9.2 最优多用户检测技术 在线视频

下面我们先来给大家介绍最优的

多用户检测

我们先看一下

CDMA信号的一个基本的

模型

这个模型是最简单的一种

CDMA系统

我们称它为是同步CDMA

就是SCDMA 在具体讲模型

之前

我们先给大家简单的说明一下

CDMA系统当中的同步

CDMA系统当中的同步

这是一个广义的概念

一般来说

请大家注意

CDMA系统当中的同步

并不是指数字通信系统当中的

同步

其实它的概念呢比这个要更广泛

CDMA系统当中的同步

我们有三个层次的含义

分别是链路同步

小区同步

和网络同步

所谓链路同步

和一般的数字通信系统的概念是

一样的

比如说我们这有个发射机

有个接收机

那么发射机和接收机之间必须

实现

同频同向

就始终要保持一致

我们只要采用数字

信号的传输

都必然要保证的收发同步

这是收发同步

当然CDMA系统也必然满足这个

要求

第二类同步

我们称为是小区同步

所谓小区同步

大家看我画的示意

这是单个小区有多个移动台

如果说我们讨论的小区

同步指的是上行链路

下行的话必然同步

因为下行所有的信号

都是基站发的

那么下行

向各个用户发送信号

都是同步的

因为它是以基站为参考点

发射出来的

我们现在讨论的是上行

假如你有两个用户

这两个用户都向基站发送信号

两个移动团队

都向基站发信号

每个用户

他的发射的时延是有差别的

因为每个用户到基站

它的距离是有远有近

比如说左边用户

它的相对实验室T1

右边这个用户的相对实验室T2

假如说我们可以采用一种

同步控制的机制

那么距离基站

比如说稍近一点的T1用户

他可以稍微晚一点发

距离基站远一点的

T2的用户

还可以稍微提前一点发

那么最终我们的目标

事实上在基站侧所收到的

不管是用户一还是用户二的数据

他们在基站所接收到的信号

都是对齐的

也就是同步了

那么这样的CDMA系统

我们就称为是

同步CDMA

这个地方所谓的同步

它指的是用户和用户之间

在发送信号的时候

要进行的持续的调整

保证基站端所收到的

各个用户的信号

在时间上要对齐

这就叫什么

同步CDMA

实际上这个地方隐含的

请大家注意是指上行同步

对吧

上行各用户之间要同步

那么与之相对应的

当然也有异步CDMA

异步CDMA

它指的是说

两个用户之间是有相对时延的

我们不考虑要补偿相对时延

基站端所收到的

各个用户的时延

就是有偏差的

这就是异步CDMA 那么在3G

系统当中

有三种标准

有CDMA的标准

比如说像 WCDMA系统

还有TD

还有 CDMA2000

那么这两种系统

都是异步CDMA系统

像WCDMA系统

是原来联通所运营的3G的制式

CDMA2000是中国电信

所运营的3G制式

同步CDMA系统

是TDSCDMA

这是中国移动所运营的

3G的制式

所以我们可以看到

这三种不同的3G标准呢

其实采用的同步方式是有差别的

第三种同步

它就不再是考虑单个小区了

我们得考虑

多小区构成的网络

这个时候我们指的是说

比如说有多个基站

大家可以想见

基站和基站之间

在时序上是不是保持一致

如果基站和基站之间

要时序上保持一致

那么我们就称为是网络同步

一般情况下

我们要求

基站和基站之间

时序都要保证一致

这样的话

可以减少

机相邻基站之间的同频干扰

其对于 CDMA系统来讲

可以降低干扰

提升容量

所以这就是从三个不同的层次上

我们给大家分析一下

同步的概念

在CDMA系统里面

我们一般讲同步异步

主要指的是小区的同步和异步

那么在同步CDMA系统当中

由于各个用户的信号

都是

没有相对时延

差不多是对齐的

那么这时候信号的模型比较简单

大家看就是这样的一个模型

我们假设说

有K个用户发送信号

Dk个用户的幅度值是AK

那么他发送的信号

我们假设是二进制调整

就是一个BK PK

是个二进制的比特

SKT是dk的用户

分配的扩频码

序列 扩频码信号

那么接收端

我们是配合用户

同时发接收端收到的

实际上就是K个用户的叠加

所以我们要求和 由∑求和

然后我们再叠加上噪声

我们假设是只有白噪声信道

这个模型就是同步CDMA系统

当中

K个用户同时发送

所对应的接收信号

我们引入了一个控制码

或者地址码序列之间的

周期相关函数

若IJ

我们讲是能量规划

这是一个规划的互相关系数

好

大家想一下现在

在基站侧

其实就是K个用户的叠加信号

我们如果说采用相关接收机

或者匹配滤波器来进行解扩

那么这个时候

第k个匹配滤波器

或者相关接收器的输出

