柱坐标在线视频

大家好

我们现在介绍电动力学

第零章数学准备的第四部分

曲线坐标

之所以把这个曲线坐标

单独的拿出来作为一节进行讨论

是因为曲线坐标里面

进行场论的计算

会和直角坐标有一些不同

我们前面在场论的讨论中

已经用了一个结果

就是基矢量不参与微商

但是在曲线坐标里面

虽然它的坐标架

还是直角坐标架 是互相垂直的

但是那个基矢量依赖于坐标

所以会参与微商

这就会使得我们做微商计算的时候

会产生很多复杂性

再有一个原因是

曲线坐标和直角坐标之间

我们往往需要进行互换

大家在计算里面

往往对那些互换的关系

感到很头疼很头大

在实际计算往往是去找一本

数学手册或者教科书去抄

那些互换的关系

我们在这里是告诉你

依据一些什么样的基本的考虑

你自己就可以从头把这些关系

推下来

不需要你记住

但是你知道能推下来

你再去抄别的结果

你会很容易接受

如果是抄不到的话

你就会自己认认真真做下来

静下心可以慢慢的推出来

那些结果

我们主要讨论在电动力学里面

常用的两个坐标

一个是柱坐标 一个是球坐标

首先讨论柱坐标

因为柱坐标相对球坐标

要简单一些

所谓的柱坐标就是一个

大家中学开始就比较熟悉的

平面的极坐标加上一个z轴

在平面的极坐标

我们先直角坐标架

基矢量ex ey ez

平面的极坐标是用的

所谓的er eθ来作为基矢量

然后在柱坐标里面

和直角坐标在z方向

用的都是ez

柱坐标里边很重要

这里用到了一个θ角

就是er和ex之间的夹角

这是一个俯视图

就是从z轴的顶上往下看的

为什么要用这个俯视图

因为这个俯视图画出来以后

就给出很多的关系

我们利用这些关系

就可以推出来这个基矢量

这是z轴 是指向大家的

这个是er

er和ex之间夹角是θ角

然后垂直于er的这个方向是eθ

所以eθ和ey方向的夹角也是θ角

那么我们就注意到er eθ ex ey

都是单位矢量

就是它的长度是单位1

z方向大家都是ez 往这个方向

所以你就看到er点乘ex

它们的模都是1

只是夹角cosθ

然后er点乘ey就是sinθ

然后er点乘ez和这个垂直

就是等于0

就得到了这一串关系

同样这个eθ点乘ex

就是往横的这个方向

这是sinθ 当然是负的

因为是在反过来的ex的投影

eθ点乘ey是cosθ

eθ点乘ez是等于0

然后ez 这个ez是指的

这个柱坐标里的这个ez

和它是一样的

所以就和直角坐标的关系是一样

ez点乘ex是等于0

ez点乘ey等于0

ez点乘ez等于1

这样我们就把这些基矢量之间的

相互的点乘的关系就给出来了

这个是什么

是我们前面讨论的

矢量分析讨论的方向角

就是那些方向余弦

我们当时有一个βij

实际上就是这些关系式

好 现在我们在柱坐标里面

那个r的矢量是用r θ和z来去描述

在直角坐标里是x y z 对不对

那么两个都是z坐标 是一样的

只是在x-y这个平面里面

这个是用r θ一个是用x y

这个r就是x平方加y平方开根号

y比x等于tanθ

或者θ等于arctany/x

基矢量在柱坐标里是这三个

er eθ ez

刚才我们给出来了

它们的互相的所谓的方向余弦

刚才专门画了一个很大的图

现在就缩小到这个了

刚才这些关系式

就是从这里读出来的

有了这个以后

我们就马上可以得到

一系列的关系式

为什么呢

首先在柱坐标里面的基矢量

er是可以用直角坐标里的

ex ey ez来去展开的

任何一个矢量都可以对不对

所以它会给出ex前面一个系数

ey前面一个系数

还有ez前面一个系数

那这个系数是多少呢

假定ex前面是待求的

