建筑物楼层荷载折减系数的计算

一、背景
    一幢 \( n \) 层的建筑物，假设 \( Y \) 表示底层支柱所承受的全部垂直荷载，\( X_i
 \) 为第 \( i \) 层楼面传到支柱上的荷载，那么 \( Y \) 与 \( X_i  \) 之间的关系为：
\[Y=\sum\limits_{i=1}^n {X_i }\tag{1}\]
即 \( Y \) 是 \( n \) 层楼面的每一层所分配的荷载之和。

    计算楼面梁、墙、柱及基础时，考虑楼面活荷载标准值不可能全部满布和各构件受载后的传递效果不同，对荷载进行折减的系数。

定义: （荷载折减系数） \( n \) 层楼的总设计的平均载荷（均匀分布）与每层楼的设计载荷之比称为荷载折减系数，记为 \( r \)，并且满足： \( 0<r<1 \)。

    荷载折减系数的引入是因为在计算结构或构件楼面活荷载效应时，为了简化计算而把活荷载近似看作是均布荷载。然而，实际上楼面面积越大，实际平摊的楼面活荷载越小。所以，在计算结构或构件楼面活荷载效应时，如果引起效应的楼面活荷载面积超过一定的数值，就应该对楼面均布活荷载折减，于是就引入了楼面活荷载折减系数。

    荷载折减系数应该具体到每一个工程当中，折减系数不一定取值越大结构越安全。举一个例子来说：对于大偏心受压柱来说，在作用弯矩 \( M \) 不变的情况下，各楼层活荷载按规范提供的荷载折减系数进行折减，传给控制截面的轴力 \( N \) 变小了，柱截面承载力反而更为不利，需要的配筋更多。因此，活载折减系数的取值还要看你所做工程的具体情况（抗震等级，结构类型，风荷载等），不能一概而论。
不折减的话是按均布荷载设计的。但是每个地方同时受到荷载的几率非常小。为了使材料能得到最大限度的利用。所以要用折减荷载的计算。

    假定设计荷载比平均载荷超出 \( k(>1) \) 个标准差，分别考虑两种情况：任意两楼层之间独立与非独立，在两种情况下计算它们的荷载折减系数，并比较它们的优劣。

二、假设
    为简单起见，假设各层荷载的均值与方差都相同（相关参考文献表明在实际测定工作中各层荷载的均值与方差有近似相等的结论），即
\[EX_i =EX_j ,\quad DX_i =DX_j ,\quad i\ne j,\;i,j=1,2,\cdots ,n\tag{2}\]
设 \( {\bf{X}}=(X_1 ,\cdots ,X_n)^T \) 为随机向量，则 \( \bf {X} \) 的均值向量和协方差矩阵为如下形式：
\[E{\rm {\bf X}}=(EX_1 ,\cdots  ,EX_n )^T\]\[D{\rm {\bf X}}=\left(
{{\begin{array}{*{20}c}
 {DX_1 }  & {cov(X_1 ,X_2 )}  & \cdots  & {cov(X_1 ,X_n )}
 \\
 {cov(X_2 ,X_1 )}  & {DX_2 }  & \cdots  & {cov(X_2 ,X_n )}
 \\
 \vdots  &  & \ddots  & \vdots  \\
 {cov(X_n ,X_1 )}  & \cdots  & \cdots  & {DX_n }  \\
\end{array} }} \right)\]
又因为 \( cov(X_i ,X_j )=\rho _{ij} \sqrt {DX_i DX_j } ,\quad i\ne
j,i,j=1,2,\cdots ,n \)，所以，在表达式（2）的条件下，有
\[E{\rm {\bf X}}=(EX,\cdots  ,EX)^T\]\[D{\rm {\bf X}}=DX\left(
{{\begin{array}{*{20}c}
 1  & {\rho _{12} }  & \cdots  & {\rho _{1n} }  \\
 {\rho _{21} }  & 1  & \cdots  & {\rho _{2n} }  \\
 \vdots  &  & \ddots  & \vdots  \\
 {\rho _{2n} }  & \cdots  & \cdots  & 1  \\
\end{array} }} \right)\buildrel \Delta \over = DX\cdot {\rm {\bf \rho
}}\]
其中 \( {\rm {\bf \rho }} \) 表示随机向量 \( {\rm {\bf X}}=(X_1 ,\cdots ,X_n
)^T \) 的相关系数矩阵。