大家想想不就是一个积分器

对吧

那么现在我收到的是5it

而第k个解扩器或者是积分器的

输出

实际上就是把YT与本地的

第K个用户的信号相乘

然后来进行积分

显然我们想一想

接收的信号

其实是K个用户的叠加

然后又叠加了白噪声

你这个积分器或者相关器

它是个线性算子

因此输出的信号当中

实际上也应当是有信号叠加的

我们可以把叠加之后的信号

就输出当中的信号

我们可以写出它的表达式

这个表达式

其实应当是三部分构成的

第一部分

因为我们说的

匹配滤波

或者相关接收的

那么对于第k个用户而言

这是它的有用信号

也就是AK乘上BK对吧

第三部分是白造声

通过相关接收器

我们假设它输出的

应当是一个加性噪声NK我们看

中间这一部分

这一部分

这一部分是什么呢

这一部分实际上

是其他K-1的用户

通过相关接收机输出的

那么这一部分

实际上

其他K-1个用户

对

第k个用户的干扰

实际上这就是多址干扰

MAI 请大家注意多址干扰

不是一个

你现在有K个用户叠加

其实就应当有K-1个干扰

所以这个地方

应当是∑求和的

有K-1个干扰

我们具体分析一下

干扰的结构特性

当然包含了AJ 我们假设

第J个用户

对第k个用户的干扰

那么AJ这就是第J个用户的幅度

那么Bj是对用户所自己承载的

信息

ρJK实际上是以和用户之间的

互相关

前面我们的规划

互项为系数

我们把它叠加起来

这就是干扰

上面这个模型

这个K我们可以取

K=1 K=2

我们主要是一共大K个用户

所以上面这实际上是一个标量

形式的模型

我们可以把标量形式的模型

写成向量形式的表达式

也就是说我们写成是

公式见图

公式见图

那么接收到的

K维的向量

Y向量

那么这个Y下来

其实每一个元素

都是经过了一个相关

或者是匹配滤波器输出的

我们可以推导出来

接收到的信号向量Y向量

那么可以写成是

公式见图

公式见图

公式见图

我们下面一个一个解释一下

这个B向量

就是K个用户发送的信号向量

它的维度当然是

K维对吧

A矩阵我们这已经给过了

它实际上是一个对角矩阵

那么只有主对角线上有值

A1 A2 A3 AK

这个对应的是

它的每一个用户发送的幅度值

R矩阵

实际上是

我们前面给出来的互相关矩阵

互相关规划互相关的

系数矩阵

我们这儿写一下

在主对角线上

因为是自己和自己相关

实际上就是均方值

或者是如果均值为0的话

就是均方值

如果均值不为0

就应当是方差

所以主对角线上

应当全是1因为我们归一化了

辅对角线上

就是它的互相关阵

比如说是ρ12ρ13

也就是表征用户一和用户二之间

的互相关用户一和用户三互相关

反过来这个地方应当是

21

31等等

那就是用户三和用户一

请大家注意

一般来讲

我们给的信号模型

全是实信号模型

或者是服务信号模型

那么不管是实

还是负它做相关运算

那么都应当是

就相关矩阵

或者是规划相关系数矩阵

全都是实对称矩阵

所以它的对角线右上

和左下是对称的

主对角线元素都是一

一般来说

ρIJ肯定当是小于一的

对吧

好这样的话

我们可以看到

对同步CDMA系统

我们采用矩阵向量

表示它的信号模型

那么这个模型

我们就表征为是

接收信号向量Y向量

应当等于

发送信号向量 B项

然后乘上幅度增益矩阵 A矩阵

做乘 再乘上呢

归一化的互相关系

数矩阵 R矩阵

当然然后再加上是

噪声向量加性噪声向量

当然它们是相互独立的

这样我们就得到了一个

矩阵向量的表达了

下面我们就来分析

大家想一想

这样的一个基本的信号

表达式

Y=RAB+N我们得到这样

的一个矩阵向量表达以后

最主要的目的是要从

这个表达式里面

去进行检测

我们先分析一下

这个表达式所约束的概率行为

显然我们发现

这是一个

随机向量的信号模型

因为噪声向量N向量

他实际上服从的是一个

联合高斯随机向量

也就是说它是K为N向量

应该等于N1

N2

NK 它是一个K为高斯噪声向量

那么我们再看前面

RAB假定说我们B

发送信号向量给定

那么R是

还有一个用户

他的扩频序列之间的互相关系数

如果我们给定它的扩频序列

就我们知道

所有K个用户的

互相关系数的话

R矩阵

归一化相关系数

就是一个给定的矩阵

A矩阵它实际上对应的是幅度

增益矩阵

我们假如辅助作用都一致

换言之R和A这两个矩阵的

乘积

我们可以认为是给定

假如你现在B也给定

那显然我们能够知道

Y接收性向量

它其实也是一个高斯随机向量

那么它的均值

实际上就是RAB对吧

