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我是这门课的主讲老师——石兵

来自武汉理工大学

在前面两讲我们介绍了博弈论

其中主要介绍了占优策略

最佳应对以及纳什均衡

在这一讲我们将介绍一个新的概念

叫做混合策略纳什均衡

为什么要介绍这个概念呢

我们接下来会通过一个例子发现

纳什均衡不一定存在

所以这时候我们就会引入

混合策略纳什均衡

我们看一个不存在纳什均衡的例子

这是一个硬币配对游戏

也是称作零和博弈

具体是什么呢

有甲乙两个人他们各拿一个硬币

他们必须同时选择出

手中的正面还是反面

如果他们朝向相同

则我们认为乙将获胜

把甲的硬币拿过来

反之 甲将赢得乙的硬币

这时候我们可以用

收益矩阵来描述这样一个问题

有参与人甲 参与人乙

他们的策略是出正面和反面

然后这里的单元格表达了他们的收益

我们可以看到

当他们的朝向相同的时候

甲会失去他的硬币

他的得分是-1

乙将获胜 得到正1分

我们可以分析一下这样一个收益矩阵

看里面是否存在纳什均衡

也是说看能不能找到

互为最佳应对的策略组

我们可以通过仔细的分析可以发现

在这里面其实是不存在的

比如说我们可看（H,H）

是不是互为最佳应对的策略组呢

不是的 为什么

当参与人甲他选择策略H的时候

参与人乙的最佳应对是H

那参与人乙选择策略H

参与人甲的最佳策略是什么呢

是T 因为这时候是正1

也是说它不是互为最佳应对的

我们把每一个单元格都分析一遍

可以发现确实找不到

因此在这样一个问题里面

我们就找不到这样一个

互为最佳应对的策略组

也就是说我们

找不到这样一个纳什均衡

那么怎么办呢 大家可以看一下

一般这种硬币游戏

都会重复地博弈若干次

比如这一轮你出什么

下一轮我可能会重新变一下等等

这时候你会考虑什么呢

你会考虑对方会采取什么样的

概率出正面还是反面

我根据这个来确定自己的策略

而且我还不能让对方了解我

采用不同策略的概率是多少

这时候你的策略就不再是

纯粹地出正面还是反面

这时候你的策略就变成什么呢

变成了一个概率

变成了我以一定的概率选择出正面

一定的概率选择出反面

这个就引入了混合策略

混合策略本质上来说是什么呢

就是参与人他以一定的概率

分布在不同的策略间进行选择

比如说对于刚才这样一个博弈

双人双策略的博弈

双策略就是H和T

混合策略可以这样来表达 比如说

参与人1的策略是概率p

是指什么

是指他以概率p执行H

概率1-p执行另外一个策略T

参与人2的策略是概率q

表示什么意思呢

表示他以概率q执行H

概率1-q执行T

现在我们就引入了混合策略

在引入混合策略的基础上

我们就可以重新定义这样

一个博弈论的框架

同样地我们要考虑博弈的三要素

第一个参与人

显然这和之前的这样一个纯策略

就是说你出H和T还是一样的

还是你和你的对手

甲乙两个人 第二个就是策略

大家要注意一下

这时候的策略发生了变化

策略不在是单纯的纯策略

也就是说出H还是T

变成了什么呢

变成了在这样一个纯策略集合上

一个概率的分布

我们还要注意什么呢

这个概率分布它是连续的

所有你会存在无穷多个策略

第三个要素是什么呢

就是参与人在

策略组（p,q）上的回报

我们可以根据纯策略上的收益

然后再考虑这样一个概率p,q

据此我们来计算这样一个期望收益

我们刚才介绍了这样一个

混合策略下的博弈框架

那么混合策略下

存不存在纳什均衡呢

是不是也存在这样一个

互为最佳应对的这样一个策略组

确实是存在的

我们在这样一个各自的

概率的策略的选择下

我们看能不能找到一个

双方的期望收益互为最大

也就是说我们看能不能找到

一个策略的概率分布使得

单方面的改变不能增加收益

纳什他证明了什么呢

一个很重要的结论在博弈论里面

具有有限个参与者与

有限纯策略的博弈

肯定会存在这样一个纳什均衡

这个纳什均衡可能是纯策略的

也可能是混合策略的

这是一个非常重要的

