当前课程知识点:数学建模 > 3 数学建模初等方法 > 3-1 储蓄存单和抵押贷款买房 > 储蓄存单和抵押贷款买房
同学们好
这一节我们来看一个案例
这个案例是关于储蓄存单
和抵押贷款的
我们在银行存款的利息
是怎么计算的呢
我们来看
一开始为1万元的储蓄存单
也就是存款
在月利息为1%的条件下面的累积价值
下面这个数列
给出了这个存单逐月的价值
第一个月差分Δa0等于100
第二个月的差分Δa1等于101
第三个差分等于Δa2等于102
我们注意到
一个差分表示
在这个周期里面
差分的变化
其实就是我们存单中的利息
我们对发生在零散时间段上的变化
进行建模
一阶差分是很有用的
就像我们这个例子中
从一个月到下一个月
储蓄存单的价值变化
也就是我们得到的利息
如果n表示月数
而an就是n个月后储蓄存单的价值
也就是我们存款余额
那么每个月的价值变化
或者说利息的增长
由n个差分来表示
Δan等于an加1减an
等于0.01an
也可以把这个表达式
改为这样一个差分方程
即 an加1等于an加0.01an
我们还可以根据一开始的存款数值
得到动力系统模型
其中an是n个月后的本金及利息的
累计总值
因为n表示非负整数
n等于0、1、2等等
方程可以表示为
无穷多个代数方程
我们称为动力系统
动力系统能够描述
从一个周期到下一个周期的变化
知道了该序列的其中一项
就可以通过差分方程
计算出紧接着它的下一项
但不能直接给出任意确定的一项的值
因为这是我们常常看到的变化
通过表示或者近似表示
从一个周期到下一个周期的变化
就可以构造出差分方程
我们来修改这个例子
如果说从账户中每个月提取200元
那么一个周期存款的变化
就应该是这个周期里面
赚的利息减去200元提款
或者表达成这样
Δan等于an加1减an
也等于0.01an减200
在大多数的情况下
用数学式子描述变化
不会像我们现在说的这个案例
那么精准
常常需要画出变化
来观察它的模式
然后用数学语言来描述这种变化
也就是试图寻找它的变化
Δan它是某个函数
用这个方式对变化进行建模
就要去决定或者近似的决定
来表示这个变化函数f
下面我们来看一个更具体的
用差分方程来建立模型的例子
这个例子是关于抵押贷款买车的
比方说3年前
我们筹措了利息为4%
月还款为1906.15元的
5年贷款资金10万元
购买了一辆车子
我们现在已经还款了36个月
现在我们想知道还欠多少贷款
并且考虑用一笔刚得到的钱
来还清欠款
或者说想重新根据偿还的时间的长短
以不同的利息来还抵押贷款
我们知道
每个周期的欠款额
会因为我们的利息而增加
但又因为每个月在还款而减少
因此我们得到模型
Δbn等于bn加1减bn
等于0.004bn减1906.15
求解并加进初始条件
就给出了动力系统模型
bn加1等于bn加0.004bn减1906.15
其中b0等于10万
因此我们得到各月欠款余额
由第一个月的借款余额为98493.85元
如第二个月的月末欠款余额为
96981.68元
最后我们可以得到这个序列
在还款36个月后
还欠43537.21元的抵押贷款
在这节里面
我们对储蓄存单和抵押贷款买车
建立了数学模型
通过这个例子我们可以看到
在现实中有很多实际的问题
可以用简单的数学模型
就能够把问题解决的很好
希望同学们在后面的生活工作中
多观察、多使用数学模型解决问题
同学们下节见
-1-1 数学建模无处不在
--数学建模无处不在
-1-2 从现实对象到数学模型
-1-3 数学建模的基本方法和步骤
-1-4 如何学习数学建模
--如何学习数学建模
-1 数学建模无处不在--本章测验
-2-1 数学建模思维
--数学建模思维
-2-2 几种创新思维
--几种创新思维
-2-3 问题的提出与分析
--问题的提出与分析
-2-4 建模目标
--建模目标
-2-5 建模计划
--建模计划
-2-6 建立数学模型
--建立数学模型
-2 数学建模思维与过程--本章测验
-3-1 储蓄存单和抵押贷款买房
-3-2 单车租赁调度
--单车租赁调度
-3-3 最佳出售时机
--最佳出售时机
-3-4 名额的公平分配
--名额的公平分配
-3-5 汽车的油耗
--汽车的油耗
-3-6 传染病模型
--传染病模型
-3 数学建模初等方法--本章测验
-4-1 线性规划——生产计划
-4-2 线性规划——运输问题
-4 数学规划I--本章测验
-5-1 整数规划问题
--整数规划问题
-5-2 指派问题
--指派问题
-5-3 非线性规划
--非线性规划
-5-4其他规划模型
--其他规划模型
-5 数学规划II--本章测验
-6-1 层次分析法I
--层次分析法I
-6-2 层次分析法II
--层次分析法II
-6-3 其他评价方法
--其他评价方法
-6 层次分析法--本章测验
-7-1 线性回归I
--线性回归I
-7-2 线性回归II
--线性回归II
--线性回归III
-7-3 数据的自相关I
--数据的自相关I
-7-4 数据的自相关II
--数据的自相关II
-7-5 非线性回归
--非线性回归
-7 回归分析--本章测验
-8-1 数学建模方法综述
--数学建模方法综述
-8-2 数学建模报告
--数学建模报告
-8 数学建模方法与报告--本章测验