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同学们，大家好

这次课我们来继续学习《情报监视侦察信息融合技术》的第三专题

具体介绍卡尔曼滤波的应用

在上次课中，我们已经了解了卡尔曼滤波的原理

并且推导出了状态滤波估计与相应均方误差的计算公式

其中，状态滤波估计是由一步预测

滤波增益以及新息或者残差三部分组成 的

根据卡尔曼滤波的计算公式

我们可以在每个采样时刻

利用传感器所获得的量测信息，来计算出当前时刻状态的滤波估计值

以及滤波估计的均方误差

而每一时刻的状态滤波估计与均方误差都是基于上一时刻的结果来递推计算的

下面，我们首先来了解一下卡尔曼滤波的递推计算过程

根据卡尔曼滤波计算公式

我们可以先梳理出需要计算的各个变量

主要有：状态滤波估计 x̂ₖₗₖ

状态一步预测 x̂ₖₗₖ₋₁

预测均方误差 Pₖₗₖ₋₁

滤波增益矩阵 Kₖ 以及滤波均方误差 Pₖₗₖ

然后，根据各变量的下标含义，将其划分到不同的计算时刻

带有下标 k|k-1 的变量，它所表示的是根据 k-1 时刻的信息所计算出的 k 时刻的相应变量

可以在 k-1 时刻来完成

例如，状态一步预测 x̂ₖₗₖ₋₁ 以及预测均方误差 Pₖₗₖ₋₁

而带有下标 k 或者 k|k 的变量所表示的则是需要根据 k 时刻的信息才能计算出的相应变量

例如滤波增益 Kₖ

状态滤波估计 x̂ₖₗₖ 以及滤波均方误差 Pₖₗₖ

之后，按照先计算状态估计、后计算估计误差的顺序

可以梳理出整个卡尔曼滤波中各变量的递推计算顺序

再结合各个变量的具体计算公式

我们就可以整理出卡尔曼滤波的递推计算步骤

即，基于 k-1 时刻的计算结果 x̂ₖ₋₁ₗₖ₋₁ 与 Pₖ₋₁ₗₖ₋₁

依次计算 k 时刻的状态一步预测 x̂ₖₗₖ₋₁

预测均方误差 Pₖₗₖ₋₁

滤波增益矩阵 Kₖ

状态滤波估计 x̂ₖₗₖ 以及滤波均方误差 Pₖₗₖ

而根据以上整理出的卡尔曼滤波递推计算步骤

我们可以将卡尔曼滤波的递推实施过程总结成以下的流程图

在 k=0 的初始时刻

我们可以选取状态的初始估计值 x̂₀ₗ₀ 和相应的均方误差 P₀ₗ₀

然后，分别根据步骤一与步骤二为 k=1 时刻计算出状态一步预测 x̂₁ₗ₀ 与预测均方误差 P₁ₗ₀

在 k=1 时刻

首先根据步骤三计算出滤波增益矩阵 K₁

然后利用当前时刻传感器所获得的量测 z₁

根据步骤四计算出状态滤波估计 x̂₁ₗ₁

最后，根据步骤五计算出滤波均方误差 P₁ₗ₁

此时，就完成了一次卡尔曼滤波的递推计算

基于此次递推计算结果

可以再次实施卡尔曼滤波

根据步骤一与步骤二为 k=2 时刻计算出状态一步预测 x̂₂ₗ₁ 与预测均方误差 P₂ₗ₁

在 k=2 时刻

根据步骤三计算出滤波增益矩阵 K₂

然后利用当前时刻传感器所获得的量测 z₂

根据步骤四计算出状态滤波估计 x̂₂ₗ₂

最后，根据步骤五计算出滤波均方误差 P₂ₗ₂

从而再次完成卡尔曼滤波的递推计算

以上的过程不断地重复实施

就可以实现卡尔曼滤波的递推应用

接下来，我们通过一个简单的例子

来了解一下卡尔曼滤波是如何递推应用的

假设我们需要通过一个温度计

对某房间温度的实时测量值来监控该房间的温度变化

其中，房间温度就是待估计的信号波形

它的变化规律可以认为是

当前时刻的温度 xₖ 是在上一时刻温度 xₖ₋₁ 的基础上叠加了一个随机的温度变化扰动 wₖ₋₁

表示成标准状态方程形式，就是：xₖ = xₖ₋₁ + wₖ₋₁

温度计所测量到的温度就是量测信号 zₖ

它是在真实信号 xₖ 的基础上叠加了一个随机的测量噪声 νₖ