方差或者斜方差矩阵

应当是由加性噪声向量

N向量的相关矩阵来决定

所以由此我们就能够看到了

其实对于这样的一个

联合检测CDMA系统当中

多用户检测问题而言

那么它是一个

高维或者K维的概率推断的问题

那么对于这样的问题

理论上

我们是有最佳的检测方案的

这个检测方案

也就是最大似然检测方法

那么我们看一下最大似然检测

它的检测概率

实际上也就是自然概率怎么写呢

因为自然段大家想想是给定条件的

我们得到观察值

现在我们给定的条件就是B

B是我们给定的条件

观察这是谁呢

就是接收信号Y

大家想一想

如果我给定B 那么RAB也

就是定值

所以 Y实际上是一个

高斯向量的联合概率密度函数

对吧

这就是它的联合似然概率

那么我们现在要求最大似然检测

也就是说

我们让似然概率要取最大

取最大似然概率的时候的

B向量

我们做多用户检测的估计值

所以所谓的最优多用户检测算法

也就是最大似然

多用户检测算法

而最大似然多用户检测算法

实际上就是让联合似然概率最大化

而我们现在知道
实际上就是让联合似然概率最大化

而我们现在知道

联合似然概率

其实服从的是

可以为高斯分布

也就是说

我们去穷举所有的b向量的

组合

能够让我们去选择这些

似然概率当中最大的似然概率

它所对应的

比特向量那个向量

就是我们最终检测的结果

这就是最大似然

同步CDMA系统当中

做最大似然多用户

检测的一个基本思路

具体而言

我们可以把

似然概率函数

我们可以展开来表达

大家看这就是我们带了

连续信号模型带入的结果

这个模型其实不复杂

我们用把波形表达式带进去

就能够算出来

我们把波形表达式做一点

做一点变换

因为大家注意

这个地方对应的是

K维的高斯概率密度函数

那么它的有用部分

都是在指数上

指数计算不太方便

因此我们一般习惯上的

都要取个对数

也就我们取个

取过对数以后

大家看

实际上指数对数就互相抵消掉了

我们就只看指数部分

而指数部分大家观察

前面其实有一个常数

就是负的二倍的∑方分之一

因为它是个负号

我们本来应当是让

对数似然概率的最大化

你取了个负号

其实就变成了

让似然概率最小化

也就是说

其实我们只是让

积分部分的最小化

而这个积分部分大家观察

同学们看到这个积分部分

实际上是接收信号

YT减掉∑码合适的平方

这实际上是什么

东西呢

欧式距离

就欧几里的距离

是信号空间当中的欧几里得距离

只不过我现在加一个平方

所以我一般我们称它为平方

欧式距离

前面我们加了个负号

所以我们就等一下就可以看到

你让最大的似然概率

不是似然概率

对数似然概率最大化

其实等价于呢

我们就是让平方欧式距离最小化

我们可以把欧式距离

说一点

分析推导

我们把它展开平抛出

去展开展开之后

我们就得到了

下面这样的一个表达式

这个表达式里面

我们略微略微解释一下

因为限于时间

我们不再一步一步做推导

只把基本的概念

给大家介绍清楚

我们看平方式展开的话

显然应当有三项

第一项应当是YT的平方

DT 然后0~T积分

大家想这个是接收信号的平方在

积分

这不就是接收信号的能量吗

那么这里面

其实是不含有发送信号的

接触信号能量

对所有的用户而言

所有的组合而言

全都是公共的

所以这一项我们就在进行

最大似然比较的时候

这一项其实没有什么用处

它是公共项

所以我们就忽略掉了

那么第三项我们观察

是后面这一部分内容

∑求和

然后平方再积分

大家想一想

这个是所有用户发送信号

平方求和

其实应当是发射信号的能量

我们把这个平方

因为是∑再平方

显然应当变成双∑合适

后面这个东西其实是能量

所以我们对应的

就应当是这一部分内容

简单做一点展开

当然我们加了一个负号

就变成这个形式

也就是 B的转制A的转制

然后乘A再乘以B B就变成这

部分内容

这部分内容实际上是能量

是发送信号的能量和能量有关的

当然这个能量

是和你发送信号的向量

B向量是有关系的

好

我们看还有第二部分

第二部分就是减掉二倍的

公式见图

公式见图

公式见图

对吧

然后积分

然后这个地方

我们应该有个积分

对不对

记到前面

记到前面

这部分是什么呢

这部分实际上是接收信号

与本地信号的相关

对吧

这部分内容其实对应的就是

中间项实际上就是交叉项

也就是二这个地方的二

其实就是交叉项里面

我们把平方式展开之后

出现个二

就二倍的D的向量的转制

乘上A矩阵

再乘上Y向量

好

我们需要说明一下的是

请大家注意这个信号

B的向量

转至乘上A的转置 乘上R

