6.4 小波变换在线视频

同学们 大家好

我是西安工程大学

电子信息学院的焦亚萌

我将为大家讲授

《现代数字信号处理》这门课程

今天我为大家讲

第六章时频信号分析线性变换的

第四讲 小波变换

通过前面的学习

我们知道短时傅里叶变换和Gabor变换

都属于加窗傅里叶变换

即都是以固定的滑动窗对信号进行分析

随着窗函数的滑动

可以表征信号的局域频率特性

很明显这种时域等宽的滑动窗处理

并不是对所有信号都合适

例如人工地震勘探信号

就有一个明显的特点

在信号的低频端具有很高的频率分辨率

而在高频端的频率分辨率可以较低

从时频不相容原理的角度看

这类信号的高频分量应具有高的时间分辨率

而低频分量的时间分辨率可以较低

实际上

不仅是人工地震勘探信号

许多自然信号语音图像等

也都具有类似的特性

容易联想到

对这类非平稳信号的线性时频分析

应该在时频平面不同位置具有不同的分辨率

是一种多分辨分析方法

目的是既要看到森林也就是信号的概貌

又要看到树木也就是信号的细节

因此它被称为数学显微镜

对于这个数学显微镜

我们分作四个部分讲解

第一 从短时傅里叶变换到小波变换

第二 连续小波变换

第三 连续小波变换的性质

第四 连续小波变换的离散化

接下来

我们先看从短时傅里叶变换到小波变换

我们知道

短时傅里叶变换通过

引入一个滑动的窗函数w(t)

然后对窗函数内的信号

与窗函数的乘积进行傅里叶变换

再让窗函数沿时间轴移动

就可得到信号频谱随时间变化的规律

具有了一定的时间分辨率

但是 它们还存在一些自身的问题

其中最主要的就是时间分辨率

与频率分辨率之间的矛盾

根据海森堡的测不准原理

我们不可能知道在任何一个时刻

存在何种频率分量

最多我们可以了解在某一个时间段上

存在的频谱分量

对于时间 我们可以准确地确定某一个时间点

但是频率则是另外的一个概念

它指的是在一个时间段内

某一个量的变化次数

这从频率的定义中就可以看得到

而小波变换是一个时间

和尺度上的局域变换

因而能有效地从信号中提取信息

通过伸缩和平移等运算功能

对函数或信号进行多尺度分析

从而解决傅里叶变换不能解决的许多问题

如图是在不同窗宽情况下

对分段正弦信号采用短时傅立叶变换

得到的结果

其中图d给出了对应不同参数a的窗函数

窗函数

a分别取为0.01 0.001和0.0001

图a到c分别为对应于a=0.01 0.001 0.0001

三种不同窗宽的短时傅立叶变换结果

通过对比我们可以看到

（1）当采用短的窗函数时

得到的结果具有较好的时间分辨率

而相应的频率分辨率则不高

（2）随着采取的窗函数长度的增加

窗函数的长度越长

则频率分辨率就会越高

而此时的时间分辨率则会相应地下降

下面我们学习连续小波变换

首先看定义

设x(t)是平方可积函数

则其小波变换为

式中

(a>0)被称为尺度因子

而t则反映小波函数在变换中的位移

可正可负

Ψ(t)是基小波或母小波函数

是基小波的位移与尺度伸缩

我们粗略打个比喻

小波变换的作用如图所示

用镜头观察目标也就是待分析信号x(t)

Ψ(t)代表镜头所起的作用

t相当于使镜头相对于目标平行移动

a的作用相当于镜头向目标推进或远离

这是一个很形象的数字显微镜

之所以命名为小波变换

主要是基于以下两方面的原因

一小波的小

是指它的基函数的支撑区域是有限的

波是指基函数是振荡的

母小波则是指所有在变换中用到的

窗函数都是由它推导而来

或者说母小波是其它窗函数的原型

二变换的概念与短时傅里叶变换是一样的

但是并不像在STFT中

得到关于信号的频率参数

而是得到尺度参数

它被定义为频率的倒数

这里需要说明以下几点

（1） 基小波Ψ(t)可能为复数信号

特别是解析信号

（2）尺度因子a的作用是将基小波Ψ(t)

