3.2 ARMA谱估计在线视频

同学们 大家好

我是西安工程大学电子信息学院的焦亚萌

我将为大家讲授

《现代数字信号处理》这门课程

今天我为大家讲第三章现代谱估计的

第二讲 ARMA谱估计

该部分的内容分作三个部分讲解

第一 引言

第二 模型选择

第三 ARMA谱估计

上次课我们介绍了

用参数模型来描述随机信号的方法

如果能确定信号x(n)的信号模型

根据信号观测数据求出模型参数

系统函数用H(z)表示

模型输入白噪声方差为σ方w

信号的功率谱用公式求出

按照这种求功率谱的思路

功率谱估计可分成三个步骤

第一步选择合适的信号模型

第二步根据x(n)有限观测数据

或者它的有限个自相关函数估计值

估计模型的参数

第三步计算模型输出功率谱

其中以（1）（2）两步最为关键

按照模型的不同

以及求解模型参数方法的不同

谱估计的方法有许多种

它们共同的特点是

对信号观测区以外的数据不假设为零

而先根据信号观测数据估计模型参数

按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱

回避了数据观测区以外的数据假设问题

实际上 这其中隐藏着数据的外推

如我们后面证明的AR模型

自相关函数外推的特性

在经典谱估计中

因为将数据观测区以外的未知数据假设为0

相当于数据加窗

或者自相关函数加窗

使功率谱估计模糊

分辨率降低

因此现代功率谱估计都比经典谱估计分辨率高

故现代谱估计也称为高分辨率谱估计

第二部分

模型的选择问题是谱估计的重要问题

如果选择得不合适或者说不准确

将直接影响谱估计分辨率以及谱的保真度

但是选择模型的依据只有信号的一些先验知识

下面介绍一些主要的考虑原则

第一主要考虑模型能够表示谱峰

谱谷和滚降的能力

对于具有尖峰的谱

应该选用具有极点的模型

如AR和ARMA模型

对于具有平坦的谱峰和深谷的信号

可以选用MA模型

既有极点也有零点的谱应选用ARMA模型

相对地说

ARMA模型适用范围较宽

对于滚降太快的谱

没有一种模型可以准确地表示功率谱

可以选用高阶的AR模型近似表示

如果选择不合适

例如

选用MA模型去估计具有尖峰的功率谱

估计效果会很差

这6副图表示的是用MA模型

估计二阶AR信号功率谱的例子

图(a)（b）（c）中的AR信号谱峰较平坦

用二阶MA模型功率谱拟和真实谱时

差别较大

随着阶数的提高

估计的谱愈来愈近似于真实的谱

但是对于（d）（e）（f）中AR信号谱峰很窄

再用MA信号模型拟和时

直到MA模型阶数提高到10阶

效果仍然很差

实际信号中一般都含有和信号不相关的噪声

对这一类带有噪声的信号

如果信号是AR模型

由于有噪声需要用ARMA模型

如果用AR模型则需要阶数更高

选择模型的第二个考虑是

尽量减少模型参数

当然这和选择模型是否合适有关系

前面介绍过三种信号模型

均有普遍应用价值

但模型选择合适

功率谱估计和实际的谱拟合得好

如果不合适

只有提高阶数才能得到较近似的谱

这样需要估计的参数增多

同样也会降低谱估计的质量

因此应该在选择模型合适的基础上

尽量减少模型的参数

下面看第三部分 ARMA谱估计

在这一部分我们分作五个小节

第一小节ARMA过程的功率谱密度

第二小节ARMA功率谱估计的两种线性方法

第三小节AR阶数确定的奇异值分解法

第四小节AR参数估计的总体最小二乘法

我们先看功率谱密度

ARMA过程全称为自回归-滑动平均过程

一个平稳ARMA过程的功率谱密度

具有广泛的代表性

比如任何有理式谱密度

以及在加性白噪声中观测的AR过程

具有线谱的正弦波过程

都可以用ARMA谱密度来表示

由于其广泛的代表性和实用性

ARMA谱分析已成为现代谱分析中

最重要的方法之一

离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程

其中{e(n)}为离散白噪声

则称{x(n)}为ARMA过程

这个差分方程我们可以写为

其中p是AR阶数 ai是AR参数

q是MA阶数 bj是MA参数

进一步变化为

其中

我们引入后向移位算子

差分方程就变化为

其中

则ARMA过程的功率谱密度为

ARMA谱估计的目的是

使用N个已知的观测数据

计算出ARMA过程的功率谱估计值

有两种线性方法可以估计

ARMA过程的功率密度

我们先来看Cadzow谱估计子

把ARMA功率谱密度分解为两部分之和

为了满足这个公式

应该使

又因为用协方差函数的离散傅里叶级数

表示的功率谱密度也可以做类似的分解

那么

我们把这两个公式做一个变形

然后比较它们的系数就可以知道

所以

Cadzow谱估计子的关键是

确定AR阶数p和估计AR参数ai

下面我们来看Kaveh谱估计子

把ARMA功率谱密度改写为

为了保证第二个等号成立

系数cj与MA参数之间应该满足

因此cj具有对称性

也就是说cj=c-j

将协方差函数的傅里叶变换

带入功率谱密度公式

可知

由此可以得到ck的计算公式

进一步得到Kaveh谱估计子

接下来我们学习AR阶数确定的奇异值分解法

确定一个ARMA模型阶数的方法可以分成两类

信息量准则法和线性代数法

我们重点介绍信息量准则法

令A是一个m乘n的矩阵

则A可以分解为

式中U和V分别为m乘m和n乘n的酉矩阵

我们知道主奇异值是p个大的奇异值

也就是p个信号分量的能量

次奇异值是其它小奇异值

也就是扰动或误差的能量

对于信息量准则法

我们介绍最著名的最终预报误差法

FPE和AIC准则法

式中

σ方wp是线性预测误差的方差

这里选择最小的（p q）作为ARMA模型的阶数

在AIC准则里

使得信息量

N是数据长度

这里AIC准则是统计非一致估计

还有一种改进形式BIC

使得信息量最小

接下来我们学习AR参数估计的

总体最小二乘法

一旦AR阶数p确定

如何求出p个AR参数的估计值呢

对于Ax=b

我们同时考虑A和b二者的误差和扰动

那么求解Ax=b就变为了

求解矩阵方程（A+E）x=b+e的最小二乘解

式中第二项即为扰动矩阵

这样总体最小二乘法就变为了

求解使得扰动矩阵的F范数最小的向量z

也就是使得扰动矩阵元素绝对值的平方和

再开方最小的向量z

好了 今天的讲解到此结束

谢谢大家