乘上A乘B 我们需要用一点

线性代数的知识

大家观察这一部分的表达

这个表达式大家看B的向量

B向量

我们认为是一个列向量

我们假设是个列向量

那B向量的转置

就变成行向量了

对不对

这是一个行向量

乘上的一个矩阵

再乘上一个列向量

而中间这个矩阵

大家看是A的转置

A本来是个对对角阵

对吧

然后乘上

然后再乘上 A的

A矩阵

而矩阵本身实际上是个对称矩阵

这A矩阵实际上是一个对角阵

那么一个对角阵

乘上一个实对称矩阵

再乘上对角阵

那么总而言之

中间三个矩阵的乘积

其实它还是一个是对称矩阵

因此我们观察这个表达式

其实它是行向量

乘上一个实对称的矩阵

再乘上一个列向量

对吧

这是个什么东西呢

同学们在线性代数当中

学过这个概念

这实际上是二次行

因此我们观察到

其实最优的多用户检测算法

它的度量准则

就最佳检测准则

实际上接收信号向量

与发送信号向量做内积

然后在用它的能量

二次型的

进行修正的结果

这就是最优多用户检测算法

它的代价函数的表达

我们再看

我们把同步CDMA

它的最优多用户检测

再给大家分析一下

最优多用户的一些复杂度

大家观察

那么根据刚才的分析

大家知道

其实对于同步

CDMA而言

我们的检测

实际上就是要让ΩB

最大对吧

我们只要能够让ΩB最大

我们找让ΩB

最大的这样的比特向量

那符合最大似然

最优化准则的

多用户检测的结果

大家观察ΩB的度量

我们刚才分析过

它实际上是一次项与能量项的

组合

对吧

ΩB度量

如果我们进行最大似然检测

计算的话

要算多少项

显然应当算的二的K次方项

我们假设是二进制调整

如果是二进制调制呢

B向量

它应当等于 B1B2

BK 它是个K维向量

对吧

它应当有 K个比特

构成每一个用户承载一比特信息

而每一个用户的这一比特信息

单比特信息

它有两种取值 0 1

两种取值

你现在是一个K维比特向量

那显然应当有二的

K次方种组合

对不对

而每一种比特向量

我们都要带到ΩB表达式

里面

算出来一个度量值

相当于我们要算出二的K次方个

度量

然后把这2的K次方个度量

排个序

我们找最大的度量

最大的度量

它所对应的

最优多用户检测的结果

这个就是我们做

这种同步最佳

多元化检测算法的基本思路

显然我们由此可以看出来

同步CDMA系统

它的多用户检测的复杂度

应当是2的K次方

O2的K次方

换言之

它的复杂度

实际上是随 K也就是用户数

指数增长的一个算法

因此这个算法

它只能适用于

用户数

非常少的情况

假如说你用户数K取个两用户

三用户四用户

OK

你可以用

这种最大似然检测

能得到最佳的多用户检测性的

但假设说

如果我用户数等于100

这个时候是不可以的

因为你想想

二的100次方法度非常的高

我们没有办法在工程上实现

所以由此我们能够看到

对同步CDMA系统而言

理论上最优的检测算法

是最大的似然检测算法

但是它的复杂度是指数复杂度

所以这个性能虽然最优

但是在时限上来讲

法度是非常高的

它是指数法的算法

刚才我们给大家简单分析了

这种最简单的同步

CDMA系统当中的

最优多用户检测的基本原理

下面我们再考虑

更复杂一些的信号模型

我们看到一部CDMA系统

一部CDMA

我刚才其实已经给过

大家的

基本的这种场景

大家看了也就是说

移动台距离基站有远有近

那么比如说

我们这儿有三个用户对吧

好

这是U1

这是U2

这是U3

U2距离基站最近

U1距离基站中等

U3距离基站最远

那么假设说这三个用户

他们的发送时间

他们的其实时刻不都不受控制

那么显然在基站端

所收到的这三个用户的信号

他就对不齐

它会有相对时延

对吧

假设有这样的一个相对距离关系

大家看呢用户一

它是中等距离的

所以它的相对时延就是TI

用户二它是最近距离的

所以它的相对时延就比较小

是T2

用户三他距离最远

相对时延就比较大

是T3

那么接收端我们收到的

实际上这三个用户的波形的叠加

大家观察波形

我们观察波形

假设说我们在这个时刻

来采样

显然用户123之间

都会有干扰

这直观能看到就有干扰的

因为他们叠加到一起去了

同时我们仔细观察的话

其实不仅是用户

123就三个用户

同一个符号周期的波形间有干扰

实际上相邻的

就每一个用户的前后

相邻的波形

对别的用户也可能会有干扰

所以这就是异步CDMA的

相对同步

CDMA复杂的地方

它这个干扰

一方面是因为用户间

肯定有的和同步CDMA是类似

另外一方面

因为用户有相对是有错位

