4.2 维纳滤波器在线视频

上节课我们介绍了一种最优滤波器

匹配滤波器的原理

这节课我们讨论

另外一种常用的最优滤波器

Wiener滤波器

本节课包括两部分内容

维纳滤波器的设计原理

和维纳滤波器的求解

首先我们来看第一个部分

维纳滤波器的设计原理

我们待设计的滤波器的结构图

如图所示

假设我们接收或观测信号为

x(n）=d(n）+v(n）

式中d(n）为期望信号

v(n）为噪声

令h(n）是滤波器的时不变冲激响应函数

H(w）为滤波器的传递函数

维纳滤波器的设计准则是

使输出滤波器的均方估计误差为最小

即最小均方误差准则

那么设计维纳滤波器的任务

实际上就是选择h(n）

使其输出信号y(n）

与期望信号d(n）

误差的均方值为最小

假设滤波系统h(n）

是一个线性时不变系统

它的单位脉冲响应和输入信号都是复函数

设定h(n）= a(n） + jb(n）

则滤波器的输出y(n）

等于x(n）与h(n）的卷积

误差信号e(n）=d(n） - y(n）

进而得到均方误差J(n）

等于误差信号的模的平方的均值

等于d(n）-y(n）的模的平方的均值

等于d(n）与h(m）乘以x(n-m）

m从0到正无穷上求和的

差值的模的平方的均值

以上是维纳滤波器的设计原理

接下来我们分析一下维纳滤波器的求解

要使均方误差为最小

须满足均方误差对h的偏导为0

根据偏导的性质

需满足均方误差对a的偏导

减去j乘以对b的偏导为0

也就是以下式子为0

根据误差信号的公式可得误差信号

和其转置分别对a和b求偏导的公式

所以有均方误差对hj的偏导

等于负的2倍的E的x(n-j）

乘以e(n）的共轭等于0

因此

E的x(n-j）乘以e(n）的共轭等于0

j等于0,1,2等等

也就是说

均方误差达到最小值的充要条件

是误差信号与任一进入估计的输入信号正交

这就是通常所说的正交性原理

另一方面

输出信号与误差信号的互相关函数E的y(n）

乘e(n）的共轭等于E的h(j）

乘x(n-j）乘e(n）的共轭

在j从0到正无穷进行求和

就等于h(j）乘E的x(n-j）乘e(n）的共轭

在j从0到正无穷进行求和

假定滤波器工作于最佳状态

滤波器的输出yopt(n）

与期望信号d(n）的误差为eopt(n）

此时E的yopt(n）乘以eopt(n）的共轭等于0

该式表明

当滤波器工作在最优条件时

由滤波器输出定义的期望响应的估计yopt(n）

与相应的估计误差eopt(n）

彼此正交

这一结果称为正交性原理的引理

将E的x(n-j）乘以e(n）的共轭等于0

j等于0,1,2等等这个式子进行展开

得到E的x(n-k）乘以d(n）的共轭

减去h(m）的共轭乘以x(n-m）

的共轭对m从0到正无穷加和等于0

进一步展开可以得到

rdx(-k）等于h(m）的共轭

乘以x的自相关函数m-k

对m从0到正无穷加和

对上面这个式子两边取共轭

利用相关函数的性质ryx(-k）

等于rxy(k）的共轭得到rxd(k）

等于h(m）乘以x的自相关函数k-m

对m从0到正无穷加和

也就等于h(k）

与x的自相关函数的卷积

这就是著名的Wiener-Hopf方程

原则上

若滤波器输入的自相关函数

以及输入与期望响应之间的

互相关函数rxd可以估计

则求解维纳霍夫方程

即可获得最优滤波器的系数

从而完成最优滤波器的设计

然而

对于无限长单位脉冲响应滤波器而言

求解维纳霍夫方程是不可现实的

因为需要求解无穷多个方程

如果滤波器的冲激响应系数

只有有限个

那么滤波器设计将大大简化

当h(n）是一个长度为M的

因果序列(即h(n）是一个长度为M的

有限长单位脉冲响应滤波器时

维纳-霍夫方程表述为

rxd(k）等于h(m）乘以x的自相关函数

k-m对m从0到M-1上进行加和

也就等于h(k）与x的自相关函数的卷积

对其进行展开可以得到

当k=0时

h1乘以rxx0加h2乘以rxx1加等等等

加hM乘以rxxM-1等于rxd0

当k=1时

h1乘以rxx1加h2乘以rxx0加等等等

加hM乘以rxxM-2等于rxd1

以此类推

当k=M-1时

h1乘以rxxM-11加h2乘以rxxM-2加等等等

加hM乘以rxx0等于rxdM-1

这时我们定义向量h是由h1 h2

一直到hM组成的向量

向量Rxd是由rxd0 rxd1

一直到rxdM-1组成的向量

矩阵Rxx是由rxx0到rxxM-1组成的矩阵

那么维纳-霍夫方程可用矩阵形式表示为

向量Rxd等于矩阵Rxx乘以向量h

则维纳滤波器的冲激响应

等于矩阵Rxx的逆乘以向量Rxd

因此

维纳滤波器最优冲激响应的计算

需已知以下统计量

第一 输入向量x(n）的自相关矩阵Rxx

输入向量x(n）与期望响应d(n）

的互相关向量Rxd

以上便是维纳滤波器的全部内容

谢谢大家