    特别地，如果 \( X_1 ,\cdots ,X_n  \) 相互独立，则协方差矩阵 \( D{\rm {\bf X}}=DX\cdot
{\rm {\bf I}} \)，其中 \( {\rm {\bf I}} \) 为 \( n \) 阶单位矩阵。

三、计算荷载折减系数
    由（1）式可计算： \( EY=\sum\limits_{i=1}^n {EX_i }  \)，不妨记 \( \mu _Y =EY,\quad
\mu _X =EX_i ,\forall i=1,2,\cdots ,n \)，则有
\[\mu _Y =n\mu _X \tag{3}\]
根据方差的性质，底层支柱所承受的全部荷载的方差为
\[
DY=\sum\limits_{i=1}^n {DX_i } +\sum\limits_{j=1}^n
{\sum\limits_{\begin{array}{l}
 i=1 \\
 i\ne j \\
 \end{array}}^n {cov(X_i ,X_j )} }
\]
由假设条件，得到
\[DY=nDX+DX\sum\limits_{j=1}^n {\sum\limits_{\begin{array}{l}
 i=1 \\
 i\ne j \\
 \end{array}}^n {\rho _{ij} } } \tag{4}\]

记 \( \sigma _Y =\sqrt {DY} ,\quad \sigma _X =\sqrt {DX}  \)。

情形1
假定任意两层楼面间的荷载为相互独立，即 \( \rho _{ij}
=0 \)，则（4）式变为 \( DY=nDX \)，即标准差为：
\[\sigma _Y =\sqrt n \sigma _X \tag{5}\]
由于变异系数定义为标准差与期望之比，即 \( \delta =\frac{\sigma }{\mu
} \)，它是一个无量纲的量。那么，由（3）与（5）式知，\( Y \) 与 \( X \) 之间的变异系数有如下关系：
\[\delta _Y =\frac{\sigma _Y }{\mu _Y }=\frac{\sqrt n \sigma _X }{n\mu _X
}=\frac{\delta _X }{\sqrt n }\tag{6}\]
假定设计荷载为比均值超出 \( k(>1) \) 个标准差，即 \( n \) 层楼面的设计荷载为
\[y^\ast =\mu _Y +k\sigma _Y =\mu _Y (1+k\frac{\delta _X }{\sqrt n
})=n(1+k\frac{\delta _X }{\sqrt n })\mu _X \tag{7}\]
（7）式表明底层支柱上的总设计荷载 \( y^\ast
 \) 随着楼层层数 \( n \) 的增加而增加。然而，每层匀布荷载的平均值为
\[\frac{y^\ast }{n}=(1+k\frac{\delta _X }{\sqrt n })\mu _X \tag{8}\]
（8）式表明每一层所均匀分布的荷载随着建筑物层数 \( n \) 的增加而减少。

根据荷载折减系数的定义，计算得
\[r_1 =\frac{y^\ast }{nx^\ast }=\frac{(1+k\frac{\delta _X }{\sqrt n })\mu _X
}{(1+k\delta _X )\mu _X }=\frac{1+k\frac{\delta _X }{\sqrt n }}{1+k\delta _X
}\tag{9}\]

情形2
如果任意两层楼面荷载之间非独立性，并且相关系数均相等，呈正相关关系，即 \( \rho
_{ij} =\rho >0 \)，则由（4）式知，底层支柱所承受的全部荷载方差为
\[
DY=nDX+n(n-1)\rho DX
\]
则（6）式变为
\[\delta _Y =\frac{\sigma _Y }{\mu _Y }=\delta _X \sqrt {\frac{1+(n-1)\rho
}{n}} \tag{10}\]
此时，荷载折减系数为
\[r_2 =\frac{y^\ast }{nx^\ast }=\frac{1+k\delta _X \sqrt {\frac{1+(n-1)\rho
}{n}} }{1+k\delta _X }\tag{11}\]
比较两式（9）与（11），显然，当 \( n>1,\rho >0 \) 时，\( r_2 >r_1  \)。

    为此，我们计算了两种情形下的荷载折减系数，显然，非独立情形下的荷载折减系数大于独立情形下的荷载折减系数，相对于独立假设下的荷载折减系数，非独立具有正相关度的楼层荷载设计应该更安全一些。工程上，常常设计 \( \rho
\in (0.7,\;0.9) \)。

参考文献：
    孙芳垂，陈星焘，胡世平译，工程规划与设计中的概率概念（第1卷），例4-13，冶金工业出版社，1985年第一版。