6.2 短时傅里叶变换在线视频

同学们 大家好

我是西安工程大学

电子信息学院的焦亚萌

我将为大家讲授

《现代数字信号处理》这门课程

今天我为大家讲第六章

时频信号分析线性变换的第二讲

短时傅里叶变换

这种变换的基本思想是

用一个窗函数乘时间信号

该窗函数的时宽足够窄

使取出的信号可以被看成是平稳的

可以看成不随时间变化

然后进行的傅里叶变换

可以反映该时宽中的频谱变化规律

如果让窗函数沿时间轴移动

可以得到信号频谱随时间变化的规律

下面我们分作三个部分讲解

第一 定义及物理解释

第二 性质

第三 时间和频率分辨率

首先我们来看短时傅里叶变换的定义

式中w(n)是一个窗函数

它的作用是取出x(n)在n时刻附近的

一小段信号进行傅里叶变换

当n变化时 窗函数随n移动

从而得到信号频谱随时间n变化的规律

此时的傅里叶变换是一个二维域 (nω)的函数

窗函数沿时间轴移动情况如图所示

对短时傅里叶变换的定义

从傅里叶变换和线性滤波两个角度

可以有两种不同的物理解释

第一由傅里叶变换角度解释

按照定义式

STFT可以看作n是参变量

x(M)W(n-m)对m的傅里叶变换

因此它是(nω)的函数

因为STFT是x(m)w(n-m)的傅里叶变换

可以用x(M)和w(N-M)分别的

傅里叶变换的卷积表示

即可得到STFT的频域表达式

对θ从-π到π求积分

这里如果x(n)是时变信号

式中用了它的傅里叶变换是不合适的

但可以理解为信号在时间窗外变为 0 以后

取信号的傅里叶变换

或者说是时间窗内的

信号傅里叶变换的平滑形式

之所以说是平滑形式

是因为如果简单地用一个矩形窗

从信号中截取一段

肯定产生不良的截断效应

采用具有平滑作用的

如哈明窗作为时间窗是合适的

时间窗w(N)及其频谱w(ejω)的特性是很重要的

它直接影响时频分析的时间和频率的分辨率

另外它们的形状还影响时谱的真实性

很明显

如果谱窗w(ejω)是一个冲击函数

δ(ω)则一定能真实地反映信号的频谱

第二从线性滤波角度解释

可以将定义式重写为

表明短时傅里叶变换可以看成

线性卷积

如将w(n)看成一个低通滤波器的

单位脉冲响应

短时傅里叶变换则可用这个图表示

从图可以看出 首先将信号x(n)调制到-ω

然后通过低通滤波器w(n)

其输出就是短时傅里叶变换

实质上是将x(n)在ω附近的频谱搬移到零频处

作为短时傅里叶变换

为使其频率分辨率高

希望w(n)是一个低通窄带滤波器

带外衰减愈大愈好

下面我们学习短时傅里叶变换的性质

短时傅里叶变换是建立在

一般傅里叶变换基础上的一种变换

因此它具有许多和傅里叶变换相似的性质

第一 线性性质

设

c d为常数

则Z的短时傅里叶变换等于

c乘以x的短时傅里叶变换加上

d乘以y的短时傅里叶变换

第二 频移性质

第三 时移性质

由频移特性和时移特性可以看出

STFT具有频移不变性 但不具有时移不变性

相差一个相位因子

第四 共轭对称性

当信号是实信号时

短时傅里叶变换和一般傅里叶变换一样

具有共轭对称性

即

它的实部是偶函数 虚部是奇函数

第五 由短时傅里叶变换恢复信号

由定义式可得短时傅里叶变换的反变换为

下面我们来分析一下

短时傅里叶变换的时间和频率分辨率

由定义可知

STFT实际分析的是信号的局部谱

局部谱的特性决定于该局部内的信号

也决定于窗函数的形状和长度

为了了解窗函数的影响

假设窗函数取两种极端情况

第一种极端情况是取w(n)=1

n大于负无穷小于正无穷

此时

这种情况下

STFT退化为信号的傅里叶变换

没有任何时间分辨率

却有最好的频域分辨率

第二种极端情况是取

此时

STFT退化为信号

有理想的时间分辨率

但不提供任何频率分辨率

短时傅里叶变换由于使用了

一个可移动的时间窗函数

使其具有一定的时间分辨率

显然短时傅里叶变换的时间分辨率

取决于窗函数w(n)的长度

为了提高信号的时间分辨率

希望w(n)的长度愈短愈好

但频域分辨率取决于w(n)

窗函数的频域函数宽度

也就是低通滤波器w(n)的带宽

或者说带通滤波器w(n)ejωn的带宽

为了提高频域分辨率

希望尽量加宽w(n)窗口宽度

这样必然又会降低时域分辨率

因此

STFT的时间分辨率和频率分辨率

不能同时任意提高

这种时域分辨率和频域分辨率

相互制约的性质

也正反映了已为理论所证明了的

不确定原理

式中

Δt表示信号有效持续时间

Δf表示信号的有效带宽

说明对于窗函数

它的时间宽度和频率域宽度不能同时任意小

也就是说

频域分辨率和时域分辨率不能同时任意小

但可以选择合适的窗函数

使Δt和Δf都比较小

其乘积接近于4π分之一

窗函数的形式有很多

可以证明从有效时宽和有效频宽乘积

为最小的意义上讲

高斯波形信号是最好的

但是它在时间轴和频率轴上是无限扩张的

因此它并不是一种最好的波形

我们知道

不可能存在既是带限又是时限的信号波形

实际应用中采用放松条件

研究在有限时宽的情况下

使频率有效带宽为最小的波形是什么

或者研究在有限带宽情况下

使时宽最小的波形是什么

好了

短时傅里叶变换的讲解到此结束

谢谢大家