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欢迎来到网络 群体与市场的

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我是这门课的主讲老师——石兵

来自武汉理工大学

这一讲我们将会介绍

制度中的计算

另外一种制度 是什么呢 表决

我们可以看到表决是通过众人投票

形成对事物的群体判断

这其实是一个非常基本的制度

它体现在社会生活的方方面面

比如说美国的总统选举

比如说同学们

选举班长 班干部等等

在这里面其实有两个对象

一个是 事物

事物 就是我们要投票的对象

至少有两个

众人 是参与投票的人

也就是说参与表决的人

也至少有两个

这里面关键问题就是我们该

怎么设计一个合理的表决制度

我们要考虑谁是 众人

就是说哪些人来投票

投票的规则是什么

以及最后怎么来形成一个结论

我们还要知道什么样的表决制度

是一个合理的制度

其实我们看一个合理的制度

必须要体现集体的信念

也就是说如果大家都觉得

a比b好

那最终的结果也要体现这一点

另外我们还要说明这样一个

表决制度不容易被

个别人来 操纵

这个表决要能够体现集体的信念

这个信念的背后其实本身就是信息

即参与人所掌握的对于这个

表决对象的信息

因此我们可以把表决结果看成

信息聚合的一种结果

我们可以看影响表决结果

有两个方面

对于给定的备选项A

我们要考虑如何投票

如何形成表决的结果

对于如何投票我们可以考虑

是选同意 不同意还是

对A里的元素排序或者打分

形成结果我们可以考虑比如说

少数服从多数 按照比例来通过

或者说去掉一个最高分

去掉一个最低分等等的方式

这里面其实有一个关键的概念

就是在你们进行表决的时候

首先我们要知道一个偏好

也就是说对于两个需要表决的

备选项X和Y

如果个体i选择X

就是说明i认为X优于Y

一般地来说

给定一个有穷的备选项集合

我们可以问参与表决的人

任何两个元素之间的偏好关系

我们可以对这个偏好关系有一个

合理的假设：

完备性 以及 传递性

完备性 是指

对于给定的选项(X,Y)

要么偏好X

要么偏好Y

不能两个都一样或者 无可奉告

传递性 是对三个备选项(X,Y,Z)

