12.1 地下水模型的构建在线视频

大家好，欢迎清华大学MOOC课程

地下水文学

我是水利系倪广恒

今天我们学习第十二章地下水的模拟

我们知道分析和认识地下水的运动规律

特别是预测地下水未来的一些变化趋势

那么地下水模型是一个重要的手段

我们从地下水模型的构建

和地下水模型的数值解法

这两方面给大家做介绍

我们先看地下水模型的构建

那么在20世纪60年代以来

地下水的数值模拟

随着技术计算机技术的发展

得到了比较快的应用

特别是在地下水的一些定量研究里面

发挥了不可替代的作用

那么在我们国家地下水的

数值模拟的研究的话呢

它开始于20世纪70年代

那么到现在经过了40多年的努力

也取得了比较快速的一个发展

那么先看地下水的模型

由于地下水运动本身的非线性

和含水介质的高时空变异性

那么实际当中地下水的问题是十分复杂的

因此我们在进行地下水的数值模拟的时候

需要把实际的这种地下水的问题

进行一个简化和概化

然后我们用一个数学模型来描述它

并对这个数学模型的话呢进行求解

模型的求解方法的话呢

有解析解和数值解

那么解析解的话呢

它只适用于那些比较简单的一些

特殊的条件

比如说前面我们学习的

河渠间的这种地下水的运动

和向井的这种地下水运动

在一些特殊的条件下

我们可以得到它的解析解

实际当中对于大多数的

这样的一些问题的话

我们要用数值解来进行求解

我们简单的看一下这样

一个地下水模型的一个例子

我们说有一个小镇

它的地下水的话呢

是靠两口井来抽水来供应的

但是呢在这两口供水井里面的话呢

我们观测到它的硝酸盐浓度超标

那么分析周围的话呢

发现这个污染物的话呢

有可能有两个来源

第一个的话呢是位于这个镇的东北部

工业区的废弃的这样一个污水处理厂

第二个的话呢有可能是位于西部的

废弃的一个废物的一个处置场

那么究竟这个污染物是从哪里来的

是通过一个什么样的途径

它污染到什么样的一个程度

就需要建立一个三维地下水流

和溶质运移的这样的一个模型

来评估这个区域地下水的运动

和水质的这样一个变化过程

那么来看，如何建立地下水的模型

并进行求解

我们说描述地下水运动的这些

方程或者是方程组

我们在前边的话都已经学过了

那么有潜水的

有承压水的

有这样的一些运动的方程

这些方程再加上相应的定解条件

定解条件里面的话包括边界条件和初始条件

那么就可以对这样的一个问题进行求解

我们希望它所建立的这个模型的话

它的解的话呢是要存在的

而且这个解的话呢是唯一的

同时的话呢我们一些参数的一些设定

一些定点条件的设定

和实际往往会有一定的出入

我们希望我们的解的话呢

当参数和定解条件发生

一些比较小的变化的时候

它所引起来这个求的解的变化的话呢

也是可控的

也就是说呢解的话呢它是一个稳定性

在定解条件里面的话呢

我们先看边界条件

边界条件的话呢

我们分成三类

第一类边界条件的话呢

就是说如果我们知道这边界点上

地下水的这样的一个水头

那么可以把边界点的这些水头的值

直接赋给这些边界点

这就要求我们的地表水

和地下水有直接的联系

并且知道这个水头是多少

那么有直接的联系

地表水的水头才能够传递给含水层

比如说我们有比较大的河和湖

他们的话呢是和含水层有直接的联系的

那么河的水位和湖的水位

就能够传递给含水层

在这里边界条件里面

我们知道给含水层供水的时候

那么含水层要多少水

我们的边界处的话呢就要给它多少水

反过来

如果我们的含水层是吸水的时候

那么含水层如果要吸收多少水

我们的边界的话呢就要供给它多少水

所以这个条件的话呢还比较严格的

大家在使用的时候还要注意

第二类边界条件的话呢

我们叫通量边界条件

我们不知道这个边界这个位置的水头

但是呢

我知道这个边界这个地方的流量

比如说从山前流到地下水含水层的这个流量

比如说我们泉水

补给这个含水层的这样的一些流量

如果我们知道这些流量

那么我们根据达西定律，可以写出

在各个边界点上的

这样的一个通量的方程

从而确定我们的边界条件

一般的来讲的话

我们定义n是边界

这个地方一个外法线方向

如果我们取流入为正的话

那么边界处各个点的

它的条件的话呢

就可以写成这样的方程

我们说边界这个地方的话

我们特别用的比较多的话呢

是在一些隔水边界

比如说在地下的一些岩层

一些隔水层

那么在这样的一些地方

或者是说在地下水的分水岭

或者是垂直于地下水的流线

这样的一些边界条件的地方的话呢

它的流量是等于0

也就是水力梯度的话呢是等于0的

而在抽水的时候呢

如果我们井的抽水流量是Q

我们n指向这个井心的话

那么在任何一个以这个井心

为某一半径的这样的一个圆柱体上的流量

我们可以根据达西定律

写出这样的式子

那么把这个式子变换一下

我们可以得到

沿着井壁它的水力梯度

和导水系数乘积

和流量的这样的一个关系

作为我们地下水向井流动的

这样一个边界条件

第三类边界条件的话呢

它实际上是一个水力梯度

和我们水头的这样的一个组合

我们可以得到α、β

这是一个已知的这样一个函数

来描述我们的水头

和水力梯度

在边界处的这样的一个条件

那么这种情景会在什么条件下发生呢

我们看左边的话呢是一条河

右边的话呢是我们含水层

前边我们说

河如果和含水层

是紧密水力相联系的话

那么河里的水位和

含水层的水位的话呢是一样的

