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各位同学 大家好

欢迎来到网络、群体与市场

的在线课堂

我是这门课的主讲老师——石兵

来自武汉理工大学

首先我们会介绍市场与信息

在这一讲我们将介绍

制度中的一些计算

比如在市场机制下

或者在表决机制下

你该怎么来决定自己的策略呢

我们可以想一下

人们对一个事件发生做一个判断

然后做一些相应的行动

这样一个事件有这样两种

一种是外生事件

还有一种叫做内生事件

外生事件是指什么呢

这个事件如何发生

跟人们的行动情况没有关系

就是说不管你采取什么样的行动

这个事件该发生还是会发生

内生事件是指什么呢

这个事件如果发生

直接取决于人们的行动情况

在本讲

我们重点关注外生事件的情况

在下一讲我们会考虑内生事件

外生事件一个典型的例子

就是赛马问题

我们假设有两匹马A和B

他们即将去比赛

这时候你去赌马

你有这样一个钱 钱数是w

你要来下注

你这时候要考虑什么呢

我分别在A马和B马上投多少

比较合适 也就是说

我们要求这样一个r

r在0和1之间

用rw这么多钱来赌A

（1-r）w这么多钱来赌B

我们的目的是为了什么呢

回报最大

那这个回报是什么呢

其实简单地说回报就是

你得到的钱的数目

在这种情况下我们进一步假设

A马取胜的概率是a

B马取胜的概率是什么呢

b=1-a

另外还有一个概念叫做

赔付率O_A、O_B

O_A是指A马取胜后

赌马场赔付率

O_B是指B马取胜后

赌马场赔付率

这时候你的期望收益是多少呢

我们可以通过这个公式来计算

也就是说A马取胜的概率a

乘以什么呢

rw是用于投到这个A马上的钱

乘以赔付率

也就是说当A马获胜的时候

你可以得到这么多的期望收益

后面这个是相对应的

B马给你的期望收益

最后会得到这样一个公式

我们可以看到

当a*O_A>b*O_B的时候

r应该等于1 否则r等于0

这个表达意思什么呢

意思是如果A马获胜的概率

乘以A马的赔付率

超过了B马获胜的概率

乘以它的赔付率

那么我们就要把所有的钱

都投到A马上

也就是说使r等于1

否则我们应该把所有的钱

都投给B马

这显然符合一种直觉

比如说我们可以看

假设这个A马和B马

他们获胜的概率分别是1/2

A马的赔付率是2

B马的赔付率是1

这时候我们有

a乘以O_A

大于（1-a）

乘以O_B

显然这时候你应该把

所有的钱都压在A上

假设说你有100块钱

你很可能就这么做了

因为如果你真的赢了

那你会得到100*2=200块

那么A输了呢 你也无所谓

因为也就损失100块

但这时候如果你的w=100万

你该怎么办呢

你会直接按照这种方式来投注吗

实际上我们可以发现在这种情况下

有这样一个风险意识在

里面出现作用

这个风险意识是什么呢

担心这个坏事的出现带来的损失

因此我们宁可放弃一些

好事出现带来的利益

也就是说什么呢

如果你有100万

你用这100万去赚了100块钱

这个给你带来的好的感受

跟你用100块去赚100块

带来好的感受是完全不一样的

也就是其实这个财富的增长

带来的好的感受是随着财富量

的增加而减少的

基于这个考虑

我们要采用不同于之前的

这样一个金钱的回报来建模

我们要考虑什么呢

我们要考虑这样一个好的感受

它的增长随着财富量的增加是在

减少的这时候我们考虑什么呢

考虑这样一个斜率小于1的函数

比如说w的1/2次方

或者是w的对数

也就是说我们可能用这样一个

斜率小于1的函数作为

财富效用函数

让他作为这样一个评价投注策略

的回报的指标来反映什么呢

反映人们感受财富或者投注风险

的这样一个心理

比如说我们可以看这样一个例子

我们假设你的效用函数是什么呢

是你获得钱的对数

在这种情况下

我们可以发现什么呢

财富倍增带来的感觉是一样的

而与最初的多少是没有关系的

也就是说

你用100块赚了100块

跟你用100万赚了100万这个

给你带来的愉悦程度是一样的

在这种情况下

在这种情况下我们的期望效用

要重新计算一下

得到这个式子

我们要求这个期望收益的最大值

我们就可以用求导的方法来求解

它的导数等于什么呢

