当前课程知识点:数学建模 > 3 数学建模初等方法 > 3-4 名额的公平分配 > 名额的公平分配
同学们好
这节我们来看公平的名额分配问题
这问题是这样子的
公司有3个部门
共有100名职员
其中A部门30名
B部门50名
C部门20名
如果公司准备出资
提供10个进修培训名额
分配给各个部门
公平而又简单的名额分配方法是
按各个部门人数的比例进行分配
显然 A、B、C3个部门
分别应该占得3、5、2个名额
现在C部门有6名职员
转入了A部门和C部门
这时候各部门的人数为
依然按比例分配名额就会出现小数点
现在将取得的整数9个名额分配完毕
3个部门都同意按照所谓的惯例
将比例分配中小数点部分最大的C部门
多分配1个名额
于是3个部门依然分别占有
3、5、2个名额
现在公司决定
下半年提供进修培训的名额增加一个
它们按照前面的方法重新来分配名额
计算结果可以看到
显然这个结果对C部门太不公平了
因为总名额增加一个的时候
而C部门却由原来的两个名额
减为一个名额
为了寻找新的公平的名额分配方法
我们现来讨论
衡量公平的数量指标
这种定义一个指标
来衡量研究对象的一种特征的工作
在数学建模中
是很常见的
比如 对公平性的衡量刻画
比如 对幸福感的衡量刻画
比如 对剥夺感的衡量刻画
又比如对安全性的衡量刻画
那么不公平指标怎么来刻画呢
我们先来刻画不公平的程度
我们先来考虑AB两方分配名额的情况
如果两方的人数分别为pA、pB
占有的名额分别为nA、nB
那么比值pA比nA
pB比nB
就是AB两方每个名额所代表的人数
显然 只有在pA比nA等于
pB比nB的时候
分配才是完全公平的
但是因为人数和名额都是整数
那么通常pA比nA不等于pB比nB
因此 分配会出现不公平
而且是对比值较大的一方不公平
我们假设nA分之pA大于nB分之pB
这样的情况显然对A不公平
那么不公平程度可以用数值
nA分之pA减nB分之pB来衡量
现在我们看一个例子
假设pA等于150
pB等于100
nA等于10
nB也等于10
那么代入前面的这个式子
我们就可以得到
它们的差值等于5
它可以用来衡量不公平的绝对程度
但是常常没办法区分不公平程度
明显不同的情况
比如 如果我们把这个例子中的双方人数
增至pA等于1005时
pB等于1000
而nA等于10
nB等于10不变
那么它们的差值可见还是等于5
也就是说不公平的绝对程度一样
但是我们比较这两种情况会发现
后面这种情的不公平程度
比起前面来说
已经大为改善了
为了改善前面所说的这种绝对标准
自然我们就会想到相对标准
我们仍然假设
nA分之pA大于nB分之pB
我们来定义对A的相对不公平程度为
如果nB分之pB大于nA分之pA
那么我们就来定义对B的
相对不公平程度为
建立了衡量分配不公平程度的指标
rA、rB以后
那么我们就可以制定名额分配的原则是
使它们尽可能的小
这样我们就得到了新的分配方法
假设A、B两方分别占名额nA、nB
利用相对不公平程度
rA、rB的讨论
当总名额增加一名的时候
应该分配给A还是分配给B呢
我们来看
假设nA分之pA大于或等于nB分之pB
当大于号成立的时候
对A是不公平的
就要增加一个名额给A
这个时候nA就变为了nA加1
如果把这个名额分配给B
那么nB就变为了nB加1
原来的不等式可能会出现3种情况
第一种情况nA加1分之pA大于nB分之pB
说明即使A增加一个名额
依然对A这不公平
那么这个名额显然就应该给A了
第二种情况
nA加1分之pA小于nB分之pB
说明A增加一个名额将对B不公平
这时候我们要计算
对B的相对不公平程度为
这时我们还看第三种情况
nA分之pA大于nB加1分之pB
说明对B增加一个名额
将对A不公平
