4.3 Kalman滤波在线视频

我们上节课分析了

期望响应存在情况下的线性最优滤波器

得到了维纳滤波器

那么一个自然会问的一个问题是

若期望响应未知

又如何进行线性最优滤波呢

本节从状态空间模型出发

回答这个问题

基于状态空间模型的线性最优滤波器

是Kalman提出的

称为Kalman滤波器

本节课包括三部分内容

卡尔曼滤波的状态方程和观测方程

卡尔曼滤波的基本思想

以及卡尔曼滤波的递推算法

首先我们来看第一个部分

卡尔曼滤波的状态方程和观测方程

考虑一 离散时间的动态系统

它由描述状态向量的过程方程

和描述观测向量的观测方程共同表示

过程方程也称状态方程

它由

来表示

其中M×1向量的xk它表示

系统在离散时间k的状态向量

是不可观测的

M×M矩阵Ak+1称为状态转移矩阵

它描述动态系统在时间k的状态

到k+1的状态之间的转移

M×1向量ωk为过程噪声向量

它描述状态转移中间的加性噪声或误差

观测方程由

来表示

其中

N×M矩阵Ck称为观测矩阵

它描述状态经过其作用变成可观测的

vk表示观测噪声向量

其维数与观测向量的相同

yk代表动态系统在时间k的N×1观测向量

接下来

我们了解一下卡尔曼滤波的基本思想

卡尔曼滤波的基本思想是

先不考虑过程噪声ωk

和观测噪声vk的影响

得到状态变量和观测数据的估计值

再用输出向量的估计误差加权后

校正状态变量的估计值

使状态变量估计误差的均方值最小

接着

我们基于卡尔曼滤波的基本思想

讨论一下卡尔曼滤波的递推算法

为分析方便

通常假定过程噪声ωk和观测噪声vk

均为零均值的正态白噪声

方差分别是Qk和Rk

并且初始状态与ωk,vk都不相关

γ表示相关系数

用数学式子进行如下表示

根据卡尔曼滤波的基本思想

当不考虑观测噪声和输入信号时

状态方程为

那么量测方程为

那么输出信号的估计值与实际值之间的误差

为了提高状态估计的质量

用输出信号的估计误差来校正状态变量

其中Hk为增益矩阵

根据yk以及yk的公式

可以得到

那么校正后状态变量的估计误差

代入到xk与xk的公式

并整理得到

该式子包括三部分

我们可以分别定义为a b c

校正后状态变量的估计误差均方值PK

我们定义为

把它带入到公式

得到与abc相关的公式

然后根据xk-1与x0 ω0 ω1等等

一直到ωk-2 ωk-1之间的不相关性

以及xk-1与vk的不相关性

我们可以得到Pk等于

统计平均

那么对它进行整理得到

那么未经校正的状态变量的估计误差均方值

并整理可以得到

然后我们会得到

就得到PK如下的表达式

那么根据Pk的表达式

使Pk最小的Hk应满足

也就是说卡尔曼滤波的最优增益矩阵为

那么综上所述

卡尔曼滤波算法进行如下

初始条件

已知参数

状态转移矩阵Ak

观测矩阵Ck

过程噪声的相关矩阵Qk

以及观测噪声的相关矩阵Rk

观测向量yk

k-1时刻的状态变量Xk-1

k-1时刻校正后状态变量的

估计误差均方值Pk-1

根据递推公式可得到

k时刻校正后状态变量的估计误差均方值Pk

以及k时刻的状态变量xk

以上是卡尔曼滤波的全部内容

谢谢大家