传染病模型在线视频

同学们好

下面我们来看一个

微分方程建模的案例

我们经常会遇到

需要描述客观对象的动态变化

或者说描述客观对象

随时间或者空间演变的过程

我们需要根据描述客观对象特征

随时间变化规律的模型

来分析客观对象特征的变化规律

进而来预测

客观对象未来的特征

并且研究控制研究对象特征的

控制手段

我们可以根据建模目的和问题分析

作出简化假设

根据函数及其变化率之间的关系

来确定函数

按照内在的规律或者类比的方法

来建立微分方程

那么下面我们就来看一个具体的案例

传染病有极大的危害

比如艾滋病、SARS等等

我们可以通过描述传染病的传播过程

来分析受感染人数的变化规律

从而来预报

传染病高峰期到达的时刻

并且找出预防传染病蔓延的手段

我们没法从医学的角度来分析

各种传染病的特殊机理

而是按照传染病的一般规律

来建立数学模型

进行描述和刻画

首先我们来看一个基本模型

模型一

在已知感染人数的情况下来建立模型

首先我们来做假设

假设每个病人每天有效接触

足以使人致病的人数是λ

那么我们怎么来建立模型呢

我们可以看到

Δt时间内病人的增量是

i(t)个病人每天使λi(t)个人致病

Δt时间内使得λi(t)Δt个人致病

因此根据病人的增量关系

有方程

这个方程就刻画了

Δt时间内

病人数量的变化规律

整理模型得到

得到模型以后

我们来求解这个模型

由模型可以得到结果

根据模型结果

我们可以看到

当时间趋于无穷的时候

病人的数量也会趋于无穷大

显然这个结果是不合理的

怎么会这样呢

我们回过头来看

发现我们假设中

有效接触人数

没有区分病人和健康人

如果有效接触的人数是病人

则不能够使病人的增量增加

因此我们必须区分已感染者和未感染者

由此我们来建立第二个模型

根据模型的结果分析

我们要区分已被感染的病人

和未感染的健康人

由此来改进模型、建立模型二

我们不妨把这个模型叫做SI模型

我们假设模型考虑总人数N不变

病人和健康人的比例分别是i(t)和s(t)

每个病人每天有效接触的人数为λ

而且使得病人接触的健康人致病

这个λ我们称为日接触率

下面我们看模型建立过程

在这样的条件假设下面

Δt时间内

病人比例的增量为

则病人数量的增量为

Ni(t)个病人每天有效接触λNi(t)个人

而且使得被接触的人中的健康人致病

因此新增的病人为

Δt时间内就会使得这部分健康人致病

因此根据病人增量关系

有方程

这个方程就刻画了

Δt时间内

由健康人致病导致病人数量变化的规律

根据前面模型

我们得到结果为

以及它的结果曲线图

根据模型结果我们可以看到

在时间t等于tm的时候

这时病人的比例是增长最快的

这时也是传染病高峰期到达的时刻

日接触率λ下降的时候

会使得传染病的高峰期到达时间推迟

在预防传染病蔓延中

降低日接触率λ是有效的途径

当控制日接触率λ为0的时候

传染病就不再蔓延

当控制可能受感染区域总人数N不变

也可以控制传染病不再扩散

根据模型结果我们可以看到

当时间t趋于无穷的时候

病人的比例趋于1

也就是说会导致所有人致病

显然结果还是不合理的

怎么会这样呢

通过分析我们发现

没有考虑病人是可以被治愈的这种情况

因此我们再进一步来完善这个模型

根据前面模型二的分析结果

我们来考虑传染病会被治愈的情况

传染病会被治愈也有两种情况

第一种情况是传染病无免疫性

和传染病有免疫性

我们分别对这两种情况进行讨论

现来讨论传染病无免疫性的情况

即病人治愈以后成为健康人

健康人可能再次被感染

我们这个模型不妨称为SIS模型

那么我们就来假设

假设模型中

考虑的总人数N不变

病人、健康人的比例是i(t)、s(t)