如果你认为X好于Y

Y和Z比较的时候Y好于Z

那么我么必然要有X和Z的比较中

要偏向于X

这个就等价于在集合元素中

有一个全序

也就是说我们可以在集合中

把这些元素按照从最好到最不好

把它依次排列

这个时候我们可以形成一个

群体的偏好

基本问题是什么呢

假设表决者

V_1,V_2,...,V_M

分别给出了A上的一个

完备且传递的偏好关系

我们怎么来综合他们

形成群体对这些候选项的一个

合理的偏好关系

也就是说我们要形成这样一个

群体的偏好

这里面我们有一个关键词 合理

什么叫做 合理

合理 其实就是要表达了

要体现群体意见

我们可以知道 少数服从多数

是合理性的一个基础

也就是说如果大多数人

认为X好于Y

那么在群体的意见中应该也要有

X好于Y

另外这样一个结果是不是也要

完备 且 传递 的

我们可以考察一些比较简单的例子

假设说我们只有两个候选项

X和Y

V_1,V_2,...V_M为奇数个表决者

他们分别要对X和Y来进行表决

要说明是偏好X还是偏好Y的

假设有三个人

他们对X Y的表决如下

我们可以看到1认为X好于Y

2认为X好于Y

3认为Y好于X

这个时候按照少数服从多数原则

我们可以得到X好于Y

那么我们看有三个候选项的例子

同样还是有三个人对X Y Z来进行投票

第一个人认为X好于Y

X好于Z Y优于Z

第二个人是这样认为的

第三个人（是这样认为的）

在这里我们可以看

到有两个人认为X好于Y

有三个人认为X好于Z

有两个人认为Y好于Z

我们按照 少数服从多数 的原则

可以得到这样一个结论：X好于Y

X好于Z Y好于Z

我们把它们全序写出来

第一个人的全序是这样的

这是第二个人的全序

第三个人的全序

而最终的表决结果

也可以得到一个全序

就是X好于Y好于Z

它跟这个人的表决是一样的

我们这个时候再看另外一个例子

在这种情况下三个人的表决不一样

有两个人认为X好于Y

有两个人认为Z好于X

还有两个人认为Y好于Z

按照 少数服从多数 的原则

我们有X好于Y Z好于X

Y好于Z分别对应

这样一个少数服从多数

这个时候我们可以看出现什么问题

这里面我们同样可以得到它的全序

我们看其实这里面是矛盾的

它虽然是完备的

但是不传递了

我们看X好于Y

Y好于Z

通过这两个我们是不是应该得到

X好于Z

但实际上跟这个就冲突了

也就是说我们发现 孔多塞悖论

孔多塞悖论 是指存在三个人

对三个备选项进行表决的情形

即使每个人的偏好都满足

完备性和传递性

按照 少数服从多数 的原则

得到的群体偏好不一定满足传递性

这是孔多塞在1700年讨论的现象

也就是说我们从传递性个体偏好

按照少数服从多数的聚合方式

也有可能得出非传递性的群体偏好

这个就称作 孔多塞悖论

这里面隐含的问题是

个体行为都是合理的

每个个体对这个备选项的投票

都是完备并且传递的

可以形成一个全序

聚合方式也是合理的

采用的是少数服从多数的原则

但是我们得到了不合理的群体结果

我们可以考虑调整个体的行为

也可以考虑调整聚合的方式

我们考虑一下怎么来改变这种

聚合方式呢

之前我们考虑的是这样一个简单的

少数服从多数

按照这个原则来聚合

我们其实还有另外一种方式叫做

逐一胜出

是另外一种可能

我们只是假定备选项任意一个序列

我们把它们按照

X,Y,Z,....来排列

沿着这个序列

我们先开始比较X和Y

即比较这两个备选项

按照 少数服从多数 原则

取得其中的胜者

把他的胜者再和Z作比较

这样依次下去

最后得到一个 最大的

对剩下的再次进行这个过程

得到一个 次大的

这是 逐一胜出 法

另外还存在这种方法

也是比较常用的

叫做 积分制

有一个方法叫做 波达计数法

具体过程是这样的：

假设N个候选项

个体i对候选项的排序

对应了一个赋值

偏好排在第一的赋值是N－1

以此类推

最后一个的赋值是0

当每个人都赋值之后

我们得到他们的赋值和

按照这个赋值和由高到低来排序

我们可以形成一个群体偏好

这个 积分制 也合理吗

我们可以看到在有些情况下

是合理的

比如说我们假设有5个影评家

1 2 3 4 5

对两部影片A B

A是 公民凯恩

B是 教父 来打分

1认为 公民凯恩 好于 教父

所以 公民凯恩 得分是1

教父 得分是0

其它的依次如下

我们最终可以看到

公民凯恩 的得分是3

教父 的得分是2

所以可以得到这样一个结论：

公民凯恩 好于 教父

这样一个过程看起来没有问题

也就相当于在两个备选项

公民凯恩 和 教父 上我们

采取了 少数服从多数 的原则

我们现在假设增加了一个新的电影

叫做 低俗小说

这个时候我们假如说本质上

这5个人还是认为

低俗小说 是最差的

所以打分情况如下：1 2 3

分别还是认为

公民凯恩 好于 教父

好于 低俗小说

4,5认为

教父 好于 公民凯恩

好于 低俗小说

所以最终

公民凯恩 的得分是8

教父 是7

低俗小说 是0

也就是说最后还是

公民凯恩 好于 教父

这好像对结果没什么太大的影响

但是我们可以看一下

个体4和5可能会做一个

策略性的投票

可以保持 低俗小说

仍然是最差的

但是使得自己喜欢的 教父 胜出

我们看4和5在投票的时候

首先当然把自己

最喜欢的 教父 打分2

但是下面他们虽然心里认为

公民凯恩 是好于

低俗小说 的

但是他们为了使得 教父 胜出

他们给 低俗小说 打分是1

而 公民凯恩 是0

最终的结果我们看发生了变化

公民凯恩 的得分得到了6

教父 是7

低俗小说 是2

也就是说在这种情况下

个体4和5通过这样一个

策略性的投票使得他们

喜欢的对象胜出了

也就是说这样一个 积分制

的方法也存在着一定的缺陷

在这一讲我们介绍了表决

表决是一个非常基本的制度

有非常丰富的应用场景

其实表决归根结底就是让

若干个个体的意见综合成为

一个群体的意见

但是在这里面我们发现

合理的个提意见 ＋

合理的聚合方式 不一定

导致 合理的群体意见

这里面有这样一个

孔多塞悖论 存在

以上就是这一讲的内容 谢谢！