所以某一个用户的前后的

相邻的这些波形

对另外一个用户也都会有干扰

好

我们下面正是因为它的模型

同步CDMA的模型

和异步CDMA模型

它实际上是有关系的

我们先给一般意义上的

异步CDMA的模型

大家看

这个时候异步CDMA的模型

我们可以表达为这样的连续信号

连续信号的形式

连续信号的形式当中

大家观察

我们得引入两个指标

相对同步CDMA模型而言

要复杂

请大家注意一个指标是

用户序号

我们用K来表示

K表征的是用户序号

用户序号

那么I表征的是符号

符号就每一个用户

或者说我们在时间上来看

每一个符号周期

我们把它符号上加了一个序号

实际上I表征的

实际上是时间标记

而K表征的是用户标记

正因为他们在

这个时序上不同步

它是异步的对不齐

所以

我们得用两个指标来考虑

就既要考虑到用户间的叠加

还要考虑到持续上的问题

所以既有它是双下标的

既有K又有A的

那么这个模型

它可以退化为同步CDMA

如何退化很简单

我们假设说

某一个用户

他的相对时延是Tk

我们假设说

这个T1不等于T2不等于

TK

这就是异步CDMA

如果说我们取特例

所有的时延都是一样的

那就变成同步CDMA

就所有T1 T2 T3

都等于TK 它就变成同步CDMA

所以显然我们看到

上面一部CDMA的模型

它可以退化为同步CDMA

这个我们就看到

同步CDMA系统的模型

是一部cCDMA系统模型的

h特里

我们再看另外一个特例

另外一个特例

我们再重新取一下

它的每一个用户的

信号的幅度和时延

首先我们把所有用户的幅度

都取得一样

A1 A2

都取到AK

都取成是A对吧

然后我们再看时延

这个时延我们不取

不是相等的

我们把这个时延

做一个等间隔划分

也就是说 第k个用户时延TK

那么它

我们就把它取值为是把整个符号

周期T做了K等份

然后第k小K个用户

它是占了

占了这个时延对应的

应当是K-1份

对吧

K-1乘大T除以大K

这就第小K个用户的

时延 相对时延

这么取有什么好处呢

大家看

我们看下面这张图

在这个图当中

我们举了个例子

子这个例子

我们取的是4个用户

K=4

我们观察

一个符号的周期是T

T那显然

我们把它均分

那就把它分成4份

那么每一份的时延你

就是4/T对于第一个用户来讲

我们这儿画的图

就是要看这个结果

这对于用户1而言

它是没有相对时延的

T等于0的

所以他就是从0时刻开始发

然后有4个符号周期

这就是第一个符号周期

第二个符号周期

第三个符号周期

第四个符号周期 发了4个符号

对吧

每一个符号周期的波形

我们看都是这么个波形

反正就是这样的一个波形

对吧

好

我们看第二个用户

第二个用户大家注意

他的时延是4/T我们根据刚才

的假设

它是4/T所以它相对第一个

用户

它其实要延迟滞后了

4/T到达的

对吧

我们再看第三个用户的信号

显然第三个用户

应当是2/4T也就是二分之T

所以它延迟了2/T到达

第4个用户我们看

显然应当是

延迟的3/4T到达

所以它延迟3/4T对不对

好

我们观察T是

这4个用户的波形

它波形上都是一样的

幅度都一样

但在时延上

正好是等间隔时延

T/4的整数倍 等间隔时延的

接收端你收到的信号是什么

是这4个用户的叠加

大家看最上面的波形

这就是叠加起来的模型

对吧

明显我们能看到

他们会有干扰

比如说我们举个例子

咱们假设说

取第一个用户

在第二个符号周期的采样

我们在这取一个采样

对吧

取了采样

好

大家想一想

对于第一个用户

在第二个符号周期去采样

我们观察这个图上的波形

就能看到

显然

在第一个符用户的

第二个符号周期当中

波形

我们以第二个用户为例

显然会受到第二个用户的

两种干扰

那么我们看到

它既会受到第二个用户

在第一个符号的尾巴上的干扰

还会受到的第二个用户

在第二个符号头部的干扰

因为他们对不齐

第二个用户相对于第一个用户

要延迟

四分之T对吧

类似的我们看

也对于第三个用户

也是的

用户一的第二个符号的波形

也会受到用户三的第一个符号的

尾部的这种感染

还会受到第三个用户的第二

二个符号的头部的干扰

当然对于第四个用户

也是类似的

我们就不再一一列举了

同学们观察用户一的波形

它会受到用户二用户三用户四

前后就用户二的

用户一的第二个符号

会受到用户二的第一个符号的

干扰

对不对

而现在特例的情况下

其实我们是没有办法区分

用户一用户二用户三用户四的

别忘了

刚才我们给了

假设

所有这4个用户

