当前课程知识点:程序设计基础 > 第五章 分治思想与递归 > 5.3 矩阵填充 > 5.3.1 矩阵填充问题
下面我们来做这样的一个练习
大家可以看到这个上面有一个矩阵
这个矩阵里头填充很多的数字
也可以说这是一个填充了数字的矩阵
我们仔细的观察一下会发现
这个数字的填写似乎是有规律的
那么他是一个按照从左上角开始
按照逆时针的顺序转着圈来填写的一个矩阵
大家看是不是这个样子
1 2 3 4 对吧 这样转着圈
好了 现在我的
我给你任务是
你能不能写一个程序输出来
当然是按照很整齐的矩阵的形式来排列的
这么的几行几列的数字
让它看上去跟我这边一样
是旋转的填充的
那样的一个矩阵的样子
那有的同学可能上来就说
这个我找找规律是吧
但是考虑到我们cout语句
只能一行一行输出
你也不能退回去
这如果是在纸上我们自己填就好了
你只要去写就行
但是 你cout语句去输出的时候是输的上一行
你就不能再退回去了
只能一行一行的出来
这每一行的规律
其实是不太好找的
左边的小 右边的大
然后中间的经常会有些变化
而且变化的规律比较复杂
那怎么办呢
这个里头啊
我们介绍一个新的思想
就是 看上去是这一批数字要输出
但是 即使是这么让你去输出它
我们从来就没有让这个任务说成是
让你一行一行的去输出它
或者说呢 我们也没有要求你
让你每产生一个值就让你输出出去
这话什么意思呢
这话的意思就是
你完全可以在事先在程序里头
先把这个矩阵全部的做出来
然后 一行一行的输出
矩阵的内容
也就是说我们把原来
本来是输出多行cout语句变成了
对一个矩阵的内容的输出
那么这个矩阵的内容是提前填充好的
最后你可以理解为在最后再一次性输出它
所以你就没必要在每次cout的时候去算它
于是这个任务就转变成了
我怎么先在内存里头
造出这样的一个逆时针旋转填充好的矩阵来呢
它存到哪里去呢
很显然利用一维数组
是很难做好这个事情的
因此我们
在做这个任务之前
先简单的介绍一个新的语法形式
就是二维数组
对于这个填表呢
我们在里边填的是整数
所以我们这个例子里头是用整数的二维输出
其实呢 大家可以看到二维数组的定义和
一维数组的定义
是遵循同样的思想
都是用方括号
来表示那个维度的
元素的个数
一维就只有一个方括号
那么二维当然就有两个方括号了
所以我们一个m*n的一个矩阵
就写成int matrix[M][N]
同样的一个准则要求是
M跟N必须是常量
比方说5啊6啊这些整数值
当然了可以来定义一个常量
比如const int M = 5;
const int N = 5;
这个我们称之为
这两个变量为常变量
那么这个也可以作为
就是M跟N也可以作为数组的
元素的大小的限定
这个int matrix[M][N]
也是可以的
那么有了这样的一个
用二维数组来表达的矩阵
我们就可以先把数填到矩阵里去
那这个是因为我的矩阵的元素是可以跟数组一样
可以任意访问的
只要方括号里的自变量改了
我想访问那个就访问那个
想写那个数据就可以写那个数据进去
所以呢我可以事先把这个数
转着圈填进去
然后再把这个矩阵输出出来
那怎么才能用我们已学习的知识
去填这个矩阵呢
我们过去经常讲
在生活的常识当中
蕴藏着很多
很有用的这个计算机的算法
程序的编写的思路可以从生活中去获取
刚才的这个矩阵的填充
我们也可以用类似方法来思考
如果这个矩阵
给你一张纸让
你自己填
我想基本上每个人
都有可能不假思索的开始
从左上角开始写
一直转着圈 写过去
我估计不会有人
先去找一个规律
然后一行一行来写
换而言之 这个矩阵
让你人来做的时候
它就是按照左边
下边 右边 上边
这么一圈一圈来的
所以我们在用计算机做的时候
也是照这个思路
一圈一圈去填
那这个过程当然了
通过控制这个矩阵的行列
下标值
可以来获得相应的元素
最后把整数给填进去就好了
但是问题是这样的一圈转下来之后
我们人是继续在那
填充这个里头的这个部分的
那么作为计算机来讲
这个里头的规律还有那些呢
就除了说我要转着圈去填这一圈之外
还有什么呢
经过简单的分析我们容易发现
当我们把一个矩阵
大家看到
这个矩阵
当我们把外面这一圈填完了之后
那么里面的这个部分
大家可以看
里面的部分
它是不也是一个矩阵嘛
所以 我们就发现
这个旋转的填充的这个过程
实际上是把一个大的矩阵
把它外头这一圈填完了
把问题就变成了一个小的矩阵
而这个小的矩阵里头的数的
排列的这个规律
仍然是满足刚才这个
逆时针旋转填充的这个规则的
只不过呢它的左上角的那个值
跟你最开始外围的这个值1不一样
你最开始外头这个是1
然后转一圈
那么里边这个矩阵呢
它的起始的值不是1
大家看这个已经填好的矩阵
5*5的矩阵
它的第一个元素左上角是1
然后里面那个小矩阵的左上角呢
它是17
对吧 然后最最里面呢是个25
那可能又有同学担心了
那我们是不是又得找这个对角线
这个1 17 到25这个规律啊
其实问题没那么复杂
因为呢 我们是把这个数啊
从1开始填
一个一个填过去的
换而言之你的外围的那一圈
的最后那个数
像我们这个地方是16
它的下一个值就是里头那个矩阵要填的第一个值
所以 你只要依次的填下去
用一个变量记住那个值
让它不断的增大
它自然而然就会得到它
所以 这个小的矩阵的左上角的那个值
