 zₖ 减去该估计量

就可以表示出第 k 次量测的估计误差

我们可以用符号 x̂ₖ 来表示

我们知道 在估计过程中

误差越小表示估计得越准确

由于每次量测的估计误差有正有负

因此我们可以利用估计误差的平方来表示它的大小

而所有 m 次量测估计误差的总大小就可以用每次量测估计误差的平方和来衡量

我们用符号 J(x̂)来表示

它也称为估计误差的衡量指标

为了表示形式更简洁

我们通常将问题描述成复合向量形式

将每次的量测数据放在复合向量的对应位置上

分别用大写的 Zₘ Hₘ 和 Nₘ 来表示复合向量形式的量测

已知参数和测量误差

相应的量测估计误差也可以写成以下的复合向量表达形式

用大写的 N̂ₘ 来表示

根据向量的二乘型计算法则我们知道

所有量测的估计误差平方和

也就是说 估计误差的衡量指标可以表示成量测估计误差复合向量的二乘形式

在估计过程中

我们希望估计尽可能的准确

这就要求我们所获得的最佳估计量应该满足衡量指标最小的条件

因此

我们可以通过使以上的二乘形式的衡量指标最小来作为估计规则进行估计

这就是最小二乘估计的规则

根据该规则获得的估计量

我们用最小二乘的英文首字母缩写作为下标进行标注

在以上具体问题中

我们需要估计的速度为一维变量

而在一些实际问题中

需要估计的对象往往是多维的变量

比如对目标空间位置进行估计的问题

在这一问题中

需要我们进行估计的目标空间位置 p 就是一个三维变量

而我们通过三部雷达分别测量到的位置信息 p₁ p₂ 和 p₃ 也是三维变量

相应的测量误差同样也是三维变量

因此 为了让我们所研究的问题更具普遍性

我们将要解决的问题描述成多维变量 即向量的形式

对于原有问题中的一维量测 参数 被估计量 误差等变量

我们统一地用加粗后的符号来表示对应的多维向量

相应的第 k 次的量测估计误差也成为向量形式

将对应的向量形式的问题再次描述成复合向量形式

我们同样用加粗后的符号来表示对向量的复合向量

此时需要注意的是

原衡量指标中的一维量测估计误差平方计算就变成了多维量测估计误差的二乘计算

总体的衡量指标形式不变

对应的估计规则形式也不变

对于该估计规则 我们可以将它描述为一个数学优化的形式

可以看出

我们要获取的最佳估计量就是该优化问题的最优解

那么 我们的最小二乘估计就转化成一个求解优化的计算问题

我们知道 一般函数的最小值满足函数一阶导数等于零的条件

因此我们可以通过令该条件成立来计算最小二乘估计量

由于该条件中涉及到了函数对向量的求导计算

因此我们在这里给出一个二乘型函数对向量求导的计算公式

根据该公式

我们可以令衡量指标函数中的前一项为 U 后一项为 V

然后套用该计算公式即可得出进一步的条件公式

将最小二乘估计量代入该条件公式并进一步求导计算

即可得出量测复合向量与最小二乘估计量之间的等式关系

对该等式左右两边均左乘 Hₘ 的转置与其本身乘积的逆矩阵

即可求解出最小二乘估计量的计算公式

这里需要额外提一下

在有些问题中 逆矩阵可能不存在

使得估计量无法计算

此时我们可以采用广义逆矩阵来近似地代替逆矩阵进行计算

好 现在我们通过对原问题的分析和梳理

得到了最小二乘估计的解决思路以及计算公式

那么如何来解决一个具体的问题呢

我们仍以速度估计为例

已知雷达工作的波长与多普勒频移的三次量测

估计目标飞机的相对速度

在之前的分析中

我们已经将该问题对应地描述为估计问题的标准形式

并且由已知条件可以计算出参数hk

根据最小二乘估计的分析思路

我们需要将问题描述成复合向量形式

并将所有的量测和参数放在对应位置

从而构造出量测复合向量 Zₘ 和参数复合向量 Hₘ

最后套用最小二乘估计量的计算公式

将实际数据代入公式中即可进行计算

基于具体的量测数据对目标飞机速度的最小二乘估计结果为299.95米每秒

这就解决了实际的估计问题

通过以上过程

我们了解了最小二乘估计的具体估计方法

那么该方法进行估计的效果如何呢

要回答这个问题

我们需要进一步分析最小二乘估计量的性质

根据最小二乘估计量的计算公式

我们不难发现

该估计量是量测的线性函数

并且计算时不需要利用任何的统计特性先验知识

这也是最小二乘估计量的第一个性质

它使得估计量的计算尽可能的简便

在不利用统计特性知识的情况下

最小二乘估计的性能又如何呢

我们知道

衡量估计性能最基本的判断依据就是无偏性

在无偏性的基础上

我们希望估计量的均方误差越小越好

我们可以证明

当测量误差的均值为零时

最小二乘估计量是无偏估计量

即它的均值等于被估计量的均值

这就是最小二乘估计量的第二个性质

进一步 如果测量误差的均值为零

方差阵已知为 R 时

我们可以直接计算出估计量均方误差的大小

其计算公式如下

这就是最小二乘估计量的第三个性质

以上两个性质的证明过程大家可以参考本课程电子教材中的对应内容

这里我们就不进行具体的推导

根据以上性质

我们就可以来分析具体案例中利用最小二乘估计方法进行估计的效果

仍然针对刚才的案例

我们可以直接得出测量误差的复合向量 Nₘ

根据已知条件中每次测量误差的均值与方差

我们不难计算出

测量误差复合向量的均值为零

方差阵R是一个对角线元素为9的对角矩阵

那么 根据最小二乘估计量的第二个性质

我们可以判断出

刚才我们采用最小二乘估计方法所估计出的目标飞机的速度是一个无偏估计量

而根据最小二乘估计量的第三个性质

我们可以进一步计算出该估计量的均方误差 为7.5×10ˉ³

以上就是我们对最小二乘估计方法的基本介绍

在实际问题中 由于最小二乘估计所需要先验知识较少

因此应用范围比较广泛

但也正因为它所利用的先验知识较少

因此估计效果具有一定的局限性

好 这次课的内容就介绍到这里 下课