他的签名序列就是扩频序列

S1T S2T

S3T S4T都一样

都是ST 幅度值也一样

实际上现在在这种假设下

这个系统已经不是多用户系统了

变成单用户系统

它们的幅度是一样的

只不过是多个理由叠加起来传输

对吧

那么我们观察

这个图上面

给出了这种符号间的干扰

明显看到在这种

各个用户

他们的扩频序列一样的情况下

还有相对时延等间隔

相对食时延的情况下

明显看到

实质上讲

一部CDMA

它的这种多址干扰

本来是用户间的干扰

就退化成了

我们传统意义上的

符号间干扰

也叫码间干扰

因为第二个符号周期

它会受到第一个符号周期的干扰

就相邻符号之间的

会有码间干扰

也就是说

我们在通讯员里面讲的码间干扰

所以从这个意义上

我们就能看到

其实异步CDMA系统

包含了两类特例的

一类特例

如果所有用户的实验都相同

那么它包含了

同步CDMA作为特例

另外一类特定的是

所有的波形都一样

而用户之间的相对时延

是等分散开的分布的话

那么这个时候

其实码间干扰

也是异步CDMA 它的一个特例

正因为这样

我们回忆一下

在通讯原理里面曾经给大家讲过

如果一个系统

是存在吗JI你干扰的

那也就是符号之间的会相互干扰

那么对于存在码间干扰系统

我们怎么来进行最佳检测呢

能最佳检测的方法

仍然是用

最大似然

当然实际上就是最大四然序列

均衡算法

大家回忆一下

我们在上一章讲均衡的时候讲过

最佳的均衡算法

在码间干扰器

就是多径干扰存在的情况下

就是最大似然序列均衡算法

那么由此我们就能够知道

对于最优多用户检测而言

异步CDMA的最优多用户检测

而言

显然也应当用最大自然序列

检测

这样的话

才能够达到最佳

我们下面再进一步细致的分析

一点信号模型

因为这一章内容理论化比较强的

我们主要是分析它的数学结构

我们刚才已经看到说

由于异步的时间不同步

就异步的这种特性

所以某一个用户的

某一个符号周期里面

所受到的干扰

其实受到的是

另外一个用户的

不同的符号

就其他相邻符号周期

对他有部分干扰

所以为了刻画这种部分干扰

我们就引入了两个部分的相关

系数

比如说我们这给的例子

咱们假设说

第k的用户的符号周期是这一段

那么他所说的干扰

是另外一个用户

第A2个用户

第A2个用户

他在前一个符号周期

它的尾部对不对你看这个尾巴

和后一个符号周期

他的头部这一部分

都对当前的 第k个

用户的符号周期有干扰

那么我们不能够定义一个

完整的符号周期当中的互相关了

然而要定义一部分符号周期

就一部分时间当中的

这个部分相关函数

一个是头部相关等等

就看这一部分

另外一个是尾部相关的

那么头部相关的

我们就定义为ρKL为不相关的

我们定义为ρLK 另外大家看看

具体定义就OK了

好

那么根据这样的一个

部分相关的

咱们可以把

前面的一部CDMA的信号模型

进一步再来分解

大家回忆一下

在刚才我们讲

同步CDMA信号模型的时候

其实提到过

我们同步CDMA系统

第k个匹配滤波器的输出

其实有三部分

分量构成的

第一部分是有用信号

第二部分是其他K-1

个用户的干扰

第三个部分是加性噪声

对吧

那么异步CDMA系统也是类似

那么经过第k个相关器

输出的信号分量

按道理说

也应当分为是有用信号

多址干扰 加性噪声

对不对

但是现在因为异步的特殊性

我们把这个多址干扰呢

干扰分量

还要做一点进一步的细节的分析

大家看胶片上给的这个公式

这个公式表达的就是

第K个相关器

或者匹配滤波器

第I个符号周期输出的

接受信号样值

那么接收信号样值

从宏观上来看

确实分为三个分量

这是第一个分量

是有用信号是AK BK I

请大家注意

B K I表示的是第K个

用户

第I个

符号

第i个符号所对应的信号

当然我们这都假设的是

二进制调制的话

它其实就是第I个比特

就是第k个用户的

第I个发送比特

对

这是它的有用信号

我们再看第三个分量

第三个分量是 NKI

NKI表示的是第K个用户的相关器

那么第I个比特周期

所对应的噪声样

只对这两个

原来同步CDMA的

第一个和第三个分量是一样的

我们关键看第二部分

第二部分就是多址干扰

而这个多址干扰

现在我们要进行进一步的分解

因为这个多址干扰

让大家想想

按照刚才我们的分析

它其实是要考虑到持续影响的

我们不是一般性的

可以假设

所有的用户

它的相对时延

我们加个排序

比如说T1

小于等于T2

小于等于小于等于小于等于TK 也就是说

我们把用户的序号呢

重新编个序

