当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第3章 多维随机变量及其分布 > 边缘分布律和边缘密度 > 拓展知识
二维随机变量的联合密度函数含有丰富的信息，主要有三个方面：
（1）单变量的密度函数，即边缘密度函数；
（2）利用边缘密度函数的信息去判别两个变量之间的相依关系，且利用相关系数去判断它们的相依程度；
（3）当一个变量固定不变时，另一个变量如何变化，具有什么样的密度，这就是条件密度。
因此，确定边缘密度尤为重要。利用二维随机变量的联合密度函数求取边缘密度，在视频和习题中我们已经进行了大量的推演和练习。下面我们将利用图形可视化加深对边缘密度的理解。
仍以二维正态分布为例。设 \( (X,Y) \) 服从二维正态分布 \( N(0,1;0,1;\rho) \)，\( |\rho|\leq 1 \) 为相关系数，其联合密度函数为
\[
f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right\},\ \ x\in R, y\in R
\]
若以平面 \( x=c \) 截联合密度（曲面） \( f(x,y) \)，得"截痕"曲线 \( f(c,y) \) （图1），即
\[
f(c,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt {1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{c^2-2\rho cy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right\},\ \ x\in R, y\in R
\]
``截痕'' \( f(c,y) \) 是一条白色的曲线，暗示了随机变量 \( Y \) 服从正态分布，但 \( f(c,y) \) 是随机变量 \( Y \) 的（边缘）密度函数吗？
显然不是，因为 \( f(c,y) \) 随 \( c \) 的变化而变化。那么，\( Y \) 的（边缘）密度在哪里？或者等价地问，\( X \) 的（边缘）密度在哪里？
回顾 \( X \) 的（边缘）密度公式
\[
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy,
\]\[f_{X}(c)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(c,y)dy\]
的几何意义：以``截痕'' \( f(c,y) \) 为曲边的曲边梯形面积（图2），该面积的值
附图2的Matlab代码：
clear;clc;
rou=0.3;
[x,y]=meshgrid(-3:0.05:3);
z=(1/(2*pi*sqrt(1-rou^2)))*exp((x.^2+y.^2-2*rou*x.*y)/(-2*(1-rou^2)));
ii=find(x<-1);
z(ii)=zeros(size(ii));
surf(x,y,z) %画曲面（带切面）
hold on
iii=find(x==-1);
plot3(x(iii),y(iii),z(iii),'--w','LineWidth',2) %画截痕
hold on
iiii=find(x==-1.2);
plot3(x(iiii),y(iiii),z(iiii),'--w','LineWidth',2) %显示截痕所围截面
hold on
text('Interpreter','latex',...
'String','$$f_X(c)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(c,y)dy}$$',...
'Position',[-3 1.5 0.17],...
'FontSize',24)
xlabel('X轴');
ylabel('Y轴');
zlabel('Z轴');
view(3)
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