当前课程知识点:概率论与数理统计 > 第1章 随机事件与概率 > 古典概率 > 拓展知识
概率论是一门研究事件发生的可能性的学问,但是最初概率论的起源与赌博问题有关。
传统概率又叫拉普拉斯概率,因为其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的,且每个单位事件发生的可能性均相等,则这个随机试验叫做拉普拉斯试验,即现在所说的古典概率。
下面,介绍几个计算古典概率的问题,注意到事件的对称性,能产生简洁的解题思路。
例1 甲有 \( n+1 \) 个硬币,乙有 \( n \) 硬币,双方投掷后进行比较,假设硬币是均匀的,求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率。
解:设事件 \( A \) ={甲掷出的正面数 \( > \) 乙掷出的正面数},则 \( \bar
{A} \) ={甲掷出的正面数 \( \le
\) 乙掷出的正面数}。
因为甲比乙多一个硬币,故 \( \bar
{A} \) ={甲掷出的反面数 \( > \) 乙掷出的反面数}。
显然事件 {甲掷出的正面数 \( > \) 乙掷出的正面数} 与 {甲掷出的反面数 \( > \) 乙掷出的反面数} 是处于平等的位置上,其发生的概率应该相等。
则可以构造两个样本点的空间 \( \Omega
=\{A,\bar {A}\} \),所以 \( P(A)=\frac{1}{2} \)。
注:利用事件的对称性,并选择适当的样本空间,则迅速求解。
例2 用 \( n \) 把不同的钥匙随机去开一把锁,其中只有一把钥匙能打开锁。问第 \( k \) 次打开锁的概率是多少?
解:设 \( A_i
= \) {第 \( i \) 次打开锁},\( i=1,2,...,n \),由于是随机地摸出一把钥匙能打开锁,因此,事件 \( A_i
\),\( i=1,2,...,n \) 是对称平等的,故
\[
P(A_1 )=P(A_2 )=...=P(A_n )=\frac{1}{n}
\]
注:反映了一个事实,抽签与顺序无关。
例3 在线段 \( AB \) 上任取不同的三点 \( x_1 ,x_2 ,x_3 \),求 \( x_2 \) 位于 \( x_1
,x_3 \) 之间的概率。
解:设 \( A_1 =\{x_1 \) 位于 \( x_2 ,x_3 \) 之间 \( \},A_2 =\{x_2 \) 位于 \( x_1 ,x_3
\) 之间 \( \},A_3 =\{x_3 \) 位于 \( x_1 ,x_2 \) 之间\},
则事件 \( A_1 ,A_2 ,A_3
\) 是对称的,其发生的可能性相等,且它们之间也是互斥的。
所以,只有三个点的样本空间是 \( \Omega
=\{A_1 ,A_2 ,A_3 \} \),\( P(A_2 )=\frac{1}{3} \)。
思考:求事件 \( \{x_1 <x_2 <x_3 \}\) 的概率呢?
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