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同学们，大家好

这次课我们来学习《情报监视侦察信息融合技术》的第三专题

具体介绍估计理论的一些基本概念

在实际的情报获取过程中

我们通常要通过传感器对某些目标的信息进行测量

比如，空间中某个目标的位置 p 、某个运动目标的速度 v 等等

然而，在对目标信息进行测量的过程中

不可避免地会引入一些不确定误差

导致无法获得目标的准确信息

因此需要我们采用估计方法，对测量到的信息进行处理

得到更准确的信息

而要进行估计，我们需要首先明确几个术语

一是被估计量

就是需要采用估计方法来获取的信息

我们统一用符号 x 来表示

例如，三维空间中目标飞机的位置

二是观测量

就是通过传感器所测量到的信息

我们统一用符号 z 来表示

例如，雷达对目标飞机测量到的位置

三是估计

就是根据观测量获取被估计量的过程

基于以上术语

我们可以从估计的本质出发

给出一个普适的定义

假设被估计量是一个 r 维矢量 x ，观测量是 q 维矢量 z

那么，估计就是在获得一组观测量 z 的情况下

构造一个关于观测量 z 的函数 x̂(z) 来估计 x 的值

而 x̂(z) 就称为是 x 的一个估计量

或者称 x 的估计量是 x̂(z) ，简记为 x̂

估计理论所要解决的问题就是

如何最充分地利用观测量 z

来得到某种意义下最佳的估计 x̂

因此，我们在讨论最佳估计问题时

常常是以“使得估计的性能指标达到某种意义下的极值”来作为最佳估计的准则

相应的估计准则还应该满足两个要求

一是要尽可能地反映出估计的效果，二是要尽可能的便于计算

根据需要获取的信息

（即被估计量）的类型不同

估计可以分为两类

当被估计量 x 是不随时间变化的未知参数变量时

相应的估计称为参数估计或参量估计；

而当被估计量 x 是随时间变化的未知过程变量时

相应的估计称为波形估计或状态估计

其中，被估计量为连续时间过程变量时，称为波形估计

为离散时间过程变量时，称为状态估计

由于参量估计或参数估计中被估计量不随时间变化

因此它是一类静态估计

而波形估计或状态估计中被估计量随时间进行变化

因此是一类动态估计

动态估计根据观测量与被估计量所处的时间不同，又可以分为三种类型

假设截止 t 时刻我们获得了对被估计变量 x(t) 的观测量 z(t)

利用这些观测量来获取当前 t 时刻的估计量 x̂(t) ，这样的过程称为滤波

而利用这些观测量来获取过去某一个 t-α 时刻的估计量 x̂(t-α) ，这样的过程称为平滑或者内插

用这些观测量来获取未来某一个 t+α 时刻的估计 x̂(t+α) ，这样的过程则称为预测或者外推

对于估计所涉及的被估计量 x 、观测量 z 以及估计量 x̂(z) 之间的关系

我们可以通过如下的一个统计模型来描述

该模型由四个部分组成

变量空间、概率映射、观测空间和估计规则

其中，变量空间是指由信源变量所构成的空间

每个信源变量 x 都可以用该空间中的一个点来表示

当信源变量只有一维时

该空间坍缩为一条直线

观测空间则是由相应的观测量所构成的空间

概率映射描述了信源变量对观测量的影响关系

是由传感器对信源的测量关系受到测量过程中的不确定因素干扰所形成的随机映射

估计规则是人为规定的从观测空间到估计量的映射关系

它描述了观测量 z 对估计量 x̂(z) 的影响

根据以上的统计模型可知

无论被估计量 x 是否为随机变量

它经过测量过程这样一个概率映射关系的变换后

在观测空间中所呈现的观测量 z 一定是随机变量

而观测量通过估计规则所规定的映射关系进行变换后

所呈现的估计 x̂(z) 也必定是随机变量

因此，当我们根据某种估计规则获得估计量之后

如果要对它的估计质量进行评价时

就需要根据它的某些数字特征或者统计特性来研究它的主要性质

下面我们主要介绍两种基于常用数字特征的性质

无偏性与有效性

首先，我们来看无偏性的定义

对于被估计量 x

如果它是非随机变量

那么它可以形象地表示为不随观测次数变化的常数

而根据观测量所获得的估计量 x̂ 则是随观测次数变化的随机变量

它的变化中心就是其数学期望，也就是即均值

如果估计量的均值等于被估计量

我们可以看到，估计量的变化就是以被估计量为中心的

这种情况下的估计量我们就称为是无偏估计量

而当估计量的均值不等于被估计量时，则称它是有偏的

类似地，如果被估计量 x 是随机变量

那么它可以形象地表示为随观测次数变化的变量

而根据观测量所获得的估计量 x̂ 仍然是随观测次数变化的随机变量

被估计量与估计量的变化中心是它们各自的数学期望，也就是均值

如果估计量的均值等于被估计量的均值

我们可以看到，估计量与被估计量的变化是同一中心的

这种情况下的估计量我们就称为是无偏估计量

而当估计量的均值不等于被估计量的均值时，则称它是有偏的

根据以上情况

我们可以总结出无偏性的定义

当估计量的均值等于被估计量的真值或者均值时

则称估计量为无偏的

否则称估计量是有偏的

而当估计量有偏时

我们定义被估计量的真值或均值与估计量的均值之间的偏差为估计偏差

此外，对于有偏的估计量 x̂

如果它的均值随着观测次数 m 的增加而逐渐趋近于被估计量的真值或均值

那么，我们可以称它是渐近无偏的

渐近无偏的物理含义如下图所示

当估计量无偏时

我们可以认为它是以被估计量真值或均值为中心的随机变量

它与中心的离散程度可以由均方误差的大小来描述

估计量的均方误差越小

表示估计量与被估计量在统计意义上越接近

也就是估计得越准确、越有效

因此，对于一个参数 x 的两个无偏估计量 x̂₁ 与 x̂₂

如果 x̂₁ 的均方误差小于 x̂₂ 的均方误差

那么，我们可以说 x̂₁ 比 x̂₂ 更有效

然而，任何无偏估计量的均方误差都不可能无限的小

而是具有一个确定的下界

该下界称为 Cramer-Rao 下界

当某个无偏估计量 x̂ 的均方误差等于 Cramer-Rao 下界时

说明它是所有无偏估计量中最有效的

此时我们称 x̂ 为无偏有效估计量

而如果 x̂ 的均方误差与另外一个无偏估计量 x̂₁ 的均方误差

比值随着观测次数 m 的增加而逐渐趋近于 1

那么，我们可以称无偏估计量 x̂₁ 是渐近有效估计量

以上就是本门课程中所涉及到的估计理论的一些基本概念

后续几讲我们将基于这些基本概念来介绍一些具体的估计方法

本讲到此结束，谢谢大家！