表示成标准量测方程形式，就是：zₖ = xₖ + νₖ

假设已知温度扰动 wₖ 服从均值为零、方差为 0.5 的正态分布

测量噪声 νₖ 服从均值为零

方差为 0.5 的正态分布

温度计在每个时刻的实时测量值如表所示

那么，该如何利用卡尔曼滤波来对房间温度的信号波形进行估计呢

对比已知条件和卡尔曼滤波的信号模型标准形式

我们不难看出

模型参数 F 、Γ 与 H 均为常数 1

而状态扰动与测量噪声的方差 Q 与 R 均为常数 0.5

利用卡尔曼滤波进行温度估计

我们首先需要选择 k=0 时刻的初始值

由于我们事先对房间温度一无所知

因此可以简单地选择初始估计值 x̂₀ₗ₀ 为零

该估计值的准确性无法确定

因此，可以选择一个较大的均方误差值

此处为了计算方便我们选择初始的均方误差 P₀ₗ₀ 为 999.5

接下来，我们就可以直接按照卡尔曼滤波的递推计算步骤来逐步进行计算

依次计算出 k=1 时刻的状态一步预测 x̂₁ₗ₀

预测均方误差 P₁ₗ₀

滤波增益矩阵 K₁

并利用 k=1 时刻温度计所测量的温度 20.01

计算出当前时刻的状态滤波估计 x̂₁ₗ₁ 以及计算出相应的滤波均方误差 P₁ₗ₁

保留此次滤波的结果

在此基础上，再次重复刚才的递推计算过程

即可获得 k=2 时刻的滤波结果

继续重复该过程，就可以实现对房间温度的波形估计

结合卡尔曼滤波的递推计算步骤以及刚才的应用实例

我们可以进一步分析卡尔曼滤波的应用特点

首先，根据递推步骤我们可以看到：

计算公式中所涉及的模型参数 F

Γ 、 H 、 Q 、 R 等等，可以是随时间变化的矩阵变量

也可以像刚才应用实例中一样，是不随时间变化的常数

这说明卡尔曼滤波既可以用于对单参数形式的平稳随机过程进行估计

也可以用于对矢量形式的非平稳随机过程进行估计

而且，当模型参数不随时间变化时

滤波增益矩阵 Kₖ 是可以离线计算的

从而减少了实施过程中的在线计算量

提高信息处理过程的实时性

其次，根据递推计算步骤与应用过程可以发现

卡尔曼滤波在计算过程中每个时刻仅需要保存状态滤波估计 x̂ₖₗₖ 与滤波均方误差 Pₖₗₖ

因此，它的在线实施过程中所需的数据存储量比较少、运算量也比较小

此外

滤波过程中不仅可以计算出状态一步预测 x̂ₖₗₖ₋₁

和状态滤波估计 x̂ₖₗₖ

还可以计算出预测均方误差 Pₖₗₖ₋₁ 和滤波均方误差 Pₖₗₖ

因此，它能够实时地对预测和滤波的精度进行评估

最后，根据状态滤波估计的计算公式，我们可以看出

状态滤波估计是两部分信息的加权组合

其中一部分信息是基于模型所获得的状态一步预测

另一部分信息则是由量测所带来的新息或残差

两部分之间的相对权重则是由滤波增益矩阵 Kₖ 来决定的

增益越大意味着状态滤波越依赖于由传感器所获得的量测

而增益越小则意味着状态滤波越依赖于基于模型所获得的一步预测

当量测噪声的方差 Rₖ 增大时

意味着噪声变大使得量测越不准确

此时滤波增益的值将减小

使得状态滤波估计更加依赖于基于模型所获得的状态一步预测

当过程扰动的方差 Qₖ₋₁ 增大时

意味着过程扰动变大使得模型越不准确

此时预测均方误差将增大

意味着状态一步预测变得越不准确

而根据滤波增益矩阵的等价计算公式可以知道

滤波增益矩阵将会增大

从而使得状态滤波估计更加依赖于由传感器所获得的量测信息

以上关系表明

卡尔曼滤波可以根据模型与量测的准确程度来自适应地调整滤波效果

使得状态滤波估计更加依赖于状态预测与新息之中相对准确的信息

而这一特点将在后续我们利用卡尔曼滤波进行目标跟踪的过程中发挥重要作用

以上就是我们对卡尔曼滤波具体应用的介绍

本讲到此结束，谢谢大家