每个病人每天有效接触人数为λ

而且使得病人接触的健康人致病

这个λ我们称为日接触率

病人每天治愈的比例为μ

我们称μ为日治愈率

在这样的假设前提下面

我们来建立模型

我们可以看到

Δt时间内

病人的增量比例为

因此根据病人的净增量关系

有方程

这个方程就刻画了

Δt时间内由健康人致病

病人被治愈

导致病人净增加量的变化规律

推导模型得到

λ为日接触率

μ分之1为感染期

我们令δ等于λ除以μ

作为一个感染期内每个病人

的有效接触人数为接触数

因此得到模型结果为

那么我们对这个模型

来讨论不同的情况

当接触数δ大于1时

即病人的日接触率λ

大于病人的日治愈率μ

这个时候

如果初始病人数i0小于1减去

δ分之1的时候

病人的比例i(t)随着时间

按s曲线单调递增

如果病人初始人数i

大于等于1减δ分之1

那么病人的比例随着时间

趋向于1减δ分之1

单调下降

当病人的比例达到1减δ分之1的时候

病人的数量就稳定在这里

当街接触数δ小于等于1的时候

即病人的日接触率λ

小于等于病人的治愈率μ

这个时候病人的比例i(t)

随着时间单调下降

病人数量是负增长

感染期内有效接触

使健康人染病的数量

将不会超过原来的病人数

因此接触数δ是一个域值

下面我们再来看传染病有免疫性的情况

即病人被治愈成健康人后

不会再次被感染

会移出感染系统

我们称为移出者、免疫者

那么这个模型我们不妨称为SIR模型

假设模型考虑的总人数N不变

病人、健康人、移出者的比例

分别是i(t)、s(t)、r(t)

每个病人每天有效接触的人数为λ

使得病人接触的健康人致病

这个λ是日接触率

病人每天治愈的比例为μ

μ是治愈率

接触数δ为μ分之λ

在这样的条件假设下面

Δt时间内

病人的增量为

Δt时间内被治愈的人数为

因此病人的净增量方程为

Δt时间内健康人的比例增量为

则健康人数的增量为

因此根据健康人的净增量等于

健康人转化为病人的净增量的关系

建立方程

这个方程就刻画了

Δt时间内由健康人致病

病人被治愈

导致病人净增长量关系的一个变化规律

整理前面模型我们可以得到

因为通常情况下

初始免疫者比例r(0)很小

所以病人比例加上健康人比例约等于1

下面我们来求解这个模型

这个模型无法求出它的解释解

所以我们先做数值计算再做讨论

假设λ等于1

μ等于0.3

i0等于0.02

s0等于0.98

用MATLAB计算作图

得到i(t)和s(t)的图形

病人比例i(t)从初始值增长到最大

然后随着时间推移

病人比例i(t)从初始值增长到最大

但随着时间推移

t趋于无穷的时候

病人比例会趋于0

健康人比例s(t)单调递减

随着时间趋于无穷的时候

健康人比例会趋于0.04

传染病不蔓延的条件是

s0小于δ分之1

要使得传染病不蔓延

就要做到两点

一 提高愈值δ分之1

也就是要降低δ

也就是要降低日接触率λ

就是要降低日接触率λ

即要提高我们的卫生水平

同时提高治愈率μ

就是要提高我们的医疗水平

第二 要降低健康人比例初始值s0

因为根据s0加i0加r0等于1

我们降低s0就是要提高r0

即要提高我们的群体免疫能力

这个传染病问题的建模过程

是一个逐步完善的过程

先提出模型一

建立模型分析以后发现

模型一有不足之处

需要区分病人和健康人

从而提出模型二

建立模型分析以后发现

模型二仍然有不足之处

需要考虑病人被治愈的情况

最后提出考虑无免疫性的模型三

和考虑有免疫性的模型四

在模型三和模型四中

我们描述了传染病的传播过程

分析了变化规律

预报了高峰期到达的时刻

以及预防蔓延的手段

特别要指出的是

第四个模型中

我们用了数值计算和理论分析相结合