a/r-（1-a）/（1-r）

我们使得这个导数等于0

发现什么呢 r=a

这也就说明什么呢

投在A上的财富占比应该就等于

A取胜的概率

也就是说其实你的投注策略应该

跟赌马场的赔付率没有关系的

你觉得这个马它获胜的概率是多少

那你就应该在这个马上面

多少比例的钱

而不需要考虑这个赔付率

我们刚才已经考虑了这样一个

赌马人应该采取什么样的

一个策略来投注

我们现在来考虑作为赛马场

他的赔付率该怎么来计算呢

我们假设这个赛马场

它是一个公益机构运行的

所以它就考虑没有赔也没有赚

的这种运行

所以我们可以假设什么呢

是采用的对数效用函数作为

赌客的期望效用的函数

我们有如下的这样一个财富w_n

表示第n个赌客的钱

总的钱是

w=w_1+w_2+…+w_N

表示有这么多人

他的总的钱数是多少

另外我们用a_n表示什么呢

表示第n个人他认为A马

能获胜的概率是这么多

则第n个人认为B马获胜的

概率就是1-a_n

我们现在假设这个赛马场是按照

没有赔赚来运行的 也就是说

无论那匹马取胜他都会把

收到的所有赌注都给出去

在这种情况下

我们怎么样来确定这样一个

赔付率呢

也就是说我们怎么来

确定O_A和O_B

我们可以看一下

赛马场总共受到的钱数是多少

是w

也就是说是所有这样

一个n个赌客的钱数之和

而其中在A和B上投注量

分别是多少呢

我们刚才说的

这个赌客应该按照他的信念来投注

也就是说他觉得

A马获胜的概率是a_n

则他在A马上投的钱就是

a_n乘以w_n

总的在A马的投注就是这么多

同样地我们可以得到

他在B马上的投注

我们可以看到如果A马取胜的话

马场要把他所有收到的钱

w按照一定的赔付率O_A

给出去 也就是说这种情况

这个是他的赔付率

而w是他收到的钱

这个是在A马上总共投注的钱

这两个应该是相等的

同样地我们也可以得到

这样一个B马的投注率乘以

在B马上投的总的钱数

应该等于所有的马场收到的钱

按照这两个等式

我们就可以计算出O_A和O_B

我们看赔付率O_A应该等于这个

O_B等于它

其实我们可以把这样一个式子

做一个稍微的变形

怎么变形呢 我们取O_A的倒数

当取O_A的倒数的时候

我们就可以得到它

大家可以看一下这个就是它的倒数

它等于什么呢

等于a_n乘以w_n/w

的所有的这样的和

我们可以看到赔付率

其实相当于表达什么呢

表达了赌场为赌客下注的一块钱

要支付的钱数

也就是说如果这个赌客赌注下对了

这个赌场就要为他支付一定的钱

而且我们可以看到这样一个

赔付率的倒数相当于什么呢

相当于一个单位价格

这个单位价格表达这个赌客

为了得到这一块钱

他需要下注的钱数

我们可以进一步地来看这样一个

单位价格或者说赔付率的倒数

我们用ρ_A来表示这个

赔付率的倒数

也就是说这样一个单位价格

其实我们可以看一下

ρ_A等于什么

它等于这个第n个人认为

A马获胜的概率乘以他的钱

在所有人中钱的比例

最后得到他们一个加权的和

也就是说这个体现了什么呢

它体现了这样一个群体对

一个选项的信念的聚合

也就是说对每一个人的信念a

我觉得A马会获胜

这就是我们的信念a

这样一个加权平均

这个权是什么呢

这个权是一个人的财富在

总财富量中的比例

我们发现什么呢

这样一个比例越大

则这个信念对状态价格的的影响

就越大

我们刚才已经介绍了这个赌马场

怎么来计算自己的赔付率

那我们现在来看一下

有没有这样一个不亏本的

下注策略呢

就是赌客能不能找到一个

不亏本的下注策略

我们现在假设大家都按照信念下注

就是说你觉得A马获胜的概率是a

那你就以a比例的钱投到A马上

而且我们还假设赌场是按照

上述的赔付率来进行付钱的

我们可以发现在你决定

在A上投w_nρ_A

在B上投w_nρ_B的时候

也就是说这时候A如果赢的话

你将得到的w_n钱

在这种情况下 你肯定会不亏本

其实这时候就体现了什么呢

我们注意一下ρ_A、ρ_B

回忆一下上一页的PPT

ρ_A、ρ_B其实反映了整个群体

对A和B获胜的信念聚合

所以你在投注的时候你应该

按照群体的这样一个信念来

进行投这样一个钱

也就是说明我们要相信这样一个

群众的智慧

以上就是这一讲的内容 谢谢！