运筹学

运筹学是近代应用数学的一个分支,主要是研究如何将生产、管理等事件中出现的优化问题加以提炼,然后利用数学方法进行解决的学科。运筹学利用像是统计学、数学模型和算法等方法,去寻找在一定条件下满足某种最优性质的解,常用于改善或优化现有系统的效率。本课程针对信息科学相关专业的本科教育定位和运筹学分支众多的学科特点,以数学规划为主要教学内容,重点突出线性规划、非线性规划、动态规划、图与网络分析的数学描述与求解方法。课程对培养学习者的优化问题数学建模能力、模型分析能力、模型求解能力具有重要意义。

开设学校:清华大学;学科:管理学、

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运筹学视频慕课课程简介:

运筹学是近代应用数学的一个分支,主要是研究如何将生产、管理等事件中出现的优化问题加以提炼,然后利用数学方法进行解决的学科。运筹学利用像是统计学、数学模型和算法等方法,去寻找在一定条件下满足某种最优性质的解,常用于改善或优化现有系统的效率。本课程针对信息科学相关专业的本科教育定位和运筹学分支众多的学科特点,以数学规划为主要教学内容,重点突出线性规划、非线性规划、动态规划、图与网络分析的数学描述与求解方法。课程对培养学习者的优化问题数学建模能力、模型分析能力、模型求解能力具有重要意义。