这是我们第一类边界条件

但是如果这个河

如果由于趁隙或者有一些沉积物

它不是直接的河里的水位

和我们的含水层的这种水位相等的

而是河里面的水

通过这样的一个比较薄的

一个弱的透水层

来补给我们这个承压含水层的

那么它的边界条件就会有一定的变化

我们针对这样一个比较薄的

一个弱的透水层

如果它的厚度是m1

渗透系数是K1

那么河里的水位是Ha

含水层的水位水头是Hp

那么我们可以写出来

从河流向这个含水层的一个流量

那么进一步把这个公式再改变一下

那么可以得到第三类边界条件的话

这样的一个表达式

也就是一个水力梯度和水头

一个组合的这样的一种情况

我
们再来总结一下

这样的不同的情况下的一些边界条件

我们看这是一个地下水向井的

一个流动时候一个边界条件

它的左右是对称的

或者是对圆心

它是一个对称的这样的一个条件

我们看它的上游的边界条件

正好是水头是已知的

那么我会写成第一类边界条件

也说水头等于H0

那么在C2这个边界的地方的话呢

它是一条浸润线

在这个浸润线这个地方

它的压强的话呢等于大气压

也就是每个地方的水头的话呢

它的测管水头是等于0的

任意一点的水头的话呢是这一点的纵坐标Z

所以我们可以写成

HC2在这个地方的话呢

它每一点的水头是Z

接着往下走

在地下水的渗出面

那么地下水的话呢

通过这个面渗出到井里面

在这样的一个面上的话呢

它的压强等于大气压

也就是任意一个地方的水头的话呢

我们可以写成未知这样的一个函数

那么到井壁这样的一个地方的话呢

我们知道它的水头的话呢

应该跟井里面的这个hw是一样的

由于在井壁往下的话呢

它的水头等于hw

那么在下面这个平的这个

隔水边界这样的一个地方

我们可以设为它的通量等于0

也就是偏H偏n它的

水力梯度的话呢是等于0

这样围绕着这样的一个地下水

向井的流动的这样的一个问题

在不同的边界上

我们可以写出它不同的

相应的这样一些边界条件

初始条件的话呢

就是说我们在计算求解这样的

一个问题的时候

在某一开始的时刻

各个点的这样的一个水头值

也就是这样的一个水头厂

我们对于我们的求解区域D

任何一个结点的话呢

我们可以给它赋予

相应的一个水头值

我们知道初始条件的话

它的设置的不同

对计算结果的话呢

是有影响的

但是只要我这个初始条件设置的

和实际的条件不是相差的很多

随着计算时间的延长的话呢

那么这种初始条件

它的不同设置的这样

对结果的一个影响的话呢

会逐渐的减弱、消失

所以我们在求解一个问题的时候呢

我们往往要提前计算一段时间

这段时间的话呢

我们叫数值模拟的一个

预热的这样一个阶段

我们下面看一个建立地下水模型的

这样的一个例子

我们看中间的话呢是一个

地下水的集中开采区

那么由于地下水的在这一块的集中的开采

它对于周边会形成一个什么样的影响

使我们想研究的这样的一个问题

我们看在这样的一个区域的话

它的左边的话呢是一条比较宽阔的一个河

右边的话呢是一个不透水的边界

下面的话是基岩，也是不透水的

那么这个含水层的话呢

是基岩以上的一个潜水含水层

我们看它的质地还是比较均匀的

那么对于这样的一个问题

我们可以写出

它二维的一个潜水运动的一个方程

因为它的底板不是水平的

所以我们用H减Z来代表

任何一个地方的潜水含水层的一个厚度

那么W的话呢是在垂直这个

方向的入渗补给量

P的话呢是我们人工开采的水量

对于这样的一个方程

我们可以写成平面二维的

这样的一个方程

那么它的定点条件

初始条件的话呢

我们说在开始开采的时候呢

它到各处的水头都是一样的

我们给它赋予一个H0

它的边界条件

在左侧的话呢

我们看它是一条比较宽阔的河

水量比较充沛

那么它的边界条件的话呢

是含水层的水头

和河里的水头是一样的

也就是第一类边界条件

而在它的右侧和下侧

都是不透水的含水层

不透水的隔水边界

它的通量的话呢是等于0

而在于它的上部和下部

它的北部和南部我们要找一条流线

那么沿着垂直于这个流线的话呢

它的通量的话呢也是等于0

但是这两条流线

我们选在什么位置

要选在我们中间的集中开采区

不至于影响它的这样的一个范围

我们可以先假设一个

在开采区的北部和南部

先假设一条流线

然后我们进行计算

如果结果的话呢

没有影响到这两条流线

那么这个假设的话呢是合适的

反过来如果影响到了这

两条流线处的这个水头

我们需要把这两条流线

再向前挪一挪

我们再看刚才我们介绍到的第二个例子

也就是这个小镇

受到地下水污染的这样的一个例子

那么在这个例子当中的话呢

它的东西两侧的边界的话呢

是由北向南流动的这两条小河

然后南边的话呢有一个湖

可以作为它南侧的一个边界

那么北部的边界的话呢

我们选择位于两个潜在的污染源北部的

沿着东西方向的一个

地下水的一个等值线

这个呢基于观测的结果来得到

研究区的话呢是

由第四纪沉积物它所组成的

主要包括两个含水层

那么顶部的话呢是一个砂质的潜水含水层

厚度的话呢在7米左右

那么下面这个含水层的话呢

它是位于一个粘土隔水层下面的

是一个承压含水层

它的平均的厚度的话在30米左右

这样的话呢

我们就对

我们所关注的这样的一个问题

写出了它的描述地下水运动的方程

写出了它的边界条件

我们再给予它初始条件

那么对这个问题就可以进行求解了

我们这节课介绍到这儿