线性规划——生产计划在线视频

在我们日常生活中要做很多决策

而且这些决策

都要各种各样的限制条件下

比如说企业管理、生产计划

对

在经济管理、工程技术、企业生产等

实际工作生活中

常常遇到一类问题是

要在一系列限制条件下给出

使得某项或者多项指标最优

最大或最小的决策方案

这类问题我们统称为最优化问题

数学规划是求解这类问题的常用方法

它包括三个要素

一是决策变量

即该问题要求解答那些未知量

二是目标函数

该问题要优化哪些指标的

数学表达式

三是约束条件

即该问题对决策变量的限制条件

数学规划模型

所有的决策变量都是实数

且目标函数和约束条件

都是线性函数式称为线性规划

若数学规划模型的目标函数和约束条件

至少有一个函数是非线性函数式

称为非线性规划

若数学规划模型的决策变量至少

有一个只能取整数式

称为整数规划

若数学规划模型有

多个目标函数式

称为多目标规划

线性规划模型的一般形式为

矩阵形式为

其中称z为目标函数的目标值

称c等于c1、c2到cn

为目标函数的系数向量

称x等于x1、x2到xn

为目标函数的系数向量

称b等于b1、b2到bn

为约束方程组的系数矩阵

你说得太复杂了听不懂

我刚好遇到一个问题

要不你帮我看看这怎么解决吧

我们在工厂生产甲乙两个产品

生产这两种产品的时候

需要消耗两种原料A和B

生产每吨产品甲需要A原料1.2吨

B原料1.8吨

生产每吨产品乙需要A原料2.9吨

B原料1.3吨

产品甲、乙销售利润分别为

7.8、9.2千元每吨

本周最多可销售50吨、30吨

工厂本周最多可以获得A、B原料

110吨、120吨

那我们该怎么制定本周的生产计划呢

我们先来清晰这个问题

看这个关系图表

那我们一起来进行数学建模

首先我们要确定你的

回答你的问题结构

你的问题是本周生产计划

那我们就要表达这个生产计划

那就是

本周生产多少吨产品甲

生产多少吨产品乙

恩 对

我们如何给出了一个生产计划

如何评价这个方案合理呢

郝问题

你认为什么样的生产计划才是好的呢

我希望在这个生产方案下

工厂所获的利润最大

工厂利润最大

就是评价生产计划的依据

要找到合适的生产计划

还需要在一定的限制下

比如工程原料供应的限制

产量的限制

小结一下

我们来给出这个问题的问题分析

这是一个优化问题

这个优化问题的目标是使得

工厂本周利润最大

要做的决策是

工厂本周的生产计划

即本周生产多少吨产品甲

生产多少吨产品乙

决策受到2个条件的制约

原料供应、产量限制

根据问题描述和分析

将决策变量、目标函数

和约束条件刻画出来

就可以得到下面的基本模型

决策变量

刻画回答问题的结构

这里问题是

确定本周生产计划

即本周生产多少吨产品甲

生产多少吨产品乙

故设本周生产x1吨产品甲

生产x2吨产品乙

目标函数

使得加工厂本周利润最大

即本周销售产品甲的利润

加销售产品乙的利润

设本周获利z元

x1吨产品甲

获利7.8x1千元

x2吨产品乙

获利9.2x2千元

故z等于7.8x1加9.2x2

约束条件

原料供应

本周用于生产产品甲和乙的原料A

总量不得超过本周原料A的供应量

即1.2x1加2.9x2小于等于110

本周用于生产

产品甲和产品乙的原料B

总量不得超过本周原料B的供应量

即1.8x1加1.3x2小于等于120

还有产量限制

产品甲和乙的本周生产量

不得超过本周的最大销售量

即x1小于等于50

x2小于等于30

非负约束

即x1、x2均为非负实数

x1大于等于0、x2大于等于0

最后我们可以得到总的数学模型

我们来小结一下这个建模过程

我们根据问题从问题出发

进行分析

得到解决这个问题优化模型结构的

三大要素

决策变量、目标函数、系列约束函数

我们先给出基本模型

叙述目标函数、约束函数

都是采用先给出文字表达函数关系

再给出符号表达的数学函数的方式