你两边点乘上ex就完了

两边点乘上ex

这个就变成er点乘ex

这个ex点乘ex等于1

这个剩下就是那个系数

剩下的这些ex点乘ey等于0

ex点乘ez等于0 后面都没有了

所以这个系数

这个系数就是er点乘ex

er点乘ex在这儿给出来了

那这个的系数是什么呢

是er点乘ey

因为你两边点乘ey的话

这项没有了

这项垂直没有了

这项只有这个系数

所以这是er点乘ey

那么er点乘ey在这儿出来

然后er点乘ez

er点乘ez是等于0

所以这一项根本就没有了

同样这个式子

这个式子的系数是eθ点乘ex

你读出来

这是eθ点乘ey

eθ在点乘ez等于0 没有

把这两个反解就可以得到这个

或者不用反解

这是用ex ey 直角坐标

反解 用柱坐标的基矢量来表达

这个系数是什么

是ex点乘er

这个式子是eθ点乘ex

ex点乘er还是这个

这两个可以来回换

这个是eθ点乘ex

eθ点乘ex是这个

再往后应该是ez点乘ex

是等于0就没有了

所以这个也一样

这个是er点乘ey

这是eθ点乘ey 这些都有

为什么我们开始费半天劲要

根据这个图把这个画出来

有了那些这一串就有了 对不对

那你说有这一串有什么用呢

别忘了我们是讨论这个基矢量

新的这些基矢量

和坐标的依赖关系

那比如说我问这个基矢量

对坐标变换

在柱坐标里随r和θ是怎么变

那么我们知道ex ey还有ez

是不随坐标变的

所以在这个等式里面

ex ey不管你是微r 微θ 微z

微所有的这些它都是

微商都等于0

或者说不参与微商的

所以这个里面要对er微商

很重要的是看这个θ是对r微不微商

但是这么微商是把r和θ

是作为独立变量

所以微r的时候 θ是固定的

所以θ是不参与这个微商

所以在这个里面对r微商的时候

等号这边所有的都没有贡献

都不参与微商 所以就等于0

但是对θ微商就不一样了

你看对θ微商 我们说ex ey

原来说了所有的坐标的微商

都不参与 是等于0

但是这个就参与了

一微是什么呢

cosθ是负sinθ

这一块是cosθ

你看负sinθ cosθ

你看正好是这个

所以它就是等于它

就是微这儿了

正好是eθ 这就是很重要的

这个基矢量对θ的变换

微商就是它

这个图像就是这个基矢量

要对θ微商

相当于是转一点

这个转一点就是这个

它显然是有关系的

然后你还把可以这个东西对z微商

这肯定是等于0

因为这些跟z都没有关系

这样的话

er对三个柱坐标的微商

这都算完了

然后算eθ对三个坐标的微商

柱坐标

eθ对r微商也是没有贡献

eθ对θ微商就有贡献了

对θ微商这是-cosθ

这是-sinθ

然后把一个负号提出去

就是负的这个 就是它

所以对eθ 就是对这个微商

这个对θ一转一下

它反而是往负的r的方向

这么走了

然后eθ这个项跟z没关

然后剩了ez呢

与r θ z都没关系 就等于0

所以你看到这个柱坐标的基矢量

对柱坐标的坐标去做微商里面

很重要的就是对θ微商

会有两项是不等于0

这是和直角坐标很不一样的地方

好 然后我们来去算这个

微分算符 所谓▽

就是倒三角那个算符

用这个柱坐标来去表达

这个微分算符它实际上是用

在曲线坐标里

是用每一个小的

坐标的线元作为分母

然后它的坐标的微商

在柱坐标里面

一个线元是这个r方向的

dr的变化

还有一个是θ这个角

对应的那个小的弧长

就是r乘上dθ 这个角度

再乘上那个就是小的那个弧长

第三个就是z方向的就是dz

那么这个微分算符呢

就是底下除上这个小的线元

然后乘上基矢量

对这个小的线元去做微商

这就是微分算符在曲线坐标里的

一般的表达式