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1. 绪论

-课程主要内容1

-课程主要内容2

-课程学习方法1

-课程学习方法2

-课程学习方法3

-作业-绪论

2. 线性规划

-2.1 ⼀般模型和标准模型

--2.1.1 线性规划模型

--2.1.2 线性规划的标准模型

--作业-线性规划模型

-2.2 低维问题图解法及其向⾼维的推⼴

--2.2.1 低维问题的图解法1

--2.2.2 低维问题的图解法2

--2.2.3 从低维问题分析线性规划问题的最优解特点1

--2.2.4 从低维问题分析线性规划问题的最优解特点2

--作业-低维问题的图解法

--2.2.5 凸集

--2.2.6 凸集的顶点

--2.2.7高维问题顶点的等价表述1

--2.2.8高维问题顶点的等价表述2

--2.2.9推广到高维的重要概念与性质

--作业-高维问题及其性质

-2.3 单纯形算法

--2.3.1在顶点中搜索最优解的算法

--2.3.2计算选定进基变量的基本可行解

--2.3.3保可行性的最小非负比值原理

--2.3.4无非负比值的情况

--作业-单纯形算法1

--2.3.5选择进基变量改进目标函数1

--2.3.6选择进基变量改进目标函数2

--2.3.7单纯形表

--2.3.8最优性判据

--2.3.9单纯形算法的基本步骤

--作业-单纯形算法2

--2.3.10单纯形算法的收敛性

--2.3.11退化情况1

--2.3.12退化情况2

--2.3.13初始基本可行解的确定方法

--2.3.14基于逆矩阵迭代的单纯形算法

--作业-单纯形算法3

-2.4 对偶性与对偶算法

--2.4.1线性规划对偶问题概述

--2.4.2标准线性规划的对偶问题

--2.4.3一般形式线性规划的对偶问题

--2.4.4原问题与对偶问题的互补松弛性1

--2.4.5原问题与对偶问题的互补松弛性2

--作业-对偶性与对偶算法1

--2.4.6影子价格1

--2.4.7影子价格2

--2.4.8对偶单纯形法1

--2.4.9对偶单纯形法2

--2.4.10对偶单纯形法3

--2.4.11对偶单纯形法4

--作业-对偶性与对偶算法2

-2.5 灵敏度分析

--2.5.1灵敏度分析

--2.5.2参数线性规划

3. 整数线性规划

-3.1 整数线性规划的数学模型

--整数线性规划概述

--作业-整数规划概述

-3.2 割平⾯法

--3.2.1割平面法的基本原理

--3.2.2割平面的构造方法1

--3.2.3割平面的构造方法2

--3.2.4割平面方法例题1

--3.2.5割平面方法例题2

--作业-割平面法

-3.3 分枝定界法

--3.3.1分枝定界法1

--3.3.2分枝定界法2

--作业-分枝定界法

-3.4 0-1变量的作⽤

--3.4.1 0-1变量的作用1

--3.4.2 0-1变量的作用2

--作业-0-1变量的作用

4. 动态规划

-4.1 动态规划基本概念

--4.1.1动态规划基本概念

--4.1.2动态规划的无后效性

-4.2 最优性原理

--动态规划的最优性原理及计算量

-4.3 建模与求解

--4.3.1动态规划解非线性规划问题1

--4.3.2动态规划解非线性规划问题2

--4.3.3连续变量离散化求解

--4.3.4动态规划解整数规划问题

-4.4 典型应⽤问题

--如何满足动态规划的无后效性

-4.5 不定期动态规划问题

--4.5.1不定期问题

--4.5.2值迭代法

--4.5.3策略迭代法1

--4.5.4策略迭代法2

-作业-动态规划

5. ⾮线性规划

-5.1 基础知识

--5.1.1 非线性规划概述

--5.1.2 局部最优解与全局最优解

--5.1.3 梯度与海塞矩阵

--5.1.4 泰勒展开

--5.1.5 凸函数和凹函数

--5.1.6 多元凸函数的判别

--5.1.7 多元凸函数与一元凸函数的关系

--5.1.8 凸函数的一阶条件

--5.1.9 凸函数的二阶条件

--5.1.10 凸规划问题

--5.1.11求解非线性规划的基本方法

--作业-非线性规划基础知识

-5.2 ⼀维搜索

--5.2.1 一维精确搜索的性质

--5.2.2 精确搜索的基本途径

--5.2.3 0.618法

--5.2.4 Fibonacci法

--5.2.5 利用导数的精确搜索法

--5.2.6 非精确搜索

--作业-一维搜索

-5.3 ⽆约束优化

--5.3.1 无约束优化的最优性条件

--5.3.2 负梯度方法及其缺陷

--5.3.3 广义牛顿法

--5.3.4 牛顿法的缺陷

--5.3.5 最速下降方向

--5.3.6 共轭梯度方向1

--5.3.7 共轭梯度方向2

--5.3.8 共轭梯度方向3

--5.3.9 共轭梯度法计算示例

--5.3.10 共轭方向的线性无关性

--5.3.11 共轭方向与一维最优解的梯度的正交性1

--5.3.12 共轭方向与一维最优解的梯度的正交性2

--5.3.13 共轭方向二次函数有限终止性

--5.3.14 共轭方向的生成

--5.3.15 三种共轭梯度法

--5.3.16 几种算法的性能比较

--作业-无约束优化

-5.4 约束优化

--5.4.1 有约束优化问题最优性条件概述

--5.4.2 不等式约束的分类

--5.4.3 线性不等式约束下的KT条件

--5.4.4 线性等式约束处理方式1

--5.4.5 线性等式约束处理方式2

--5.4.6 线性等式约束处理方式3

--5.4.7 KKT定理

--5.4.8 转化为无约束问题的方法

--5.4.9 KKT定理的构造性证明1

--5.4.10 KKT定理的构造性证明2

--5.4.11 求KT解的一般性方法

--5.4.12 凸优化问题KT解的性质

--作业-约束优化

-5.5 简约梯度法

--简约梯度法

-5.6 拉格朗⽇对偶

--拉格朗日对偶

6. 图与⽹络分析

-6.1 基础知识

--6.1.1 图与网络分析的应用

--6.1.2 图与网络的基本概念1

--6.1.3 图与网络的基本概念2

--6.1.4 图与网络的矩阵描述

--作业-图与网络基础知识

-6.2 最⼩⽀撑树问题

--6.2.1 树的概念与特性

--6.2.2 支撑树与最小支撑树

--6.2.3 求最小支撑树的避圈算法

--6.2.4 求最小支撑树的Dijkstra算法1

--6.2.5 求最小支撑树的Dijkstra算法2

--作业-最小支撑树问题

-6.3 最短路问题

--不定期最短路问题的Dijkstra算法

--作业-最短路问题

-6.4 最⼤流问题

--6.4.1 最大流问题描述

--6.4.2 最大流问题的矩阵表示、割集容量定义

--6.4.3 可增广链求最大流

--6.4.4 最大流最小割定理

--6.4.5 求最大流的标号算法

--作业-最大流问题

-6.5 最⼩费⽤流问题

--6.5.1 最小费用流问题描述

--6.5.2 求最小费用流的启发式算法

--6.5.3 最小费用流问题的KKT条件1

--6.5.4 最小费用流问题的KKT条件2

--6.5.5 基于互补松弛定理求解最小费用流的一种途径

--6.5.6 满足互补松弛条件的可增广链

--6.5.7 保持互补松弛条件的增广方法

--6.5.8 示例寻求可用边和可增广链

--6.5.9 沿可增广链改进最小费用流

--6.5.10 寻求可增广链的最短路等效

--6.5.11 等价的最小费用流求解算法

--6.5.12 再看最小费用流启发式算法

--作业-最小费用流问题

-6.6 运输问题

--6.6.1 运输问题的特点

--6.6.2 用单纯形法求运输问题

--6.6.3 运输问题的基本可行解

--6.6.4 如何在图上确定基本可行解

--6.6.5 图的支撑树与基本可行解的关系

--6.6.6 产生基本可行解的最小元素法

--6.6.7 通过对偶变量计算检验数

--6.6.8 计算检验数的位势法

--6.6.9 更新支撑树改进基本可行解

--6.6.10 运输问题特殊情况处理办法

--作业-运输问题

-6.7 指派问题

--6.7.1 指派问题的特点

--6.7.2 运输问题算法求指派问题的缺点

--6.7.3 指派问题系数矩阵的性质

--6.7.4 指派问题求解算法设想

--6.7.5 在图上搜索最大独立零元素组

--6.7.6 二分图对集的相关性质

--6.7.7 求最大对集的标号法

--6.7.8 最大对集最小覆盖

--6.7.9 特殊指派问题处理方法

--作业-指派问题

运筹学开设学校:清华大学

运筹学授课教师:

王焕钢-副研究员-清华大学-

王焕钢,副研究员,博士,清华大学自动化系本科生《运筹学》课组负责人,长期从事运筹学教学与研究工作。先后获得2011年度清华大学青年教师教学优秀奖、2014年清华大学第六届青年教师教学大赛一等奖、2015年北京高校青年教师基本功比赛一等奖、最佳演示奖和最受学生欢迎奖、2016年度清华大学年度教学优秀奖、2020年清华大学疫情防控期间在线教学优秀教师奖等。运筹学课组教学改革与实践也先后获得2010年清华大学教学成果二等奖和2017年中国自动化学会高等教育教学成果二等奖。

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