作伸缩变换a越大

Ψ(a分之t)越宽

在不同的尺度因子下

小波的持续时间随a的加大而增宽

幅度则与根号下a成反比减小

但波的形状保持不变

在Ψat前面所加的因子

根号下a分之一的作用

是保证在不同的尺度因子下的

小波函数的能量保持一致

我们对小波变换和短时傅里叶变换

做一个比较

会看到两者之间的联系

连续小波变换是

短时傅里叶变换的一个发展

它的提出解决了分析的精度问题

两者具有类似的操作

都要与一个窗函数相乘

并且变换都是在时间域上分段进行的

小波变换与短时傅里叶变换的

不同之处在于

（1） 对于加窗后的信号并不是进行傅里叶变换

所以信号变换后的表现形式是不同的

（2） 窗函数的宽度在对每一个单独的

频谱计算时是变化的

这也是小波变换的一个最显著的特征

需要明确的是

在小波变换中的尺度

类似于地图中的比例尺

大的比例对应的是

一个对信号的全局的概略描述

而小的比例则对应于细节性的描述

在短时傅里叶变换中

不同的时刻和不同的频率上

都采用相同的分辨率

而小波变换则对不同的频率分量

采取不同的分析精度

如图给出了小波变换的分辨率特性的图解

由图示可知

在分析低频成分时采用长的时间窗

和短的频率窗

而分析高频成分时则采用短的时间窗

和长的频率窗

这里注意

小波变换中的变换轴和尺度轴

并不是对应于STFT中的时间轴和频率轴

它们只是在变换运算中的计算的样本

下面我们学习连续小波变换的性质

性质一 叠加性

如果x(t)的连续小波变换是WTx(at)

y(t)的连续小波变换是WTy(at)

则z(t)=k1x(t)+k2y(t)的连续小波变换

是k1WTx(at)+k2WTy(at)

性质二 时移性质

如果x(t)的连续小波变换是WTx(at)

则x(t-t0)的连续小波变换是WTx(at-t0)

也就是说

x(t)的时移-t0对应于小波变换的t移位t0

性质三 尺度变换

如果x(t)的连续小波变换是WTx(at)

则有x=λ分之t的连续小波变换是

也就是说当信号x(t)做某一倍数λ伸缩时

其小波变换将在a t两轴上作同一比例的伸缩

但是不发生失真变形

性质四 交叉项的性质

由于连续小波变换是线性变换

满足叠加性

因此不存在交叉项

但是由它引申出的能量分布函数

WTx(at)绝对值的平方有交叉项

出现在WTx1(at)和WTx2(at)

同时不为0的(a t)处

在使用小波变换重构信号时

需要对小波做离散化处理

接下来我们学习怎样对

连续小波变换进行离散化

与我们以前习惯的时间离散化不同

连续小波变换的离散化

是针对连续的尺度参数和连续的平移参数的

而不是针对时间变量的

首先我们来将尺度按幂级数进行离散化

取am=a0m这里m为整数

a0不等于1 一般取a0=2

如果采用对数坐标

则尺度的离散取值如图所示

然后位移离散化

当a等于2的0次方等于1时

通常对t进行均匀离散取值

以覆盖整个时间轴

要求采样间隔t满足奈圭斯特采样定理

即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍

当m增加1时尺度增加一倍

对应的频带减小一半

可见采样频率可以降低一半

即采样间隔可以增大一倍

因此 如果尺度m=0时t的间隔为Ts

则在尺度为2的m次幂时 间隔可取2m次幂Ts

此时离散小波Ψat(t)可表示为

那么任意函数的离散小波变换为

离散小波变换与连续小波变换不同

在尺度—位移平面上

它对应离散的点

而将小波变换的连续平面离散化

显然引出两个问题

（1）离散小波变换

是否完全表征函数x(t)的全部信息

或者说

能否从函数的离散小波变换系数

重建原函数x(t)

（2）是否任意函数x(t)都可以表示为

以Ψmn(t)为基本单元的加权和

如果可以系数Cmn如何求

这两个问题就作为思考题

希望同学们认真思考一下

好了

今天的课程到此结束

谢谢大家