根据停留时间分布分析流型在线视频

上一节课我们介绍了

停留时间分布的实验测定方法

一共有两种方法

第一个是脉冲式注入方法

第二是阶跃式注入方法

那么测出停留时间分布之后

我们要知道

如何根据停留时间分布分析流型

那么下面我们开始介绍

这个知识点

我们说停留时间分布密度

E(θ)曲线铺展的宽度

这里所谓宽度的定量量度

是物料的停留时间

对平均停留时间的离散度

就是方差

宽度是判断各种流型的

最直观的特征

对于活塞流E(θ)曲线是最窄的

显然在活塞流的情况下

方差最小

全混流E(θ)曲线最宽

而在全混流的情况下 方差最大

因此 把某一实际流动系统的

方差和理想流型的方差进行对比

就可以判断该实际流动系统

与理想流动有多大的偏差

倘若在某一特定的应用上

要求的是活塞流

则用方差这一指标

就可以直接判别反应器的流型

是否合适

在本书中采用了两个统计特征值

第一就是数学期望

对应我们本书就是平均停留时间

它是对原点的一次矩

第二个 统计特征值就是方差

是对均值的二次矩

那么方差这个概念

在处理统计中都给大家介绍过了

我们可以看 对于t的方差

由这个公式来表示

那么对于无因次时间的方差

有这个公式来表示

最后它俩的关系差一个τ2

我们现在来用理论推导出

全混流模型和活塞流模型的方差

我首先看全混流模型方差

我们假想用阶跃式的方法

注入示踪剂 设示踪剂浓度为C0

体积流量为Fv

出口示踪剂浓度为C

反应器体积为V

则由示踪剂的物质平衡 得到

C0Fvdt-CFvdt=VdC

然后经过变换得到

dC/C0-C=dt/τ

得到了这个式子之后

我们对方程两边进行积分

首先对C

这个是从0到C进行的积分

对于dt呢

我们是从0到t进行积分的

最后得到-ln(Co-C)=t/τ+A

那么我们把t=0 C=0

作为初始条件 代入

最后得到A这个值 得到了之后

我们可以得到

C/C0=1-exp(-t/τ)

那么大家也都知道

我们从前面的讲述知道

用阶跃式注入示踪剂

最后得到的C/C0就是等于F(t)

那么F(t)=C/C0=1-exp(-t/τ)

这个就是全混流的

停留时间分布函数

那么我又给它写成

F(θ)值的关系呢 它就等于

F(θ)=1-exp(-θ)

大家可以看E(θ)和F(θ)

之间的关系

我们知道F(θ)

它就是对E(θ)进行积分

得到的结果

那么我要想得到E(θ)

我就对F(θ)进行微分

一微分大家可以看到

E(θ)=exp(-θ)

那么好了

得到了停留时间分布密度函数

下面我们要推导出它的方差

那么方差由前面的定义式

已经给出来了 给出来之后呢

我们把这个e的-θ就给代进去

代进去

最后我们通过一系列的推导

我们就可以得到

对于全混流模型的方差

它就等于1

我们再看活塞流模型的

它的方差的推导

我们设想采用脉冲法加入示踪剂

设停留时间为τ

则活塞流的停留时间分布密度为

E(t)=δ(t-τ)

它等于0 t≠τ的时候等于0

t=τ的时候等于∞

t停留时间分布其实就是一个

阶梯函数

那么我们把这个E(θ)

也给代到我们所谓的

方差的公式里头去

那么大家可以看到

这个就是代入 代进去之后

通过数学推导

我们可以得到它的方差它等于0

这里头涉及极限问题

在此就略过了 有感兴趣的同学

在本章的附录里可以看到

具体的推导过程

那么方差的大小是返混程度的

一个度量

方差等于1

表示返混程度是最大的

方差等于0 表示无返混

那么返混这个概念是指

不同停留时间的流体之间的混合

这个在今后还会给大家介绍

在通常的实际流动系统

多数都属于非理想流动

其返混程度界于最大返混

和无返混之间

故其方差也必界于这两种

极限情况之间

这样 由方差的数值就可以判断

实际的流动系统

与理想流动的接近程度

下面我们回顾一下

根据停留时间分布

分析流型的内容

我们一共是介绍了全混流模型

和活塞流模型的方差的推导过程

那么大家可以看到

全混流模型它的方差

最后推导出来它就等于1

活塞流的方差推导出来

它就等于0

以上就是知识点三的全部内容