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第二十八讲 重要定理的证明过程课程视频在线视频

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第二十八讲 重要定理的证明过程课程视频课程教案、知识点、字幕

各位老师同学大家好

上一讲我们重点讲述了高斯分布的微分熵

同时高斯分布的随机变量的熵

只与方差有关

因此在功率给定的条件下

均值为零的高斯分布具有最大的微分熵

这一讲我们基于上一讲的结论

重点讨论求解

无记忆加性高斯信道费用函数

这一讲的内容非常重要

设噪声的概率密度函数为p(z)

满足式(1)

式(1)中Pn为方差

物理意义为功率

均值为零

微分熵应用上一讲的结论

根据无记忆加性噪声信道的

信道容量费用函数公式

输出熵在功率受限条件下达到最大值

基于式(2)条件

且信号的零均值

并不会带来微分熵的增加

在方差受限的条件下

微分熵的最大值只与方差功率有关

所以不失一般性

可取Y与X 的期望值为零

设噪声的概率密度函数为p(z)

则(3)式的物理意义表示输出信号的功率

而数学意义表示方差

表示输出功率等于

信源输入功率与噪声功率之和

因此在均值为零

方差为PN加PS条件下

高斯分布具有最大的微分熵

即输出信号Y 的分布式均值为零

方差为PN加PS的高斯分布

得到Y 的分布以后

根据公式X=Y-Z

很容易得到X的分布

得到X的分布如 (5)式所示

同理

无记忆加性高斯噪声信道的

信道容量费用函数

如式(6)所示

这就是我们得到的重要结论

评述

上述结果对实际的工作

有相当重要的指导意义

当利用具有高斯分布的信号

作为信道的输入时

无记忆加性高斯噪声信道的信道容量

可以得到充分的利用

能量决定着信息量

能量是系统的主要因素

在无记加性高斯噪声的信道中

传输信息量时

高斯分布的信号是最有效的

有效是指

是指同样的信号功率下

信道可以传输最多的信息

同时我们引出了另外一个重要结论

重要定理的提出以及证明

是指同样的信号功率下

信道可以传输最多的信息

此外与之密切相关的另一个重要结论是

在无记忆加性噪声信道中

高斯分布的噪声对信道具有最大的破坏力

本讲给出详细的证明过程

定理

在无记忆加性噪声信道中

设输入信号X具有高斯分布为p(x)

加性噪声的功率为 PN

则当噪声的概率密度函数

取高斯分布 p(z) 时

输入\输出的互信息达到最小

证明

当噪声取高斯分布时

根据随机过程理论

给线性系统加高斯噪声时

输出也为高斯分布

因此满足如下的关系式(7)

如果信道噪声为非高斯分布的噪声

则信道Y的分布也是为非高斯分布

而且满足关系式(9)

本讲分别用这两个式子

表示高斯分布与非高斯分布时

信道的输入/输出之间的互信息

有如下的表达式(3)存在

利用上一讲的结论

可以得到表达式(4)

再利用式z=y-x作等量代换

得到式(5)

显然得到我们所需要证明的结论

这是一个非常重要的结论

高斯分布作为输入信号概率分布时

有利于信息传输

高斯分布作为加性噪声时

不利于信息传输

这两个极端的结果充分说明

高斯分布的随机变量

具有最大的微分熵这一特性

显然在证明过程中

又应用到了对数不等式

如红色箭头所示

一般无记忆加性噪声信道的

信道容量费用函数的界

一般的无记忆加性噪声信道

以前给出的式所表达的

信道容量费用函数

无法给出解析形式的解

但是可借助于这一表达式

对信道容量的费用函数的值做出估计

并给出其上下界的表达式

这也是采用优化方法解决问题的一种思路

下确界满足式(6)

其中互信息是输入信号去方差为PS 的

高斯分布时

信道输入输出之间的互信息

又根据上一讲的定理

可知式(7)表达式

其中

YG为信道的噪声

具有一般噪声相同的方差

且为高斯分布时的输出

因此基于式(8) 存在

我们得到一般无记忆

加性噪声信道的信道容量费用函数的下确界

其费用函数的下确界如式(9)所示

上确界

当信号功率限制在 PS 以下

噪声功率给定为 PN时

此时输出功率将小于等于PN+PS

则输出变量的Y微分熵等于关系式(10)

于是有式(11)存在

其中 h(Z) 取值取决于Z的概率分布

当给出Z的概率分布后

就可以得到h(Z)的表达式

所以上式定义为

一般无记忆加性噪声信道信道容量

费用函数上界的表达式

此外目前存在的参考文献中

有时可借助于熵功率的概念

给出上界的另外一种表达形式

众所周知

在相同的方差下

高斯分布的随机变量具有最大的微分熵

所以式子(12)从物理意义上讲而言

熵功率具有微分熵值的高斯随机变量的功率

一旦引进了熵功率的概念

上式就可以重写为式(13)

综合以上两个式子

即可以得到一般无记忆加性噪声信道的

信道容量费用函数的估计值如式(14)所示

这一讲就讲到这里

信息论课程列表:

第一章 信息论概述与基本概念

-第一讲 信息论课程介绍以及信息论的概念 描述

--第一讲 信息论与信息论的基本概念视频

--讨论变量之间的相关性

--课件PPT

-第一章 学习材料

--第一章 学习材料课件

--思考与扩展

-第一章 作业

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-同步阅读训练 关于中国新型肺炎数学模型的建立

--同步训练

--关于信息概念的讨论

第二章 信源与信息熵率、冗余度与冗余压缩编码

-第二讲 离散熵 离散互信息 连续随机变量的熵与互信息

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--课堂辅助材料 各种概率的讨论

--课件PPT

-第三讲 熵函数的定义

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--第3讲PPT

-第四讲 熵函数的上凸性证明 案例的思考与扩展 熵函数的进一步讨论

--第四讲 熵函数的上凸性证明 案例的思考与扩展 熵函数的进一步讨论视频

--课堂辅助材料 结合国际著名教授的讲义熟悉凸函数的性质

--课件PPT

-第五讲二元变量的联合熵 联合熵的几种情形的讨论 联合熵不等式的证明

--第五讲 二元变量的联合熵 联合熵的几种情形的讨论 联合熵不等式的证明视频

-第六讲 互信息的定义 互信息的公式推导 平均互信息的几种情形的讨论

--第六讲 互信息的定义 互信息的公式推导 平均互信息的几种情形的讨论视频

--平均互信息与熵函数关系的讨论

--评论互信息证明过程的讨论

-第七讲多变量平均互信息关系式证明 互信息函数的性质 互信息函数公式的进一步研究

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-第八讲 连续随机的熵函数与互信息

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-第九讲 鉴别信息

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--鉴别信息在机器学习聚类问题中的应用

--课外辅导材料 关于强化机器学习的讨论

-第二章 课程课件PPT

--第二章 学习材料

-第二章 作业练习与思考

--第二章 作业

--课外材料补充

第三章 信源的熵率、冗余度与马尔科夫信源编码

-第十讲 平稳 离散 无记忆稳恒信源

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-第十一讲 定长编码定义与渐进等同分割定理

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-第十二讲 唯一可译码定理以及前缀码的构造

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-第十三讲 变长编码的平均码长定理

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-第十四讲 Huffman编码

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-第十五讲 平稳有记忆Markov信源

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-第十六讲 Markov信源的变长编码以及案例介绍

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--马尔科夫链的基本内容

-第三章 学习材料课件

--第三章 学习材料PPT 与罗智泉教授的优化讲义

-第三章 作业练习与思考

--第三章 作业

第四章 信道与信道容量与信道的有效利用

-第十七讲 信道、 信道模型以及分类

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--阅读材料 : 无线信道的传播与衰落特性的分析

-第十八讲 前向信道状态转移概率矩阵引入与平均互信息

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-第十九讲 离散无记忆信道的信道容量以及传输速率

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-第二十讲 信道容量解的充分必要条件以及优化方法的介绍

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-第二十一讲 对称离散无记忆信道

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-第二十二讲 准对称离散无记忆信道 删除信道 案例分析

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-第二十三讲 准对称离散无记忆信道案例分析

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-第二十四讲 串联信道的信道容量

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-第二十七讲 高斯分布函数在信道估计中的应用

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-第二十八讲 重要定理的证明过程(重点关注证明过程技巧 如等效 与对数不等式的应用)

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-第二十九讲 并联信道的信道容量费用函数优化建模以及在MIMO中的应用(5G 6G中应用)

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-第三十讲 模拟信道下的信道容量费用函数

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--KKT算法以及优化问题的讨论

-第四章 学习材料课件

--课堂课件PPT

--正交变换

-第四章 课外阅读材料 衰落信道描述 优化方法及介绍 5G 6G介绍

-- 课外阅读材料1

--关于信道物理层 5G下的 物联网 课外阅读材料2

--阅读材料3

--关于麻省理工学院郑教授与黄博士的观点讨论

-第四章 作业练习与思考

--第四章 作业

--第四章主观性习题以及答案

第五章 信源的信息率失真函数与墒压缩编码

-第三十一讲 熵压缩编码与信源的信息速率失真函数

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-第五章 学习材料课件

--学习材料的补充

-第五章 作业

--第四章主观性试题与答案

第六章 信道编码

-第三十二讲 错误概率与译码似然准则

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--错误概率译码课件PPT

-第三十三讲 有噪信道编码以及最大似然准则引入

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--菲诺不等式的讨论

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-第三十四讲 信道编码基本概念介绍

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--信道编码基本概念PPT

-第三十五讲 线性分组码的数学支撑 线性空间的引入

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--线性代数中特征值与特征向量的讨论

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-第三十六讲 线性分组码的生成矩阵与校验矩阵引入

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--课件PPT关键是生成矩阵 与监督矩阵

-第三十七讲 伴随式 、错图样与译码

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-第三十八讲 循环码及其多项式描述 生成多项式引入

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-第三十九讲 循环码及其矩阵描述

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-第四十讲 循环码的构造

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-第四十一讲 卷积码基本概念介绍

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-第四十二讲 卷积码及其图形描述 篱笆图 树形图

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-第四十三讲 卷积码的译码过程

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-第六章 课外阅读材料 卷积码 阅读材料

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--第六章信道编码主观性试题以及答案

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第七章 最大熵原理以及最小鉴别信息原理

-第四十四讲 最小鉴别信息原理与最大熵原理

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-第七章 学习材料课件

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--第七章 作业

各章主观性课后习题(学员用笔作答)计算证明+期终考试(各学习期终考试试题以及答案)

-强化训练

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--第三章信源与信源编码的主观性习题与答案

--第四章主观性习题与答案

--第六章信道编码主观性习题与答案

--2020-2021信息论期终考试题(命题人 翟永智 郑文秀 冯丹)

-2020年专家讲座PPT

--杰青讲座

--院士的讲座

教学大纲

-信息论教学大纲(研究生与本科生)以及教学日历

第二十八讲 重要定理的证明过程课程视频笔记与讨论

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