注意这个的基矢量

一定写在微分算符的这一边

为什么呢

按我们的约定

这个写在这边

它是不参与这个微商的

在直角坐标里面

你把它写在这一边

写在另一边没关系

因为它的微商是等于0

但是在曲线坐标里面

在这里面就不一定了

因为像这个东西是不等于0的

这个不等于0 这个不等于0

在这里

所以一定写在这边

表示这个不参与微商

那么把这个微分算符

作用一个标量场Φ

就变成是这么一个表达式

这是标量场的梯度

在柱坐标下的表达式

好 刚才我们说到了

这个柱坐标下

这个微分算符的表达式

还有把它作用到一个标量场上

标量场的梯度

一个矢量场在柱坐标下

就按它的基矢量去做展开

由r方向的分量 θ方向的分量

z方向的分量 三个

跟我们原来直角坐标

x y z分量是类似的

那么矢量场的散度

就是把这个微分算符和

这个矢量场作用到一起

中间的矢量关系是用点乘

就是散度

所以写出来就是这个算符

再是点乘 然后这个矢量场

写在这儿

那么和直角坐标的运算

有什么差别呢

就差别在这些微分算符

有可能要作用到这个基矢量上

在我们前面直角坐标的计算里面

它作用在那基矢上都等于0

所以直接就微

只微这些系数就是了

现在就多了一些项

具体的像这个里面要微它

要微它就有两项

对不对

微前面系数的那些项

就是标准的写出来

然后如果是微前面的系数

后面这个就是er和er点乘

eθ和eθ点乘 ez和ez点乘

因为其他的都是正交的就等于0

所以就只有这几项

那么剩下的微基矢量的这个

只有哪个有贡献

从我们前面的知道

只有对θ微商会有贡献

所以对θ微商 就这一项

只有这一项会有贡献

所以我们就把这一项

是要微到后面的er eθ

对这一项微商也没有贡献

只有这两项有贡献

这两项我们把这个微商抄下来

就是一个是这个 一个是这个

抄下来

抄下来你会发觉

eθ对θ的微商是er

这个er再和这个eθ点乘又没有了

是正交的

所以这项也没贡献

最后只有这一项有贡献

这个出来的是eθ和它点乘是1

所以多贡献了一个这个项

所以在柱坐标里面

一个矢量场的散度

除了通常的对

矢量场的这些系数的这些微商外

多了一个额外的这个项 非微商的项

这个是曲线坐标的特点

如果我们把这个f

就看成是一个矢量场

这个倒三角的这个微商算符

那么这两个做散度

就变成什么

拉普拉斯算符

就是拉普拉斯算符就是这个

你就把这个fr就看成是这个东西

fθ就看成是r分之一 偏偏θ

fz就看成是这个

就把这里代进去

那你就直接得到拉普拉斯算符

在柱坐标里面是这个表达式

那么我们的柱坐标的曲线坐标

就多了这么一项

它是一个一次微商的

其他的正常的都是二次微商的

就多了这一项

刚才我们说了矢量场的散度

标量场的梯度

还有拉普拉斯算符

进一步矢量场还有旋度

矢量场的这个旋度

和这个散度的差别

就是这儿换成叉 叉乘

这个计算呢

只是换成叉乘而已

那么一个是还是一样

前面的微商都微到这个系数上的

前面这儿抄了一大串 抄下来了

这是正常的来去算

大家对一对一个一个项

还有一个这个曲线坐标

额外多出来的

就是这个微商算符

就是这一项微到后面的基矢量

一个是这个项 一个是这个项

这个两项不等于0

具体写出来就是两项

这两项你把它 把这个结果

这个结果和这个结果

代到这里面去叉乘 叉出来

就多了这个项

剩下的都是对这个的微商了

因为这个微商出来

是eθ叉乘eθ等于0

刚才点乘的时候有贡献

现在是叉乘

自己和自己叉乘等于0

这个是er所以出来这一项有贡献

这一项写出来就是这个

这比通常的叉乘多了一个这个项

是旋度

好了

这个柱坐标就说到这里