当前课程知识点:数学建模 > 7 回归分析 > 7-2 线性回归II > 线性回归III
同学们好
这一节我们继续来学习
线性回归来
来看这个案例
前面已经讨论了检验模型合理性
和模型的具体应用
下面我们回到模型
来看模型还可以怎样进一步的优化
和改进
这个模型中
α2的置信区间包含了0点
所以模型还是不够完善的
我们考察这个模型发现
x1、x2和y的影响是独立的
因此我们可以增加一个交叉项
即x1、x2对y的影响
这种交叉作用
得到模型是
根据改进的模型我们matlab函数
代入数据可以算出它的统计检验量
回归系数α0、α1、α2、α3
和α4的估计值
以及置信区间
在这个表中
由模型结果可以看到
R平方值比之前更优
总体看比原模型更好
模型回归系数的置信区间
各项不包含0点非常正常
模型基本是可用的
比原来的模型更好更理想
现在我们经过模型应用
来比较两个模型哪个更合理
有两个模型的销售量预测值做比较
在价格优势和促销投入相同情况下
比较两个模型的预测值
我们看到
同样在0.2元的价格优势下面
促销投入同样是7万元的情况下
比较这两个模型的预测结果
我们看到前面的模型
得到预测值是9.1697万个
预测区间是8.6585至9.6809
而预测区间是8.7439至9.6749
比原来的模型预测期间更短
这说明改进模型比原模型更合理
下面我们继续来讨论它的残差
残差是指实际观测值
与回归估计值的差值 即
有多少个样本数据就有多少个残差
残差分析是通过残差所提供的信息
来分析出数据的可靠性、周期性
及其它的干扰
我们可以通过matlab软件的
命令函数
做残差图
来分析残差
r和rint是前面用函数命令得到的
残差估计值和残差置信区间
我们来看一下原模型的残差分析图
以及改进后模型的残差分析图
从个残差图我们可以看出
数据的残差离0点的远近
显然改进模型的残差更小
当残差的置信区间都包含了0点
这说明回归模型能较好的
符合原始数据
否则就视为异常点
在原模型中第5、第33个样本
以及改进模型中第十一个样本
都有异常
当有异常数据的时候
我们应该剔除异常数据再做拟合
比如我们剔除第11个样本的数据
再拟合改进模型
得到的拟合结果为
得的残差图可以看到
显然拟合效果比剔除异常数据前要好
下面我们讨论模型
作灵敏度分析
首先我们在7万元的促销投入下面
来研究价格优势
对改进模型的销售量的影响
如图 我们可以看到
价格优势和销售量之间呈线性关系
在0.2元的价格优势下面
我们来看促销投入对改进模型的影响
我们来看这个图
从图中我们可以看到
在促销投入少于7万元的时候
可以看出促销投入
对销售量的提升效果是不明显的
当投入超过7万元
达到8万元 甚至9万元的时候
促销投入的效果越来越明显
对销售量的促进作用越来越大
下面我们来看
交叉相对于模型的影响
我们来看价格优势0.2元
和价格优势0.5元代入模型中
由促销投入与销售量的关系
我们得到对比图
红色的这条线是价格优势0.5元的情况
蓝色这条线是价格优势0.2元的情况
由这个图我们可以看出很多信息
首先我们可以看到两条曲线的交点
在7.7万元
那么在这个交点
也就是7.7万元以上的促销投入上下面
主要是通过促销投入来吸引销售量
甚至在促销投入超过7.7万元以后
价格越高 销售量反而越高
促销投入对销售数量的作用明显
这个结论基本符合我们对
销售促销和价格优势
对销售量影响的规律认识
这个案例的基本思路是
根据已知的数据做分析、做图
去估计它们的基本规律
确定回归变量和函数的形式
我们尽量采用简单的形式
然后去猜测模型结构
我们用软件去求解
通过对结果的统计检验量
从整体上去评价模型
对回归系数的计置信区间
是否包含0点来检验回归变量
对应变量的影响是否显著
再用改进模型进行预测
这节我们讨论了线性回归模型
同学们下节见
-1-1 数学建模无处不在
--数学建模无处不在
-1-2 从现实对象到数学模型
-1-3 数学建模的基本方法和步骤
-1-4 如何学习数学建模
--如何学习数学建模
-1 数学建模无处不在--本章测验
-2-1 数学建模思维
--数学建模思维
-2-2 几种创新思维
--几种创新思维
-2-3 问题的提出与分析
--问题的提出与分析
-2-4 建模目标
--建模目标
-2-5 建模计划
--建模计划
-2-6 建立数学模型
--建立数学模型
-2 数学建模思维与过程--本章测验
-3-1 储蓄存单和抵押贷款买房
-3-2 单车租赁调度
--单车租赁调度
-3-3 最佳出售时机
--最佳出售时机
-3-4 名额的公平分配
--名额的公平分配
-3-5 汽车的油耗
--汽车的油耗
-3-6 传染病模型
--传染病模型
-3 数学建模初等方法--本章测验
-4-1 线性规划——生产计划
-4-2 线性规划——运输问题
-4 数学规划I--本章测验
-5-1 整数规划问题
--整数规划问题
-5-2 指派问题
--指派问题
-5-3 非线性规划
--非线性规划
-5-4其他规划模型
--其他规划模型
-5 数学规划II--本章测验
-6-1 层次分析法I
--层次分析法I
-6-2 层次分析法II
--层次分析法II
-6-3 其他评价方法
--其他评价方法
-6 层次分析法--本章测验
-7-1 线性回归I
--线性回归I
-7-2 线性回归II
--线性回归II
--线性回归III
-7-3 数据的自相关I
--数据的自相关I
-7-4 数据的自相关II
--数据的自相关II
-7-5 非线性回归
--非线性回归
-7 回归分析--本章测验
-8-1 数学建模方法综述
--数学建模方法综述
-8-2 数学建模报告
--数学建模报告
-8 数学建模方法与报告--本章测验