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【剪力与弯矩】

当梁在外力的作用线产生弯曲变形的时候，其横截面上的内力又是如何呢？我们依旧可以运用截面法可以求出梁任意横截面上的内力，如下例。

图3-50所示为一受集中力P₁、P₂、P₃作用的简支梁。为了求出距Ａ端x处的横截面m-m上的内力，就必须先按静力学中的平衡方程求出梁的支座反力R_A和R_B，然后按截面法计算任意截面上内力的求解步骤计算如下：

（1）截：用一个假想平面将梁沿横截面m-m截开，并分为两段。

（2）取：取梁的左段为研究对象。

（3）代：由于左段梁上有外力作用，并使左段梁产生了沿横截面m-m向上错动的运动趋势，同时还产生了绕截面形心顺时针转动的运动趋势。因此，要使左段梁保持平衡，则在m-m截面上必有一向下的内力Q和位于梁纵向对称面内的、逆时针转向的内力偶M。

   （4）平：根据左段梁的平衡条件列平衡方程，即可求出内力Q和内力偶M的大小。

同样，以右段梁为研究对象，亦可求得m-m截面上的内力Q′和内力偶M′，分别与Q和M大小相等、方向相反。

由于内力Q在横截面内且与横截面相切，说明此力对梁有剪切作用，故称之为该截面上的剪力；截面上内力偶M的存在，说明此力偶对梁有弯曲作用，故称之为该截面上的弯矩。

所以，杆件发生弯曲变形时，横截面上的内力分量存在两个：剪力（用Q表示）、弯矩（用M表示）。对照图3-7可知，此例中各力均处于xOy面内，所以y轴为纵向对称轴，所有力和变形都在xOy面内。剪力Q就是沿y轴方向的内力分量R_y，弯矩M则是绕z轴之矩M_z。此时，其他各内力分量均为零。

由于外力情况不同，剪力和弯矩各有两种可能的方向。故对剪力和弯矩的正负作如下规定：

剪力的正负规定为：使该截面的临近微段有顺时针转动趋势时剪力取正号，反之取负号，如图3-51所示。

弯矩的正负规定为：使梁弯曲成下凸上凹形状时，弯矩为正，反之为负，如图3-52所示。

这样规定剪力和弯矩的正负后，使得无论取截面的那一侧为研究对象，所得的内力都是相同。

再次观察此例求解全过程不难发现，在计算剪力的等式Q = R_A - P₁中，可以看成R_A - P₁ = R_A+（-P₁），即剪力Q在数值上等于截面左侧外力的代数和，如图3-50（b）所示。

在计算弯矩的等式M=R_Ax-P₁（x-a）中，可以看成M=R_Ax+[-P₁（x-a）]，其中R_Ax是外力R_A对截面形心的力矩，而P₁（x-a）则是外力P₁对截面形心的力矩。所以，弯矩M在数值上等于截面左侧所有外力对截面形心的力矩的代数和，如图3-50（b）所示。

若以梁截面m-m的右侧部分为研究对象，按同样的分析方法亦可得出类似的结论,如图3-50（c）所示。这样，在计算任意截面上的剪力和弯矩时，就不必再列出平衡方程，而把上述结论作为计算剪力和弯矩的规律。即：

梁内任一截面上的剪力，等于截面任一侧（左或右）梁上外力的代数和；梁内任一截面上的弯矩，等于截面任一侧（左或右）梁上外力对该截面形心的力矩的代数和。

当应用外力和外力矩的代数和来计算剪力和弯矩时，外力正、负号的确定应遵循下述规则：

计算剪力时，截面左侧向上的外力、右侧向下的外力取正号；截面左侧向下的外力、右侧向上的外力取负号。

计算弯矩时，无论截面左侧或右侧，向上的外力取正号，向下的外力取负号。

这个规则也可归纳为一个简单的口诀：“计算剪力——外力左上右下为正；计算弯矩——外力向上为正。”

利用上述规律和正、负号规则来计算截面上的剪力和弯矩，要比通常用的截面法简便得多。所以，在以后的计算中，可以直接利用上述规律和规则计算指定截面上的剪力和弯矩。

【剪力图与弯矩图】

    （1）剪力图和弯矩图的常规画法

剪力图的弯矩图的常规画法与轴力图的画法大致相同。其基本思路也是运用截面法求出各个截面上的内力，然后描点绘图。但是，由于梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的变化规律比前两者更为复杂，所以，剪力图和弯矩图的具体画法也比轴力图和扭矩图的画法更为复杂。

为了明显地看出剪力、弯矩沿轴线的变化规律，便于找出危险截面，进行梁的设计和校核，通常用下面的方法，将梁的各截面上的剪力和弯矩用图表示出来。

如果把梁轴线作为x轴，截面的位置可以用x表示，则Q、M都是x的函数，即

Q＝Q（x）

M＝M（x）

上两式分别称为剪力方程和弯矩方程。

列剪力方程和弯矩方程时，通常以梁的左端为坐标原点，以梁的轴线为x轴，取向右为正向。再以集中力和集中力偶的作用点、分布载荷的起迄点以及梁的支承点和端点为界线，将梁分为若干段。分段后列出各段的剪力方程和弯矩方程，并分别求出个分界点处截面上的剪力值和弯矩值。最后把算出的Q、M值作为纵坐标，按其正负画在与截面位置相对应的x轴的上下两侧，再把各个纵坐标的端点连接起来。由此即可得到剪力图和弯矩图。　　

剪力图上任一点的纵坐标代表与此点相对应的梁横截面上的剪力值；弯矩图上任一点的纵坐标代表与此点相对应的梁横截面上的弯矩值。

作图时，一般把正的剪力和弯矩画在基线（x轴）的上侧，负的剪力和弯矩画在基线的下侧。

    （2）剪力图，弯矩图的简捷画法

从以上诸例题的Q图和M图中，我们可以找出以下规律，对检查所画Q、M图的正确性和进一步熟练而迅速地画出Q、M图是很有帮助的。

(1)梁上没有均布载荷作用的部分，剪力图为水平线，弯矩图为倾斜直线（只有当该段内Q＝０即剪力图与x轴重合时，弯矩图为水平直线）。

(2)梁上有均布载荷作用的一段，剪力图为斜直线，均布载荷向下时，直线由左上向右下倾斜（\）；弯矩图为抛物线，均布载荷向下时，抛物线开口向下。

(3)在集中力作用处，剪力图有突变，突变之值即为该处集中力的大小，突变的方向与集中力方向一致；弯矩图在此出现折转（即两侧斜率不同）。

(4)在集中力偶作用处，剪力图不变，弯矩图有突变，突变之值即为该处集中力偶的力偶矩。若力偶为顺时针转向，则弯矩图向上突变；反之，若力偶为逆时针转向，则弯矩图向下突变。

(5)绝对值最大弯矩总是出现在下述截面上：Q＝０的截面上：集中力作用处；集中力偶作用处。

利用上述规律，可以不列Q、M方程而简捷地画出梁的Q、M图。这就是剪力图和弯矩图的简捷画法，其具体步骤是：

(1)找出梁上的界点，将梁分为若干段；

(2)用求Q、M值的结论和符号规则，求出各界点处截面上的Q、M值；

(3)根据上述画Q、M图的五条规律，逐段画出Q图和M图。