汽车的油耗在线视频

同学们好

下面我们通过一个案例

来讨论一下一个实际问题

怎么从实际中提取出来

这问题背景是这样子的

我们想去了解

油料开支是怎样因车速而变化的

我们觉得

低速率或者是低速排档的时候

汽车的转换能量的效率

要相对低一点

而高速的时候

作用在汽车上的阻力会迅速增加

于是我们就会存在这样的一种期望

是不是存在一个或者多个速率下面

汽车以这样的一些速率行驶的时候

会存在一个最优的燃油的里程

每个车主都想去了解

汽车的速度和它的燃油里程之间的关系

对于这样一个问题

首先我们就要来考虑

燃油里程的影响因素有哪一些

首先它是存在推动汽车前进的动力

这些动力主要取决于

燃油的燃烧所提供的功率

发动机转换功率的效率

齿轮比

空气的温度

以及包括车速在内的其他因素

其次还要考虑阻碍汽车前进的阻力

阻力包括依赖于汽车重量的

摩擦效应

轮胎的类型

它的状况

以及路面的情况

都会有影响

空气阻力它是另外一种阻力

它依赖于车的速度

车辆的表面积以及形状

风速、空气的密度

这些都会对空气阻力有重要影响

影响燃油里程的另外一个因素

就是我们的司机的习惯

是以常速行驶还是习惯性的加速

路面是平坦的还是崎岖的

这些都会影响到燃油里程

因此燃油里程可以总结为

上面这样的函数关系

通过这些关系我们可以很清楚的看到

如果要考虑汽车的车型

司机的习惯

以及道路状况所有的因素

都考虑进去

那么原问题就很难回答

很琐碎

如果我们全部考虑进去

来研究这样一个问题

会心有余而力不足

所以我们对这个问题需要限制

对一个特定的司机来说

某一天他驾驶着自己的汽车

在平坦的高速公路上

为了节省燃油

在最优的速率附近

以不变的速率行驶着

这样一个情景

就可以解释为

速度在微小的变化下面

燃油的开支的变化

在这样的一个限制下面

我们可以认为

空气的温度、空气的密度

公路的状况等等这些外部条件

都是不变的

因为我们已经规定了

司机正在驾驶着的车

确定了轮胎的状况

车的形状和表面

以及燃油的类型

通过限制高速公路的行驶速度

是在最优的速率附近

得到的发动机效率不变

以及在车速变化小的时候

齿轮比不变的简化假设

在这样的假设和限制下面

原问题的建模过程

变得更简单、更容易处理

因为汽车是以常速(恒速)行驶的

所以加速度为零

于是根据牛顿第二定律

合力为0

或者说推动力与阻力相等

首先我们来考虑前进的动力Fp

每升汽油包含一定的能量

例如把它记为K

如果Cr表示单位时间燃烧掉的燃油的量

那么CrK就表达了这辆车可以利用的功率

假设功率转换率是不变的

由此得到转换后的功率与这个CrK

是成正比的

因为对于常理而言

功率等于力与速度的乘积

因此有这样的比例关系

Fp与CrK除以v成正比关系

通过进一步的假设

燃油转换能量的比率是不变的

也就是K不变

那么这个关系就可简化为

Fp正比于Cr除以v

现在来考虑阻力

因为我们把问题限制为

高速公路上的速率

与空气阻力相比

假设摩擦力很小

显然是合理的

在高速公路的速率下面

这些阻力是一个很有意义的子模型

Fr与Sv平方成正比

其中这个S

是垂直于汽车的运动方向的

汽车横截面的面积

因为我们现实问题中

S是一个常数

由此我们可以得到简化模型

Fr与v平方成正比

运用前面的条件

Fp等于Fr以及比例性

我们就可以得出

这就给出来了燃油消耗率

应该与速度的立方增加的定量信息

但是燃油消耗率

并不能够很好的反应燃油的效率

尽管前面的式子说明了

汽车高速行驶的时候

单位时间烧掉了更多的燃油

但是汽车也开得更快了

我们把燃油里程定义为

距离除以油耗

把距离vt和油耗Crt代入式子

我们就能得到燃油里程

因此汽车里程和速度的平方成反比

这个模型能够帮助我们解释

汽车的油耗的某种有用的定量信息

尽管我们前面得到的这个量化关系

给我们很深刻的印象

但它只是在限定的速度范围内才是有效的

有赖于比例常数的大小

在那个限定范围里面

这个比例关系才是几乎为线性的

不要忘记了我们前面

还忽略了很多因素

而且假设里面有很多重要因素

都是设定为不变的常数

因此我们模型的用途只能限制在

限定的速度范围内才有定性的解释意义

但从另外一个方面来看

这个例子刚好也告诉我们

要怎样去识别具体的问题

所以同学们也要在日常生活中

处处留意数学建模的应用