7.1 时频分布的一般理论在线视频

前一章

我们已经讨论了短时傅里叶变换

小波变换和Gabor变换

三种线性的时频表示

它们使用时间和频率的联合函数

描述信号的频谱随时间的变化情况

这一节中

我们将从时频分布的一般理论入手

介绍各种时频分布的形式

数学性质以及如何改进它们的

时频聚集性能

本节课包括两部分内容

时频分布的定义和时频分布的性质

首先我们来看第一个部分

时频分布的定义

尽管短时傅里叶变换

小波变换和Gabor变换这些线性时频表示

能够有效描述非平稳信号的局域性能

但当使用时频表示时

描述非平稳信号的能量变化时

二次型的时频表示却是一类

更加直观和合理的信号表示方法

很多二次型时频表示

都可以粗略地表示能量

两个突出的例子是谱图和尺度图

谱图定义为短时傅里叶变换的模值的平方

而尺度图定义为小波变换的模值的平方

但是谱图和尺度图对能量分布的描述

是非常粗糙的

为了更加准确地描述非平稳信号

随时间变化的能量分布

有必要研究其他性能更好的

能量化的二次型时频表示

由于这类时频表示能够描述信号的

能量密度分布

常将它们统称为时频分布

对非平稳信号进行双线性变换时

为了体现信号的局部时频特性

应作类似于短时傅里叶变换中的滑窗处理

同时沿τ轴加权

得到时变相关函数

对u进行负无穷到正无穷的积分

式中

为窗函数

也称为局部相关函数

对局部相关函数作关于τ的傅里叶变换

可得到时变功率谱P(t,w)

也就是信号能量的时频分布

既然是非平稳信号能量分布的表示

时频分布就应该具备一些基本的性质

接下来我们看一下时频分布的性质

性质1

时频分布必须是实的

而且希望是非负的

性质2

时频分布关于时间t和w的积分

应给出信号的总能量

即2π分之一P(t,w)对t和w的

二重积分等于信号总能量

性质3 边缘特性

即时频分布关于时间t的积分

等于信号在频率w的谱密度

时频分布关于频率w的积分

等于信号在t时刻的瞬时功率

性质4

时频分布的一阶矩给出信号的

瞬时频率和群延迟

瞬时频率

对w进行负无穷到正无穷的积分

对w进行负无穷到正无穷的积分

群延迟

对t进行负无穷到正无穷的积分

对t进行负无穷到正无穷的积分

性质5

有限时间支撑和有限频率支撑

有限时间支撑是指当t的绝对值大于t0时

z(t)等于0

那么时频分布在t的绝对值

大于t0时的值为0

有限频率支撑是指当w的绝对值大于w0时

z(t)信号的频谱等于0

那么时频分布P(t,w)在w的绝对值

大于w0时的值也等于0

如果信号z(t)只在某个时间区间取非零值

并且信号的频率Z(w)

也只在某个频率区间取非零值

则称信号z(t)及其频谱是有限支撑的

此外

任何二次型时频分布均服从二次叠加原理

式中Pz(t,w) Pz1(t,w) Pz2(t,w)

分别代表信号z(t) z1(t) z2(t)的自时频分布

简称信号项或自项

Pz1z2 Pz2z1表示信号分量z1(t)和z2(t)的

互时频分布

简称交叉项

将二次叠加原理推广到p分量信号

z(t)等于ck倍的zk(t)

k在1到p上求和

那么z(t)的时频分布Pz(t,w)包含p个自项

其系数为ck模的平方

以及p(p-1)/2个两两组合的交叉项

其系数为ck乘以cl的共轭

因此信号分量越多

交叉项就越严重

在大多数的实际应用中

时频信号分析的主要目的是抽取出信号分量

并且抑制掉作为干扰存在的交叉项

因此 通常希望一种时频分布应该具有

尽可能强的信号项和尽可能弱的交叉项

可以说

交叉项抑制既是时频分布设计的重点

也是一个难点

这将贯穿以后各节的主要讨论话题

以上便是时频分布的一般理论

谢谢大家