建立基本模型

最后再给出完整的数学模型

这样逐步推进

使得我们面对复杂问题时

可以让我们的思路更清晰

建模过程更有条理

这样我们就建立了数学模型

那结果呢

结果就要找我们技术猿来帮忙了

hi 技术猿

我们得到了一个优化模型

你看一看这个怎么求解呢

我们可以编写各种优化算法的程序

来解决这个模型

但是这类方法一般都会比较繁琐

所以为了简化这些繁琐的过程

我们可以运用一些相关的软件

比较有代表性的

就是Matlab软件和 LINGO软件

这个问题我们采用LINGO软件

下面我来介绍一下LINGO软件

LINGO软件它是由

美国LINDO公司推出的

它的功能十分强大

专门用于求解优化模型

下面我们就来用LINGO软件

来具体求解这个模型吧

首先我们在LINGO软件下面

新建一个模型文件

然后输入程序代码

LINGO的程序

一般都是以model开头

以end结束的

也可以省略不写

这个看个人的编程风格

字体的大小写不用区分

每个语句必须用分号来隔开

注意必须是英文的分号

而且所有输入的代码

都要用英文输入法

不能用中文输入法

LINGO中所有的决策变量

都是非负的

如果你输入大于

它其实表述的是大于等于

这个时候就可以简写

直接输大于就可以表示大于等于了

在我们输入模型中的第一行

为目标函数

下面的几行前面标有st1、st2

等是对各个约束的命名

以便在结果中对应查找相关的信息

最后我们将文件命名保存

并按菜单中的solve执行

最后可以得到如下结果

结果中的前三行表明

LINGO求出了模型的全局最优解

最优值为548.6

即本周工厂最大可获利548.6207千元

接下来的三行表明

最优解具体的参数

x1等于50、x2等于17.24

既然有了结果

我们下面就要对结果进行一些分析

继续挖掘它结果所隐含的信息

根据上面结果显示的最优解

我们进行下面具体的分析

首先1中4个约束条件的右端

分别表示原料A的供应

原料B的供应

本周产品甲产量限制

本周产品乙产量限制

LINGO结果输出第9至12行

给出了4种资源在最优解条件下

是否有剩余

首先 原料A剩余为0

原料B剩余为7.58

本周产品甲的产量剩余为0

本周产品乙的产量剩余为12.75

一般我们称剩余为0的约束条件为紧约束

或者称它为有效约束

目标函数不能进一步优化

正是紧约束所导致的

紧约束一旦放宽

那么它的目标函数值

就会得到进一步的优化

也是说本周生产50吨产品甲

约17吨产品乙

工厂的利润最大约为548千元

谢谢 谢谢技术猿

谢谢数模君

数模君

这个问题已经解决了

但是我在实际问题中

还是有一些困惑

一些附带的问题

比如说如需购置原料A以增加产量

最多应付原料A多少千元每吨

最多可采购多少吨呢

这个我知道

LINGO软件可以专门的

对这些信息进行分析

不过只能对线性规划模型才有意义

嗯 技术猿说得对

这是模型分析和讨论的工作

我建议采用直接建模

再求解的办法来解决这类问题

比如郝问题提出的这个问题

若需购买原料A以增加产量

最多应再付原料A多少千元每吨

最多可采购多少吨

将优化模型的式2的右段项

110改为111

可以得到目标最优值

也就是利润

由548增至551

增长了约3吨

因此若购买原料A以增加产量

最多应再付原料A3千元每吨

最多可采购多少吨呢

设最多可采购h吨

将目标函数改为

将式2改为

对应修改LINGO程序代码得到结果为

h等于15

即最多可采购15吨

太好了

直接根据问题来修改优化模型

再求解就可以了

那么如果有人提出来

甲产品的利润上浮5%

是否需要调整生产计划的问题

那产品甲的利润

由7.8千元每吨改为8.19千元每吨

因此目标函数z等于

改为z等于

对应修改LINGO程序代码

得到的结果为

x1等于50

x2等于17.24

即不需要调整生产计划了