6.3 Gabor变换在线视频

同学们 大家好

我是西安工程大学

电子信息学院的焦亚萌

我将为大家讲授

《现代数字信号处理》这门课程

今天我为大家讲第六章

时频信号分析线性变换的

第三讲Gabor变换

通过前面的学习

我们知道使用级数或函数的展开形式

是一种重要的信号处理手段

根据基函数是否正交

级数展开分为正交级数展开

和非正交级数展开

傅里叶分析中的傅里叶级数

就是一种典型的正交级数展开

在本讲

我们介绍信号的一种非正交展开

Gabor展开

它是Gabor于1946年提出的

Gabor展开系数的积分表示公式称作Gabor变换

现在Gabor展开和Gabor变换已被公认

是通信和信号处理中信号表示

尤其是图像表示的最好方法之一

通常应用的领域有指纹识别

虹膜识别 人脸识别等

本讲我们通过两个部分讲解

第一连续Gabor变换

第二离散化Gabor变换

在介绍Gabor变换之前

先来了解一下什么叫Gabor级数展开

令Φ(t)是我们感兴趣的一维信号

Gabor提出可以用二维的时频平面上

离散栅格处的点来表示这个一维信号

那么它的Gabor级数展开为

式中

系数amn称为Gabor展开系数

gmn(t)称为Gabor基函数等于

其中T为时间采样间隔

F为频率采样间隔

由于Gabor基函数gmn(t)只是

由窗函数g (t)的平移和调制

这两种基本运算构造的

如图所示

所以若g (t)是非正交的函数

那么Gabor基函数gmn(t)也是非正交的

因此

Gabor展开是一种非正交的技术展开

在数学上

函数的非正交级数展开称为原子展开

而在物理中

非正交展开则是

相对于相干态离散集合的级数展开

这就是Gabor基函数

也称为Gabor原子的原因

对于这个公式我们自然会提出下面的几个问题

1.如何选择T和F

2.如何选择基函数gmn(t)

3.选定了gmn(t)及T和F

如何计算展开系数amn

4.是否任一能量有限信号都可作Gabor展开

5.时频平面离散栅格上的任一个二维函数amn

是否都唯一地对应一个一维信号Φ(t)

这里需要注意

最初Gabor在提出这个变换的时候

曾假设了两个条件

1.时间采样间隔T和频率采样间隔F

满足关系TF=1

2.窗函数g(t)是高斯函数

事实上

现在的Gabor展开已经

不再受这两个条件的限制

满足TF=1条件的采样称为临界采样

与之对应的Gabor展开

称为临界采样Gabor展开

此外还存在另外两种Gabor展开

1.欠采样Gabor展开 TF大于1

2.过采样Gabor展开 TF小于1

因为欠采样Gabor展开

会导致数值上的不稳定

所以不具有实际意义

Gabor变换不存在

我们只讨论临界采样和过采样情况下的

Gabor展开和Gabor变换

对于临界采样Gabor展开

Gabor变换公式为等于

其中rmn(t)等于辅助函数r(t)的

时间平移r(t-mT)和频率调制形式

这个公式表明

当信号Φ(t)和r(t)给定时

Gabor展开系数amn可以利用Gabor变换求出

所以对信号Φ(t)做Gabor展开时

需要解决的两个重要问题

1.选择窗函数g(t)以便构造Gabor基函数gmn(t)

2.选择辅助函数r(t)

计算Gabor变换 得到Gabor展开系数amn

显然

展开的关键就是窗函数g(t)

和辅助函数r(t)的选择

写出完全重构条件

这个公式称为正交公式

重要但使用不方便

用得更多的是g(t)和r(t)的关系式

这一关系称为窗函数g(t)

和辅助函数r(t)之间的双正交关系

所谓正交

就是只要m n中有一个不为零

r(t)就与g(t)正交

因此常称辅助函数r(t)是

窗函数g(t)的双正交函数

有意思的是

g(t)和r(t)互换之后

双正交关系仍然成立

也就是说r(t)是g(t)的对偶函数

综上

在选择了合适的Gabor基函数g(t)之后

确定Gabor展开系数的解析法可分为两步

第一步 求解双正交方程得到辅助函数r(t)

第二步 计算Gabor变换得到Gabor展开系数amn

对于过采样Gabor展开

和临界采样情况的主要不同

体现在Gabor基函数g(t)

与对偶函数r(t)之间的关系需要修正

将临界采样的完全重构公式修正为

称为似正交公式

临界采样的双正交公式修正为

称为似双正交公式

需要指出的是

临界采样Gabor展开和Gabor变换不含冗余

满足完全重构条件的对偶函数r(t)

是唯一确定的

而过采样Gabor展开和Gabor变换会带来冗余

这是因为对于一个给定的g(t)

满足完全重构条件的对偶函数r(t)

具有多个可能的解

在数字信号处理中

我们很自然需要将连续Gabor展开和Gabor变换

推广到离散时间和离散频率的情况

接下来

我们讲解本讲的第二部分内容离散Gabor变换

我们知道

对时间变量的采样会导致频域的周期性

而对频率变量的采样又会导致时域的周期性

由于需要同时对时间和频率二者离散化

所以离散Gabor变换只适用于

离散时间的周期信号

则离散Gabor展开定义为

其中Φ(k)表示离散时间的周期信号

周期信号的离散Gabor展开系数

和窗函数分别用amn和g(k)表示

令离散时间的周期信号Φ（k）的周期为L

也就是

其中Gabor展开系数由离散Gabor变换确定

式中

ΔM和ΔN分别表示时间和频率采样间隔

M和N分别是时间和频率采样的样本个数

过采样率定义为

a=ΔMΔN分之L

这里要求MΔM=NΔN=L

所以过采样率公式可以写为

a=L分之MN

当a=1时离散Gabor变换是临界采样的

此时Gabor展开系数的个数MN

与样本个数L相等

若a大于1则离散Gabor变换是过采样的

Gabor展开系数个数多于信号样本个数

Gabor展开含有冗余

下面分别介绍临界采样

和过采样的离散Gabor展开与Gabor变换

在临界采样情况下 L等于M乘以N

离散Gabor展开与Gabor变换分别为

在过采样情况下

L小于M乘以N

可将离散时间的周期函数Φ（k）的

周期L分解为

其中

都是正整数

并且

在这一分解条件下

周期信号的Gabor展开为

离散Gabor变换为

需要指出的是

在许多应用中

Gabor展开系数可以作为信号的特征

这类应用只用到Gabor变换

无须对信号进行Gabor展开

在这些情况下

就只需要选择一个基本窗函数

没有必要确定对偶函数

好了

今天的课程到此结束

谢谢大家