6.1 信号的局部变换在线视频

同学们 大家好

我是西安工程大学

电子信息学院的焦亚萌

我将为大家讲授

《现代数字信号处理》这门课程

今天我为大家讲第六章

时频信号分析线性变换的第一讲

信号的局部变换

在前面的讲解中

信号的分析要么在时域要么在频域展开

它们构成了信号的时域分析

或频域分析方法

频谱能量谱以及功率谱

都是信号变换到频域的一种表示方法

使用的主要数学工具是傅里叶变换

这里ω是一个连续变量

限制了用计算机在频域进行分析与处理

而离散傅里叶变换(DFT)将频域离散化

使之借助计算机可以在时域

也可在频域对信号进行分析与处理

由于傅里叶变换物理概念清晰

同时也是正交变换

因此长期以来科技界及各工程领域

广泛使用傅里叶变换和离散傅里叶变换

信号的频谱X(ejω)表示了

信号在频域的分布规律

也可以用能量谱

它仅包含信号的幅度信息

但对于能量无限信号

如周期信号 平稳随机信号等

傅里叶变换不存在

可以用功率谱p(ejω)来表示

式中rxx(m)是x(n)的自相关函数

频谱 能量谱以及功率谱分析法适用于

对频谱不随时间变化的确定性信号

以及平稳随机信号

然而在实际中信号却往往有

某个统计量是时间的函数

这类信号统称为非平稳信号

比如当飞机做机动飞行时

雷达的观测信号就是非平稳信号

例如语音信号 它具有很强的时变性

在一段时间内呈现出周期性信号的特点

而在另一段时间内呈现出随机信号的特点

或者呈现出两者混合的特性

又例如通过时变频道传输的信号等

它们都是一种非平稳随机信号

虽然卡尔曼滤波RLS算法等自适应滤波

也适合非平稳信号

但只限于慢时变信号的跟踪

并不能得到一般时变信号的功率谱

也就是说这些信号处理方法

不能满足非平稳信号的特殊要求

这是因为傅里叶变换的时间变换域为

负无穷到正无穷

频域变换域为 (-π π)

考虑到时域离散信号的傅里叶变换

以2π为周期

因此频域变换域也是包含了所有的频率

这样

信号的任意时刻变化都反映到频率域的变化

反过来只能从整个频率域

表示获得信号的时域表示

或者说傅里叶变换是一种信号的全局变换

要么完全在时域

要么完全在频域进行分析处理

无法给出信号的频谱如何随时间的变化规律

我们很容易想到一点

既然非平稳信号的统计特性

是随时间变化的

那么对非平稳信号的主要兴趣

也就很自然地在其局部统计性能上

而信号局部性能的分析必须依靠信号的局部变换

另外

信号的局部性能需要使用时域和频域的

二维联合表示才能得到精确的描述

这种方法使用时间和频率和联合分析方法

形成了一个二维域 (nω)

在该二维域中能够表示信号能量

随时间变化的规律

因此也称为时频信号分析

那么问题来了

怎样建立时域和二维域之间的变换关系呢

由于任何一种信号变换

都可以写成该信号

与某个选定的核函数之间的内积

因此我们很容易联想到信号局部变换

可以利用两种基本形式来构造

第一种信号取局部核函数取全局

第二种信号取全局核函数取局部

一般将时频分析法分为

非线性和线性两种

典型的线性分析方法有

短时傅立叶变换

Gabor变换和小波变换

Wigner-Ville分布和Cohen类时频分布

是二次型变换

属于非线性变换

我们先来看短时傅里叶变换

式中w(n)是一个窗函数

它的作用是取出x(n)在n时刻附近的

一小段信号进行傅里叶变换

当n变化时窗函数随n移动

从而得到信号频谱随时间n变化的规律

此时的傅里叶变换是一个二维域(nω)的函数

信号的时频分析用得最多的

就是短时傅里叶变换

这种变换的基本思想

是用一个窗函数乘时间信号

该窗函数的时宽足够窄

使取出的信号可以被看成是平稳的

可以看成不随时间变化

然后进行的傅里叶变换可以反映

该时宽中的频谱变化规律

如果让窗函数沿时间轴移动

就可以得到信号频谱随时间变化的规律

接下来是Gabor变换

对于短时傅里叶变换

如果取高斯函数作为窗函数

短时傅里叶变换就转化为了Gabor变换

最后是小波变换WTx(a t)

等于

也等于

式中a>0被称为尺度因子

而t则反映小波函数在变换中的位移

值可正可负

如果采用短时傅里叶变换

当窗函数短的时候

得到的结果具有较好的时间分辨率

而相应的频率分辨率则不高

随着采取的窗函数长度的增加

窗函数的长度越长

则频率分辨率就会越高

而此时的时间分辨率则会相应地下降

与短时傅里叶变换不同的是

采用小波分析可以在高频分量的部分

采用高的时间分辨率和低的频率分辨率

而对低频分量则采用高的频率分辨率

和低的时间分辨率

这样的处理方法对于

含有短持续时间的高频分量

和长持续时间的低频分量的

信号分析就更有意义

显然

我们可以看出短时傅里叶变换属于求

取信号的局部

核函数无穷长的内积

这种形式的局部变换

而小波变换和Gabor变换属于

取信号的全部核函数局域化的内积

这种形式的局部变换

好了

今天的讲解到此结束

谢谢大家