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同学们，大家好

这次课我们来继续学习

《情报监视侦察信息融合技术》的第四专题

具体介绍目标运动的数学模型

在目标跟踪问题中

利用目标的运动信息来进行状态估计通常能够获得更好的跟踪效果

因此，大多数的目标跟踪算法都是以描述目标运动的模型为基础的

那么，对于三维空间中的一个目标

如何通过模型来描述它的运动呢？

我们首先来了解一下目标运动的建模机理

在目标跟踪问题中

我们最关注的就是目标的位置信息

因此，目标通常被当作是一个质心所在的质点进行考虑

它的运动信息包含了 x、y、z 三个方向的位置

位置的变化率——速度

以及速度的变化率——加速度等等

此时，对目标运动进行建模

就是用数学模型的形式来描述目标运动信息的变化规律

所建立的模型要尽可能地准确描述目标在不同时刻的运动模式

又要尽可能地便于在目标跟踪中进行数学处理

下面我们就来介绍几种描述目标运动的常见数学模型

首先，我们来了解多项式模型

由于目标在空间中的运动轨迹是一条随时间变化的连续曲线

它可以在 x、y、z 方向上投影成相应的位置坐标变化曲线

而任意一条曲线

在数学上都可以通过一个 n 阶多项式来近似表示

因此，目标的运动可以由三个不同方向上的多项式来表示

其中 Wx(t)、Wʏ(t) 和 Wᴢ(t) 分别表示三个方向上的噪声

可以看到，如果三个方向上的噪声互不相关

那么，目标的运动模型在三个方向上是相互独立的

通常情况下

为了简化模型

目标跟踪时可以假设目标在三个方向上的运动是相互独立的

因此，在考虑目标运动的数学模型时

可以以 x 方向上的运动为代表

其它方向上的运动可以类似地进行建模描述

为了准确描述目标的运动信息

多项式模型需要确定出相应的参数 a₀、a₁ 以及 aₙ 等等

这需要利用大量的历史数据进行多项式拟合

而且拟合出的多项式模型

难以对目标的未来运动信息进行较准确的预测

不利于进行目标跟踪

从目标本身运动的角度出发进行数学描述

还可以构建其它的数学模型

例如，常速度运动模型

目标在空间中的运动通常由不同的运动模式来支配

最常见的运动模式就是匀速运动了

此时，目标的位置受速度支配而变化

其速度近似为一个未知的非零常数 c

而加速度近似为零均值的白噪声 Wx(t)

有时可以忽略不计

因此，从目标自身运动的角度出发

能够表征它的运动信息的关键变量就是位置与速度

我们选择它们来构造目标的运动状态向量 x(t)

此时，目标运动的数学模型

就是描述目标运动状态 x(t) 的变化规律的数学公式

在连续时间情况下

根据匀速运动模式中位置、速度以及加速度之间的关系

可以构造出描述运动状态 x(t) 的变化规律的一阶常微分方程

即状态 x(t) 的一阶微分

等于状态传递矩阵 A 乘以状态 x(t)

加上干扰矩阵 B 乘以干扰 Wx(t)

其中矩阵 A 与 B 的具体参数如公式中所示

以上模型就是常速度运动模型

更准确的说法，应该是近似常速度运动模型或者近似匀速运动模型

由于该模型是基于目标的运动规律所建立的参数确定的数学模型

因此，可以实现对目标未来运动信息进行预测的功能

但是，该模型认为目标的加速度近似为零

因此，仅仅适合于描述目标非机动（也就是没有加速）的运动情况

在此基础上

可以进一步考虑目标加速的情况

构建常加速运动模型

在常加速运动模型中

目标的加速度近似为一个未知的非零常数c

而加速度的导数（即加加速度）近似为零均值的白噪声 Wx(t)

有时可以忽略不计

此时从目标自身运动的角度出发

能够表征它的运动信息的状态向量除了位置与速度之外

还需要考虑加速度

相应的状态一阶微分方程可以根据该运动模式中

位置、速度以及加速度之间的关系而表示如下

状态 x(t) 的一阶微分

等于状态传递矩阵 A 乘以状态 x(t)

加上干扰矩阵 B 乘以干扰 Wx(t)

其中矩阵 A 与 B 的具体参数如公式中所示

常加速运动模型更准确的说法

应该是近似常加速运动模型或者近似匀加速运动模型

由于该模型也是基于目标的运动规律

所建立的参数确定的数学模型

因此，可以实现对目标未来运动信息进行预测的功能

而且，该模型认为目标加速度不为零

因此，能够在一定程度上描述目标的机动

但是，该模型认为目标的加速度近似为常数

因此，当目标进行机动变化（也就是目标加速度变化）时

模型描述则不够准确

如果进一步考虑目标加速度变化的情况

可以构建 Singer 加速运动模型

在 Singer 加速运动模型中

目标的加速度近似为一个零均值、自相关的

一阶平稳马尔科夫过程

其加加速度可以描述为一个由加速度与零均值白噪声 Wx(t) 所组成的变量

此时，相应的状态一阶微分方程可以根据该运动模式中

位置、速度以及加速度之间的关系而表示如下

状态 x(t) 的一阶微分

等于状态传递矩阵 A 乘以状态 x(t)

