1.1 基本概念在线视频

同学们大家好

我是西安工程大学电子信息学院的崔琳

今天我将为大家讲授《现代数字信号处理》

这门课程中有关随机信号的一些基本概念

这部分知识是学习这门课的基础

所以需要同学们牢固的掌握它们

首先

我们来看一下信号的分类

我们按照信号取值时间的连续性与否

可以将信号分为连续时间信号

和离散时间信号

连续时间信号的时间t定义在

负无穷到正无穷

而离散时间信号的时间为整数

我们习惯用k来表示

如果按照信号取值随机性与否来分类的话

可以将信号分为确定性信号和随机信号

确定性信号指的是信号幅度随时间变化

而且具有一定的规律性

可以用一个明确的数学关系来描述

它是可以再现的

比如我们比较熟悉的阶跃信号

正弦波信号

符号信号都是确定性信号

随机信号也称为随机过程

指的是信号幅度随时间变化

但没有明确的变化规律

也不能准确地预测

因此不可能用一个明确的

数学关系进行描述

但是

这类信号统计分布存在规律

可以用概率密度函数

概率分布函数

数字特征等进行描述

因此

对随机信号一般只能

在统计的意义上来研究

这就决定了它的分析和处理的方法

和确定性信号相比有着很大的差异

在工程和生活中

随机信号的例子很多

例如

各种无线电系统

及电子装置中的噪声和干扰

建筑物所承受的风载

船舶航行时所受到的波浪冲击

还有许多生物医学信号

比如心电图

脑电图

肌电图

以及我们天天都在发出的语音信号

都是随机信号

这些随机信号具有共同的特点

首先

随机信号在任何时间的取值

都是不能先验确定的

但是这些取值却服从某种统计规律

换句话说

随机信号可以用概率分布特性统计地描述

这些统计特性又进一步可以分为一阶

二阶和高阶

下面我们先来学习一下一阶统计量

均值

假设xt

代表一个连续时间的复随机过程

fxt表示任意时刻的随机变量

在时间t的概率密度函数

就是数学期望

我们用ext 来表示

也可以称之为均值

用ut来表示

二阶统计量一般指的是

相关函数和协方差函数

这两个函数的定义式这里面已经给出来了

我们用Rxx来代表相关函数

Rxx等于随机信号xt

在t1时刻的随机变量与xt

在t2时刻的随机变量的共轭乘积的期望

我们用Cxx来代表协方差函数

它等于xt

在t1时刻的随机变量减去在t1时刻的均值

再乘以xt在t2时刻的随机变量减去

在t2时刻的均值的共轭

整体再求期望

可以看出xt在t1和t2时刻的自相关函数

和自协方差函数仅决定于t1- t2的时间差

高阶统计量指的是k阶矩和k阶累积量

这里面我们主要看一下k阶矩的定义式

随机信号xt

的k阶矩等于随机信号xt

在t1到tk时刻的随机变量乘积的期望

了解了随机信号的统计特性后

我们可以依据这些统计特性

对随机信号进行分类

如果把随机信号按照概率分布进行分类

可以分为两种

如果随机信号的概率密度函数

服从正态分布

那么称其为高斯信号

反之

如果随机信号的概率密度函数

服从非正态分布

那么称其为非高斯信号

第二种分类方法是根据统计特性

是否与时间有关进行分类

平稳随机过程是

一类应用广泛的随机过程

在稳定系统中出现的随机过程

都属于平稳随机过程

这些随机过程的共同特点是

统计特性不随时间的推移而变化

比如纺织过程中棉纱横截面积的变化

军舰在海浪中的颠簸

电阻的热噪声

电子管中散弹效应所引起的

电路中的噪声电压

还有通信

自动控制等领域的许多过程

都可以认为是平稳随机过程

根据平稳信号满足的条件不同

可以将平稳信号分为三种

第一种是严格平稳

指的是概率密度分布函数

与时间无关的平稳信号

第二种是n阶平稳

它满足的条件是n及n以下阶矩有界

而且与时间无关

在n=2时

称为广义平稳

而广义平稳需要满足的条件有三个

第一个是均值为常数

第二个是其二阶矩有界

第三个是其协方差函数与时间无关

凡不是广义平稳的信号都是非平稳信号

那介绍完上面内容可以发现

严格平稳一定是广义平稳

但广义平稳不一定是严格平稳

但是如果随机信号是高斯信号的话

那两者之间是等价的

平稳信号还有一个很重要的性质就是遍历性

对一个平稳随机信号来说

如果它的所有样本函数在

某一个固定时刻的一阶和二阶等数字特征

和单一样本函数在长时间的统计特征一致

则称该信号为各态遍历性随机信号

简单点说就是从随机信号的一次观测记录

可以估计其统计量

比如说相关函数

功率谱等

其中最常用的一种遍历性形式

就是均方遍历性

如果xt是一个平稳信号

它的n阶及较低阶的所有矩

都是与时间无关的

而且满足这个等式

那么我们就称该信号是n阶矩均方遍历的

也就是说可以通过一次观测数据

估计所有n及n以下阶的统计平均值

在这门课所涉及的内容中

假定我们所讨论的信号

都是具有均方遍历性的

下面我们来看一下平稳随机信号的

低阶统计特性

这里面均值

相关函数和协方差函数前面已经介绍过

就不赘述了

需要注意的地方是式中的

我们重点看一下功率谱密度

功率谱密度的公式这里已经给出

我们可以看出

对协方差函数进行傅里叶变换

就可以得到功率谱密度

这里面需要同学们注意的地方

是如果功率谱等于常数

那么随机过程xt称为白噪声

相反

如果功率谱不等于常数的噪声

则称之为有色噪声

如果存在两个随机信号xt yt

那么它们之间的互相关函数

和互协方差函数可以用这里面的公式求出

这里面有个重要的概念

就是如果互相关函数与时间无关

只与时间延迟τ有关的话

那么称这两个信号联合平稳

联合平稳时的互相关函数

互协方差函数以及互功率谱

我们可以利用PPT上给出的公式来求

大家发现这三个统计量

都可以通过时间延迟τ来求得

好 这节课的内容到这里就全部讲完了

谢谢同学们的聆听

再见