序号小的时间小

序号大的时间大

对吧

好

然后现在我们考虑是第k个用户

小K 第k个用户

那么 第k个用户

对应的时延或者Tk吗

我们可以根据

第k个用户所在的时延

把整个用户分为两组

咱们就分为两组了

一组是时延

小于当前第k个用户的

这相当于是早到的

对吧

他的时延短 来得早

就是早到达的用户

他的时延

比第k个用户的时延要小

我们再看另外一组

另外一组j于Tk

也就是说

另外一组它的相对时延

比第k个用户的时延Tk要大

也就是它比第k个用户的信号

来得晚

他是晚到的用户

我们分为两组

那么早到和晚到

对当前这个用户的信号

所产生的干扰是不一样的

大家想想显然是不一样的

如果说我们就是举例子

如果说当前的符号周期

是第I个符号周期

这个指的是第k个用户

第I个比特 比特周期

假如说你要是找到的用户

那么显然

比如说这是第一个用户

对吧

第j个用户的话

那么他的 BJI来的比

BKI的要早

所以他早到的

显然下一个比特周期

就应该BJI+1

大家观察

我在我画的图时序图来看

显然早到的用户

他其实

它的第I个比特周期的波形的

尾部

和I加一个比特周期的

波形的头部

都对

当前第k个用户的第I个比特

周期有干扰

对不对

所以这两部分干扰

大家看

就是我们在公式里面

上半部分写的

也就是说早到的用户

应当是

第I个符号的周期的

以及 I加一个符号周期

对当前用户的第I个符号周期有干扰

对吧

好

所以它所对应的

就应该ρKJ

和ρJK 我们再看呢晚到的

晚到的用户

他的I来的晚

所以这就应当对应的是

DBJI那么他来的晚

他之后

显然前面应该还有一个BJI-1

前面还有一个I-1

I-1来

来了一会儿之后I才来

所以这就会导致

他的I-1的头部

和I的尾部

会对当前的符号周期I会有干扰

所以这就对应的是

下面这部分的干扰

所以我们看到

在这种异步CDMA系统当中

它的多次干扰

实际上不仅仅是不同用户的

当前符号周期

会对别的用户的

当前符号周期有干扰

不仅仅是I对I

比特有干扰

实际上I-1对I也有干扰

I+1对也有干扰

换言之

大家想想

显然对于这样的系统的话

如果我们取的是I

那么它就会受到I-1的干扰

以及 I+1的干扰

对吧

如果说我们取I+1

它就会受到

还有I+2的干扰

如果你取的是I+2

它就会收到I+1

还有I+3的干扰

我们看这个干扰

它是一个连环套套起来的

对不对

也就是说这样的异步CDMA系统

它在时间上是有记忆

我们可以把

这样的一个标量的模型

把它写成是矢量的表达式

那就能够得到下面这样的一个

矩阵向量表达式

显然这个矩阵向量表达式的结构

比前面我们讲的

同步

CDMA系统要复杂

因为刚才我们做个对比

刚才我们写同步CDMA系统

表达式是RAB+N

因为它只有同步这一项

大家观察异步CDMA系统的

表达式

中间这一R0ABi 这个就是当前

符号周期

不同用户间的干扰

也就对应于同步CDMA的

RAB

那么这个BI就指的是第I个

符号周期

我K个用户发送的比特向量

可是我们刚才提到过

它前后之间也有干扰

所以前面应当还有一个I+1

一部分就是来的早的那些用户

那么它在I+1上

符号周期的向量

也会对I时刻的

第k的用户有干扰

所以前面还有一个

一部分干扰

后面还有一个来的晚的

那就是I-1也有干扰

对不对

所以这就是异步结构

根据刚才同步CDMA的

分析的类似的思路

我们知道这样的一个Y向量

它显然也是一个

高斯随机向量

我们也可以用联合似然概率最大

化的方式

来求解它的最优

最优多用户检测

不过这个结构就极其的复杂

我们可以把它的最大似然的概率

能不能写出来

请大家注意的是

这个地方的最大似然

绝对不是K维了

请大家注意

不再是

我只检测第I个比特周期

二进制下

K维向量

这不可能的

因为刚才我们已经给大家

反复的说明过了

对于现在异步CDMA系统而言

一个比特周期

就要发送一个

K维的二进制向量

可是第I个比特周期

它会受到 I-1的干扰

也会影响 I+I时刻

I-1

I+1

都对它有影响

那么I-1会受I-2

和I I+1受I和I+2

所以它是连环套套到一起去

所以我们假设说

它的整个帧长是从－M

到正M因为中间还有个0

所以一共数据帧的长度

或者说比特周期的长度

应当是2M+1

2M+1个比特向量之间都有干扰

并且每一个比特周期

所对应的

都是一个K维比特向量

所以一帧

有多少个比特

或者说我们把所有的比特向量

每一个周期有K维的比特向量