加上干扰矩阵 B 乘以干扰 Wx(t)

其中矩阵 A 与 B 的具体参数如公式中所示

Singer 加速运动模型因其提出者 Robert Singer 而命名

也可以根据模型中加速度为零均值一阶马尔科夫过程的特点

而称为一阶时间相关运动模型

在该模型中

参数 α 是目标持续机动或加速的时间 τₘ 的倒数

一般在 0 与 ∞ 之间取值

当参数 α 趋于 ∞ 时

目标加速度的自相关函数将趋于 0

这意味着加速度趋于零均值的白噪声

而从物理意义上来看

参数 α 趋于 ∞ 等价于 τₘ 趋于 0

这意味着目标不做加速机动

因此，在这种情况下 Singer 加速运动模型将趋近于常速度模型

相反当参数 α 趋于 0 时

目标的加加速度将趋于零均值的白噪声

而从物理意义上来看

参数 α 趋于 0 等价于 τₘ 趋于 ∞

这意味着目标一直加速机动

因此在这种情况下 Singer 加速运动模型将趋近于常加速模型

可见当参数 α 在 0 与 ∞ 之间取值时

Singer 加速运动模型可以描述介于匀速与匀加速之间的运动

因此，它也具备了常速度运动模型与常加速运动模型的优点

既能够对目标未来运动信息进行预测

又能够较准确地描述目标的机动

但是该模型描述机动的准确性

明显地依赖于离线所选定的参数 α

此外，该模型认为目标在任意时刻的加速度均值为零

这一点与目标实际运动情况不符

如果在此基础上进一步考虑目标加速度均值变化的情况

可以构建当前统计运动模型

当前统计运动模型是在 Singer 加速运动模型的基础上

认为目标的加速度均值不应该始终为零

而是一个随时间变化的变量

此时，目标的加加速度可以描述为

一个由加速度、零均值白噪声 Wx(t)

以及加速度均值所组成的变量

而相应的状态一阶微分方程可以根据该运动模式中

位置、速度以及加速度之间的关系而表示如下

状态 x(t) 的一阶微分

等于状态传递矩阵 A 乘以状态 x(t)

加上矩阵 C 乘以加速度的均值

再加上干扰矩阵 B 乘以干扰 Wx(t)

其中，矩阵 A、B 和 C 的具体参数如公式中所示

该模型由我国学者周宏仁提出

他将模型中加速度的均值取为滤波器对加速度的估计值

由于加速度的滤波估计值

是由截止当前时刻的统计信息得到的

因此，该模型被称为当前统计运动模型

也可以根据加速度均值自适应变化的特点

而称为均值自适应加速运动模型

由于当前统计运动模型是基于 Singer 运动模型的改进

因此它也具备了 Singer 运动模型的优点

而它利用当前统计信息来自适应更新加速度均值的特点

使得模型更能够真实地反映目标机动的范围与强度的变化

以上就是几种最为常见的目标运动数学模型

我们主要考虑目标运动变量之间的关系

给出了连续时间情况下的数学模型

然而，由于目标跟踪过程通常是由计算机在离散的采样时刻进行处理

因此目标运动的数学模型往往需要以离散化的差分方程形式来描述

下面我们就来给出目标跟踪问题中

常用的常速度、常加速、Singer 加速

以及当前统计等运动模型的差分方程形式

由于常速度、常加速以及 Singer 加速运动模型

可以统一表示为如下的标准一阶线性时不变系统

因此根据线性系统离散化方法

以时间 T 为采样间隔

可以将上述系统离散化为如下形式

其中各参数与变量的计算方式如公式所示

而对于当前统计运动模型而言

由于考虑了加速度的非零均值

因此，其模型中多出了“矩阵 C 乘以加速度均值”这一项

该项离散化后如下

其中，矩阵 Uₖ₋₁ 的计算方式如公式所示

下面我们直接给出不同运动模型参数矩阵的具体计算结果

除了表中给出的模型参数矩阵之外

目标跟踪过程中还需要重点关注模型中干扰的统计特征

接下来我们给出连续时间运动模型中

干扰 Wx(t) 经过离散化后的统计特征变化关系

在各类连续时间运动模型中

我们所考虑的干扰为连续时间白噪声 Wx(t)

而在离散化时

我们将它与干扰矩阵 B 统一考虑

离散化后的干扰项为向量 Wˣₖ₋₁

其计算方式如公式所示

当连续噪声 Wx(t) 的均值为零时

其离散化后的干扰向量 Wˣₖ₋₁ 均值也为零

当连续噪声 Wx(t) 的功率谱密度为 Sx 时

其离散化后的干扰向量 Wˣₖ₋₁ 的方差可以计算如下

其中，矩阵 Q 根据不同运动模型的具体参数

而有不同计算结果

下面，我们直接给出不同运动模型中矩阵 Q 的计算结果

以上就是对目标跟踪中常见的目标运动数学模型

及其离散化形式的介绍

由于目标运动的模式千变万化

因此描述目标相应运动的数学模型也是千差万别

目前相关领域学者所提出的不同模型虽然各具优势

但也都存在一定的局限性

希望同学们能够站在前辈学者们的肩膀上

发挥自己的聪明才智

迈出模型创新的步伐

本讲到此结束

谢谢大家