结论在博弈论里面

但是一般来说

在一个混合策略博弈的问题中

找到混合策略纳什均衡是很困难的

但对于一些特殊的问题

比如说双人双策略的博弈问题

我们可以用一些系统的方法来解决

我们还是以这样一个硬币博弈为例

我们现在假设你的对手的

策略是以0.7的概率出H

这时候你会怎么办呢

你会考虑一下如果我也选择出H

那么我的收益是多少呢

可以算一下

就是-1乘以0.7

加上你的对手他出反面的概率是

0.3乘以这时候我们的收益

这时候得到多少呢

得到-0.4

那我们再算一下当我们

选择出T的时候

我们的收益是多少呢

是1*0.7+（-1）*0.3

等于0.4

这时候我们可以发现

我们应该出T这个策略

同样地我们可以看如果你的

对手是以概率0.2出H

概率0.8出T

这时你该怎么办

我们会发现我们应该选择出H

因为这时候我们的期望收益会大一点

那么我们进一步看这个问题

如果你的对手的策略是什么呢

0.5的概率出H

你怎么办

也就是说我们发现把这边的

0.7变成0.5

0.3也变成了1-0.5

等于0.5

我们可以发现不管你

选择出H还是选择出T

你的收益都是多少呢 都是0

甚至你会发现什么呢

比如说你以0.1的概率出H

0.9的概率出T

这时候在给定你的对手

以0.5的概率出

H和T的情况下

你的收益还是0

也就是说我们发现我的任何策略

得到的收益都是0

也就是说我选什么也就无所谓了

这也可以反映了什么呢

反映了我们的任何策略都是

当前对手0.5策略

的最佳应对

其实我们看反过来其实也是一样的

如果我用0.5

那对方出什么呢

他也发现不管出H还是T

他的回报都是一样的

都是0

也就是说我们这时候可以发现

（0.5,0.5）

就是一个互为最佳应对的策略组

那么这个结论的一般形式是什么呢

我们可以看到一对混合策略

互为最佳应对的必要条件是什么

是他们使得对方在两个纯策略选择

上得到的回报没有差异

这就是我们借以求解

混合策略的原理 无差异原理

其计算思路是这样的

我们假设一方的混合策略概率是p

我们据此可以写出另外一方在

两个纯策略上分别得到的

期望收益

然后按照无差异原理

就能分别得到纯策略上的期望收益

必须使得它们相等

我们就可以得到一个方程

然后对这个方程进行求解

如果求解的结果在0和1之间

我们就说这样一个解

就是纳什均衡策略

我们具体以刚才的例子为例

看一下这么来求解

我们看当参与人2

采用策略q的时候

这时候我们要算什么呢

计算参与人1选择

策略H时候的收益

以及参与人1选择

纯策略T的时候的收益

我们看他选择纯策略H

的时候的收益是多少呢

应该是

-1乘以q加上+1乘以（1-q）

等于1-2q

那他选择纯策略T的时候

的期望收益是多少呢

我们可以看到应该是什么呢

+1*q加上-1*（1-q）

等于2q-1

我们按照无差异原理

参与人1在纯策略H和T上的

收益必须相等

这时候我们就可以得到一个方程

1-2q=2q-1

然后我们解它

可以得到q=0.5

我们可以采用同样地方法来求解

发现p也等于0.5

我们看p q的解都在0和1之间

所以我们可以说

（0.5,0.5）

就是这样一个硬币配对博弈的

混合策略纳什均衡

而且这个结果也是很符合直觉的

因为如果你不懂博弈论

你直接参与这样一个博弈问题的话

你会发现我就以一半的概率出正面

一半的概率出反面就行

我们现在就介绍完了

混合策略纳什均衡

我们现在再回顾一下

对于双人双策略博弈

我们怎么来求解呢

首先我们看它是不是存在

纯策略的均衡

我们可以分别考察四个纯策略组

看它们是不是互为最佳应对

如果是的

我们就得到这样一个纯策略纳什均衡

然后我们进一步考察

混合策略纳什均衡

这时候就按照我们前面介绍的

无差异原理

得到参与人在两个纯策略上的收益

使得它们相等

然后对这个方程求解

如果求得的解在0和1之间

我们就说它是一个混合策略纳什均衡

以上就是本讲的内容 谢谢