我们现在二帧长的是

2M+1个比特周期

所以总的向量的维度

就应当是2M+1×K 请大家

注意

实际上对应的是

用户的维度

K维再乘以数据帧的帧长

2M+1所得到的

这是真正的我们要检测的

向量的维度是

2M+1×K维 那么它的计算复杂度

显然就应当是
2M+1×K维 那么它的计算复杂度

显然就应当是

大O标记的话

我们要进行穷举

就应当是2M+1×K这么多

穷举量

我们和刚才的这是一部CDMA

对吧

这是异步CDMA

我们和刚才同步CDMA它的

检测的复杂度做个比较

大家看刚才

虽然我们已经讲过了

同步CDMA它的复杂度

已经是指数复杂度了

但是指数和指数

还是有本质区别的

同步CDMA的指数

它只适合用户数呈指数增长关系

而异步CDMA指数

那可不得了

它是指数上面还有指数

因为它既和用户数成

指数关系

它还和帧长2M+1

是帧长和帧长也

成指数关系

所以异步CDMA的复杂度

远高于同步CDMA

比如说我们

我们举个例子

比如说K就=20个用户

对吧

2M+1我们就约

等于就约等于数据

帧的帧长的100个比特

那么对于同步CDMA来讲

它最多的计算量

也就是2的20次方

而对于异步CDMA来讲

这个计算量应当是2的2000

次方

你想一个2的

20次方

一个2的2000次方

显然后者是

天文数字的天文数字

极其的不可想象的计算量

因此我们也就能看出来

异步CDMA如果我们采用最优

多用户检测的话

是绝对就没办法工程实现

虽然它的性能

确实能达到最佳

那么复杂度

如果我们采用这种

简单的穷举的方法来做的话

反正都是极其高的

没有办法做

好

我们刚才看到

理论上穷举的方法

来进行一步

CDMA的最优的用户检测的

这房子太高了

那么有没有方法能够降低一点

这种检测的复杂度的

实质上是有的

这个就是在1986年的时候

有一位著名的学者

叫Verdu 他所提出来的一种

低复杂度的

但是一个最优异步

多用户检测算法

Verdu所设计的这种算法

它其实就是非常聪明的借鉴了

这种异步CDMA的

它的这种时许结构的特性

就它异步CDMA

大家回忆

刚才我们讲

它的信号模型已经提到

它实际上是有时序记忆性的

Verdu的这种基本思路

他就是利用这种时序记忆性

我们把这种时序记忆性

看作是一个广义的

卷积码的结构

那么我们可以把这种异步

CDMA的

他们相互干扰的这种结构

展开为图

然后再去图上进行维特比算法

来进行检测

所以这样子就能够极大的降低

简单穷举

这种

最大似然检测算法的复杂度

而因为这个时间的限制

这部分内容比较复杂

我们就不再展开它的细节

只给大家看一看他的一个基本

形式

我们举个例子来给大家说明

大家看呢这就是一个三用户

异步CDMA系统的图

结构图

大家看这个

那么三用户的结构图

它也可以定义类似于卷积的

编码器

它也可以定义这种

状态图的结构状态向量

我这三用户

有两个用户是干扰

所以我们这两个用户的信号

我们取00 01

10 11

实际上有4种状态

而转移分支上

其实对应的就是

第三个用户的取值

也就取01两种

两种分支

我们可以得到一个图

在这个图上

就可以来进行这种异步CDMA的

最优多用户检测算法

那么他用到的检测算法

是维特比在这这样的多用户

Trellis图上做维特比算法

就可以实现最佳多用户检测

它的复杂度能是多少呢

它的复杂度是比较低的

比我们刚才所提到过的这种

最优多用户型的算法要低得多

它可以把复杂度从大O目标

从2的2M+1

K

然后直接我们降低到

公式见图

公式见图

实际上也就是2的K次方就可以了

由此我们可以看到

异步CDMA系统

如果我们采用

最佳多用户检测算法

在采用Verdu的一种思路的话

他仍然可以和同步CDMA系统的

最优的用户检测算法

一样的复杂度

虽然它还是一个指数法的算法

但是比纯粹穷举的算法

去掉了帧长的影响

所以这是在30多年前的

一个

在通信理论界的重大进程

因为Verdu的工作

那么这个多用户检测

就开拓了一个非常大的领域

从那个时候到现在

多用户检测

他的很多思想

很多先进的算法

虽然在多用户检测

本身

没有多大的工程应用

但是

对后续的一些

先进的信号处理技术

比如说 OFDM比如说

技术

mimo得到了很多的启发

当年做多用户检测的很多学者

后来都转行

去推动了MIMO OFDM的一些

先进信号处理技术的研究

就今天我们用到的很多3G 4G

以及5G当中的先进技术

其实很多技术的发源

都来自于多用户检测