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3.1.1 平面汇交力系的合成与平衡

在工程中，存在这样一个特殊的力系，该力系中各力作用线都汇交于一点的平面力系，我们把这样的力系称为平面汇交力系。

（1）平面汇交力系合成（简化）的几何法

作用于刚体上的平面汇交力系的一般情况，如图2-5。

设所有的力的作用线汇交于O点，如图2-5（a）。根据平行四边形法则，可将F₁、F₂合成为R₁₂并可用F₁、F₂合力R₁₂代替F₁、F₂的作用；再用R₁₂与F₃合成为R₁₂₃，用R₁₂₃代替F₁、F₂、F₃的作用；最后用R₁₂₃与F₄合成，即可得出力系的合成力R，如图2-5（b）。

由上述分析可知，若力系中有更多力时，可按上述方法连接应用平行四边形法则求得合力。数学表达式为

还可以连接应用三角形法则来求得，如图2-5（c）示。

仔细观察图2-5会发现，求R₁₂、R₁₂₃也可以省略。只需要保持各力大小方向不变，将各力首尾相接，形成一条折线，最后连上没有封闭的一边，从力系汇交点指向最后力的末端形成的矢量即为合力R的大小和方向。如图2-5（d）示。这个方法称为力的多边形法则。

合力的作用点为力的汇交点，其大小、方向与各力相加次序无关。

结论：平面汇交力系简化的结果是一个合力。

（2）平面汇交力系合成简化的解析法——合力投影定理

据式（2-1）知

将上式两边分别向x及y轴投影，有

上式说明，力系的合力在某轴上的投影等于力系中在同轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。根据（2-3）可求得合力R 的大小及方向，如图2-6所示。

上式说明，力系的合力在某轴上的投影等于力系中在同轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。根据（2-3）可求得合力R的大小及方向，如图2-6所示。

（3）合力矩定理

平面汇交力系的合力，对于平面上任一点之矩，等于力系中所有的力对同一点之矩的代数和，如图2-9所示。这就是合力矩定理。数学表达式为

（4）平面汇交力系的平衡条件及应用

由平面汇交力系的合成结果为一合力，若刚体在一平面汇交力系作用下处于平衡状态，则该力系的合力为零；反之，当力系的合力为零时，则刚体处于平衡状态。显然，平面汇交力系平衡的充分及必要条件是：该力系的合力等于零。其矢量表达形式为

因此，采用几何法时，力系中各力矢量首位相连，形成的力的多边形将自行封闭。因此，平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的多边形自行封闭。

采用几何法来进行平面汇交力系的合成或进行平衡计算时，由于求解的精度依赖于绘图的质量。所以在工程上，几何法仅仅用于定性的研究和力的示意而已。在工程上，主要采用平衡的解析条件来进行求解。

根据合力投影定理可知，平面汇交力系平衡时有

可以得出

式（2-10）即为平面汇交力系平衡的解析条件，亦称为平面汇交力系的平衡方程。由于平面汇交力系只能列出两个独立的平衡方程，因此只能求解出两个未知量。 

3.1.2  平面力偶系的合成与平衡

若力偶系中各力偶作用面均在同一平面内，则称为平面力偶系。

（1）平面力偶系的合成

力偶无合力，其作用效应完全取决于力偶矩，而力偶矩在平面上表现为代数形式。那么平面力偶系其合成的结果又如何呢？下面以两个力偶为例，来看看平面力偶系的合成过程。

设在刚体的同一平面内有两个力偶m₁和m₂作用，如图2-10（a）所示。根据力偶的性质，可在该平面内取一线段AB = d。以AB作为公共的力偶臂，将力偶m₁、m₂分别用一对等值反向不共线的平行力来表示，如图1-20（b）。其中

在A、B两点受的力分别为共点且共线的力，求得其合力分别为

则两个合力又构成一个力偶M，如图2-10（c）所示。其值为 

如果有两个以上的平面力偶，那么同样可以按照上述方法来合成。因此，平面力偶系简化（或合成）的结果，也必然是一个力偶，且合力偶的力偶矩应等于组成力偶系各个力偶的力偶矩的代数和。即

（2）平面力偶系的平衡条件与应用

平面力偶系可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则该力偶系必定平衡；反之，若力偶系平衡，则该力偶系的合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的充分及必要条件为：力偶系中各个分力偶矩的代数和等于零，即