这个时候我们计算出
对A的相对不公平程度为
在此相对不公平程度尽量小的原则下
来分配
如果rB小于rA
那么增加的一个名额就应该给A
反之如果rB大于rA
那么这个名额就应该分配给B
根据前面3种情况
等价于nB乘以nB加1分之pB平方
小于nA乘以nA加1分之pA平方
我们可以证明
即使是第一种情况
nA加1分之pA大于nB分之pB
也会得到上面这个式子
所以我们的结论是
当nB乘以nB加1分之pB的平方
小于nA乘以nA加1分之pA的平方
成立的时候
就应该把这个名额分配给A
反之应该分配给B
这种方法可以推广到
N方分配名额的情况
假设第i方人数为pi
已经占有了ni个名额
i等于1、2到m
当总名额增加一个的时候
我们来计算Qi等于
ni乘以ni加1分之pi平方
增加的一个名额应该分配给
Q值最大的一方
我们不妨把这种方法称为Q值法
下面我们就用Q值法重新来讨论
开头我们提出的A、B、C3个部门
分配11个名额的问题
前面的9个名额可以按照
比例取整的方式
分配给A部门3个名额
B部门5个名额
C部门1个名额
当这个结果与用Q值法
从nA等于nB等于nC等于1的情况开始
按总金额每增加一个
进行逐一计算的结果是一致的
那么下面我们来讨论第10个名额的分配
这个时候QA等于90.75
QB等于93.63
QC等于98
显然QC最大
第10个名额应该分配给C部门
下面我们看第11个名额的分配
这个时候QC等于32.67
QA等于90.75
QB等于93.63
显然QB最大
第11个名额应该分配给B部门
最终11个名额的分配结果是
3个部门分别占有3、6、2个名额
这个方法是20世纪20年代
由哈佛大学的数学家
提出和推荐一系列分配方法中的一个
在这一节我们讨论了
名额分配的数学建模过程
这是一个分配问题中常见的问题
-1-1 数学建模无处不在
--数学建模无处不在
-1-2 从现实对象到数学模型
-1-3 数学建模的基本方法和步骤
-1-4 如何学习数学建模
--如何学习数学建模
-1 数学建模无处不在--本章测验
-2-1 数学建模思维
--数学建模思维
-2-2 几种创新思维
--几种创新思维
-2-3 问题的提出与分析
--问题的提出与分析
-2-4 建模目标
--建模目标
-2-5 建模计划
--建模计划
-2-6 建立数学模型
--建立数学模型
-2 数学建模思维与过程--本章测验
-3-1 储蓄存单和抵押贷款买房
-3-2 单车租赁调度
--单车租赁调度
-3-3 最佳出售时机
--最佳出售时机
-3-4 名额的公平分配
--名额的公平分配
-3-5 汽车的油耗
--汽车的油耗
-3-6 传染病模型
--传染病模型
-3 数学建模初等方法--本章测验
-4-1 线性规划——生产计划
-4-2 线性规划——运输问题
-4 数学规划I--本章测验
-5-1 整数规划问题
--整数规划问题
-5-2 指派问题
--指派问题
-5-3 非线性规划
--非线性规划
-5-4其他规划模型
--其他规划模型
-5 数学规划II--本章测验
-6-1 层次分析法I
--层次分析法I
-6-2 层次分析法II
--层次分析法II
-6-3 其他评价方法
--其他评价方法
-6 层次分析法--本章测验
-7-1 线性回归I
--线性回归I
-7-2 线性回归II
--线性回归II
--线性回归III
-7-3 数据的自相关I
--数据的自相关I
-7-4 数据的自相关II
--数据的自相关II
-7-5 非线性回归
--非线性回归
-7 回归分析--本章测验
-8-1 数学建模方法综述
--数学建模方法综述
-8-2 数学建模报告
--数学建模报告
-8 数学建模方法与报告--本章测验