中心极限定理的应用

一、历史注记
    历史上最初的中心极限定理是讨论 \( n \) 重伯努利试验中，事件 \( A \) 出现的次数 \( \mu_{n} \) 渐近于正态分布的问题。记事件 \( A \) 出现的概率为 \( P(A)=p \)， 1716年前后，棣莫弗对 \( p=1/2 \) 作了讨论，并发现了中心极限定理；随后，拉普拉斯就伯努利试验情形改进了棣莫弗的证明，并对一般的情形指出极限分布是正态分布，这就是棣莫弗－拉普拉斯定理（1901年，李雅普诺夫对拉普拉斯的结果给出了严格证明）。
    随着特征函数的引入，中心极限定理的研究得到了迅速的发展。20世纪20年代，林德伯格（Jarl Waldemar Lindeberg，1876--1932，芬兰数学家，因其在中心极限定理方面的成就而著名）和列维证明了林德伯格－莱维定理，即独立同分布的中心极限定理，它在数理统计的大样本理论中有着重要的应用。1922年，``中心极限定理更一般的条件''的研究取得显著的进展，林德伯格提出著名的林德伯格条件。1935年，林德伯格和费勒又进一步解决了独立随机变量序列的中心极限定理的一般情形，即林德伯格-费勒定理。该定理指出，在独立随机变量序列情况下，林德伯格条件不仅是中心极限定理成立的充分条件，甚至在一定条件下还是必要的。林德伯格-费勒定理使长期以来作为概率论中心议题之一的中心极限定理得到根本解决，前述诸结果都是它的推论。
    此后中心极限定理的研究基本上围绕几个方面进行：一是减弱对随机变量独立性的要求；二是讨论向标准正态密度函数收敛的问题；三是研究正态分布收敛的速度问题，等等。
    中心极限定理的一个直观而不严格的解释：一个现实的量如果是由大量独立的而且均匀小的量叠加而成，那么它的分布近似于正态分布，这揭示了正态分布的重要性质。

二、中心极限定理与大数定律的关系
    大数定律与中心极限定理的有关系吗？
    设随机变量序列 \( {X_{n}} \) 独立同分布、期望存在、方差 \( DX_{n}=\sigma^2 \) 有界时，易得，大数定律与中心极限定理都成立。大数定律断定：
\[
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P\left\{|\bar{X}-\frac{\sum EX_{n}}{n}|\leq\varepsilon\right\}=1
\]
然而括号中事件的概率有多大？此定理未回答，但中心极限定理却给出了近似解答：
\[
P\left\{|\bar{X}-\frac{\sum EX_{n}}{n}|\leq\varepsilon\right\}=P\left\{|\frac{\sum(X_{n}- EX_{n})}{\sigma\sqrt n}|\leq \frac{\varepsilon \sqrt n}{\sigma}\right\}
\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{|x|\leq\frac{\varepsilon \sqrt n}{\sigma}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx
\]因而，在假设条件下，中心极限定理比大数定律更精确。

三、中心极限定理的应用
    假设生产线上组装每件成品的时间服从指数分布。组装每件成品的平均时间为10分钟，假设组装各件成品的时间相互独立。
    （1）试求组装100件成品需要15小时至20小时的概率；
    （2）以95%的概率在16小时之内最多可以组装多少件成品？

解：（1）设 \( X_{i} \) 表示第 \( i \) 件成品组装时间，则 \( x_{1}\cdots,X_{100} \) 相互独立，且都服从指数分布 \( \Gamma(1,0.1) \)，\( EX_{i}=10,DX_{i}=100,i=1,2,\cdots,100 \)。由中心极限定理知，
\begin{eqnarray}
P\left\{15\times60\leq\sum_{i}^{100}X_{i}\leq20\times60\right\}&=& P\left\{\frac{900-1000}{100}\leq\frac{\sum_{i}^{100}X_{i}-1000}{\sqrt{100\times100}}\leq\frac{1200-1000}{100}\right\} \\
 &\approx& \Phi(2)-\Phi(-1)\\
 &=&0.9772-(1-0.8413)\\
 &=&0.8185
\end{eqnarray}

（2）设在16小时之内最多可以组装 \( n \) 件成品，
\[
P\left\{\sum_{i}^{n}X_{i}\leq16\times60\right\}=0.95
\]\[
\Phi(\frac{960-10n}{10\sqrt n})=0.95,\ \ \frac{960-10n}{10\sqrt n}=1.645
\tag{1}\]\[    n^2-194.706n+9216=0\]
解出 \( n_1\approx 81.18,n_2\approx 113.53 \)，其中 \( n_2 \) 不满足（1）式，舍去。
    故在16小时之内以概率0.95最多可以组装81或82件成品。

四、Galton钉板试验小球落点预测
                                 

在Galton钉板试验中，我们看到小球在槽中堆成的曲线近似正态曲线，这里我们依据棣莫弗拉普拉斯定理（D-L）来解释这一现象。定义 \( X_{k}=\left\{
\begin{array}{ll}
1&\text{若第k次碰钉后小球向右}; \\
-1& \text{若第k次碰钉后小球向左};
 \end{array}
 \right. \)，则 \(
X_{k}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1/2 & 1/2\end{array}\right)
 \)，而第 \( n \) 次碰钉后球的位置 \( n \)，根据D-L定理 \( \frac{Y_{n}-EY_{n}}{\sqrt {DY_{n}}}\overset{\text{近似}}\sim N(0,1) \)，即 \( \frac{Y_{n}-0}{\sqrt {n}}\overset{\text{近似}}\sim N(0,1) \)。
    这表明 \( \frac{Y_{n}}{\sqrt {n}} \) 的分布当  \( n \) 充分大时近似于 \( N(0,1) \)，即 \( Y_{n} \) 的分布近似于 \( N(0,\sqrt n) \)。则
\[
P\{-l\leq Y_{n}\leq  l\}=P\left\{\frac{-l}{\sqrt {n}}\leq \frac{Y_{n}}{\sqrt {n}}\leq\frac{l}{\sqrt {n}}\right\}\approx 2\Phi\left(\frac{l}{\sqrt {n}}\right)-1
\]设 \( n=16 \)，则 \( P\{-l\leq Y_{16}\leq l\}\approx 2\Phi(\frac{l}{4})-1 \)，如 \[ P\{-1\leq Y_{16}\leq 1\}\approx 2\Phi(\frac{1}{4})-1=0.1974 \]这意味着，若独立投掷60个小球，则大约有 \( 60\times 0.1974\approx 12 \) 个小球落在[-1,1]之间，此情形下总体预测列表如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline\mbox{区间} & \mbox{近似概率} & \mbox{近似球数} & \mbox{区间} & \mbox{近似概率} & \mbox{近似球数} \\\hline
  [-1,1] & 0.1974 & 12 & [-6,6] & 0.8664 & 52 \\\hline
  [-2,2] & 0.3829 & 23 & [-7,7] & 0.9199 & 55 \\\hline
  [-3,3] & 0.5467 & 33 & [-8,8] & 0.9545 & 57 \\\hline
  [-4,4] & 0.6827 & 41 & [-9,9] & 0.9756 & 59 \\\hline
 [-5,5] & 0.7887 & 47 & [-10,10] & 0.9876 & 60\\ \hline
\end{array}\]