到底是什么
不用我们去操心它
你只要顺着去做就好了
那么经过这样的一个分析
我们发现
这样的一个矩阵的填充的问题
就变成了两个步骤来完成的一个过程
第一步 把矩阵最外层按逆时针把它填好
第二步 把里面的这个剩下的小矩阵
使用同样的方法去填充
那怎么填充呢 没说
我们可以用我们上一章学过的函数
来实现对矩阵的填充
于是呢
这个里头的小矩阵怎么完成
就是通过函数调用来完成的
来完成的
所以这问题就变成了
一个递归的算法
这个递归算法有两部分
一部分填充外面的
一部分填充里面的
好了 怎么来填外面的呢
当然了由于你这个矩阵的大小是知道的
所以这个矩阵的最外面的
这一圈的元素的下标啊
其实你是知道的
或者说你是可以提前推算出来的
因为它有可能会发生变化嘛
小矩阵它又不一样了
它会越来越小 越来越小
它可能老有变化
但是不管怎么样 你是可以推算的
那么 我到底怎么转着圈填呢
我们仔细的看一看就会发现
这一圈 实际上是有四条边组成的
这好像是个废话一样 是吧
但是呢 你如果仔细的来看一看
我现在的这个示意图
看上去挺美观的一个示意图
左边这一个从犄角那开始到下面
这一段
和底边 右边上边
我们发现这每一个边
我们要填的这个元素的数目是一样的
假定这个边长是n的话
那么这个长度呢就是n-1
所以我们这样的一种分法之后
它们的个数是相等的
所以我们左边这一条
左边这一条我们并没有把它
一直把它通到底
而是把最后一个元素让给底边
同理 这个底边呢
也没有通到右边
而是把最右边那个值呢
让给最右边的这一列
那么最右边这一类
从下往上填的时候呢
最顶上那个元素
它也没有用
是交给上面的
这样的话呢每一条的个数都是一样的
这是第一个
它们的大小是一样的
第二个这个里头的每一条
它这个里面的元素
都是依次相连的
比如说左边这一列
它分别是1 2 3 4
下面这一列里头的元素是5 6 7 8
然后最右边是9 10 11 12
最上边是13 14 15 16
每个都是依次相连这种变化
只不过呢 它们是起始值有所不同
但是这个起始值是有规律的
比方说 左边这个起始值是从5开始的
因为你的左边这一列是5减1是四个元素
后面以此类推 这个里头是有规律的
于是我们发现
它们不仅等长而且呢
它里头的值呢
是有序的 紧挨着的
一个挨一个
第三呢我们发现
这每一小段的起始的值
也是有规律可循的
那么经过这样的分析
这个外面这一圈的填充的算法
就出来了
-1.1 基础知识
-1.2 买菜问题
-1.3 数学运算
-1.4 补充说明
-1.5 总结
--1.5 总结
-程设论道
--程设论道
-师生问答
-第一章 编程初步--语法自测
-2.1 关于超级计算器的几点思考
-2.2 电子秤模拟 — 背景介绍及需求分析
-2.3 电子秤模拟 — 代码实现
-2.4 变量定义与变量类型
-2.5 猜数游戏与数据表示
-2.6 关于变量的讨论
--公告
-2.7 变量体现的计算思维
-程设论道
--程设论道
-师生问答
--师生问答
-第二章 变量与代数思维--语法自测
-3.1 谁做的好事——语义表示
-3.2 谁做的好事——真假检查
-3.3 谁做的好事——循环枚举
-3.4 谁是嫌疑犯——多重循环枚举
-3.5 谁是嫌疑犯——破案线索表示
-3.6 谁是嫌疑犯——用二进制枚举
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
--程设论道三
-师生问答
-第三章 逻辑推理与枚举解题--语法自测
-4.1 插花游戏
-4.2 筛法
-4.3 线性查找
-4.4 折半查找
--4.4.1 提问
-4.5 排序问题
-4.6 总结
--4.6.1 总结
-程设论道
--程设论道二:筛法
-师生问答
-第四章 筛法与查找--语法自测
-5.1 阶乘
-5.2 排序
-5.3 矩阵填充
-5.4 分书与八皇后
-5.5 青蛙过河
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
-师生问答
--师生问答一
--师生问答二
-第五章 分治思想与递归--语法自测
-6.1 兔子数列问题
-6.2 分鱼问题
-6.3 橱窗的插花问题
-6.4 最长公共子序列问题
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
-师生问答
--师生问答
-第六章 递推与动态规划--语法自测
-7.1 统计记录总数
-7.2 统计活跃用户数
-7.3 统计在线时长
--7.3.2 结构
-7.4 总结
--7.4.1 总结
-程设论道
--程设论道
-师生问答
--师生问答
-第七章 文本数据处理--语法自测
-8.1 将数据组织成链表
-8.2 提高链表访问效率 —— 哈希链表
-8.3 以二进制文件存储链表
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
-师生问答
--师生问答
-第八章 非文本数据处理--语法自测
-9.1 自动售卖程序
-9.2 配制水果信息
-9.3 指定界面语言
-程设论道
--程设论道
-师生问答
--师生问答
-第九章 可配置的程序设计--语法自测