电势及其满足的微分方程在线视频

大家好

我们现在开始介绍

电动力学的第二章

静电场和静磁场

这一章是整个电动力学里面

最庞大的一章

主要是讨论静电场和静磁场

实际上是分四个部分的内容

一部分是静态的电荷分布

产生的静电场

第二部分是稳恒电流

产生的静电场

然后是稳恒电流产生的静磁场

最后是多极展开

这一章是我们整个

电动力学里的物理的基础

它提供了很多

电场和磁场的计算

和处理的办法

我们电动力学的习题

也主要出现在这一章

下面先讨论这一章的第一节

静电势及其微分方程

在这一部分里面

我们要讨论两个事情

一个是电势

及电势满足的微分方程

再有是我们给一个

关于电势的数学定理

所谓的非极值定理

它给我们电势的分布

有一个大家宏观的印象

首先我们从在第一章里面

通过实验定律建立的

麦克斯韦方程组出发

也就是这四个方程

我们现在要讨论

是静态的电磁场

也就是具体写下来

就是电场随时间的变化率

和磁感应强度

随时间变化率等于0

那么如果这两个电场和磁场

不随时间变化

在麦克斯韦方程组里面

这一项就等于0

这一项也等于0

其中电位移矢量

利用电磁性质方程

在我们电动力学里面

只讨论最简单的情况

也就是D等于

ϵE的情况

因此∂E/∂t等于0

也就对应的是

∂D/∂t等于0

那么这两项等于0

这四个麦克斯韦方程组

就变成这两组

四个麦克斯韦方程组

我们发现在

静态的电磁场情况下

电场的量

电位移矢量和电场强度

自己满足一组方程组

磁场的量

磁感应强度和磁场强度

满足一组方程组

它们这两组方程组

是互相不耦合在一起的

也就是这句话所写的

静态的电场和静态的磁场

互相是不关联的

因此呢它们的方程

是两组独立的方程

因此我们可以进行分别的讨论

而在随时间变化的情况

这个磁场的变化会产生电场

电场的变化会产生磁场

它们的电场和磁场

是关联在一起的

所以你没有办法分的别讨论

因此在静态的

电磁场的情况下

比随时间变化的电磁场

处理起来要简单

因为可以单独的处理电场

也可以单独的处理磁场

这是为什么

我们把静态的电磁场

作为物理内容的讨论的最开始

来进行讨论的原因

好 下面我们进一步

在这一节里面

就着重来讨论静电场的部分

实际上后面几节

也都是先讨论了静电场

静磁场我们放在比较

靠后的位置

我们静态的电磁场的

麦克斯韦方程组

刚才从一般的麦克斯韦方程组

把电场随时间变化率取成0

就得到了是这个方程

然后再加上我们以前的

在第一章给出来的

电磁性质方程

D等于ϵE

还有我们的洛伦兹力公式

只讨论电场的情况

那么这两个方程

在这个边界上

实际上就是对应的

这两个边界条件

就是电位移矢量的法线

是有不连续 会跳跃

电场强度的切向是连续的

其中这个n是

界面1和界面2之间

从1指向2的这个

单位的法向矢量

从这个我们后面讨论的

静电场

实际上就是这些方程和边界条件

从这个出发来进行

具体的物理的讨论

首先我们讨论一下电势

实际上在第一章里面

最开始从库伦定律

引入电场强度的时候

我们就引入过电势

现在呢我们从

麦克斯韦方程组出发

重新的再把电势

重新讨论一下

从另外一个角度

由于这个方程

这个电场的旋度

静态的电场旋度是等于0的

因此我们就知道

在任何一个空间的环路上

对电场做一个环量的积分

就是这个

按照我们数学准备

给出来的关系

它可以变成这个环路上

所包的曲面上的曲面积分

其中被积函数就变成

这个电场强度的旋度

而电场旋度在静电场情况下

是等于0

因此它告诉我们

电场的环量是等于0

电场的环量是

因为是绕一圈的积分

那么我们就可以把

这个一个回路

中间一端某一个地方

设成一个点1

另外一个地方设成点2

那么这个环路积分

就相当于是从1积到2

然后呢再沿另外一条路

从2积到1积回来

那么整个这个环路

加起来等于0

就是1积到2

加上2积到1是等于0

2积到1和

把它的那个积分倒过来

反过来从1积到2

把从外一条路是

就是减去1积到2

这样的话这个环路积分等于0

实际上告诉你

从1积到2的两条路径是相等的

因为从1积过来

然后再一个负的

从1沿另外一条路积过来

两个是相等

加起来正好是它的环路

也就是告诉你

从1积到2的这个

曲线的积分和这个曲线没关

因为你沿第一条路径

和第二条路径是相同的

这样这个曲线积分

本来就依赖于起点1和终点2

它和中间的路径没关系呢

那就是说这个积分完的这个数值

只是起点和终点的函数

那么我们 而且

它和起点和终点的关系

按照积分的定义

它是后面的减前面

后面减前面

所以它是终点的数值

减去起点的数值

我们就可以把这个积分

定义为一个函数

它依赖于终点的值

和起点的值的差

就是定义这么一个电势的函数

这个电势的函数

实际上如果这个距离是无穷靠近的话

实际上这个式子

就是这个式子

就是电场等于电势的梯度

这块有一个负号

为什么是这样的结果呢

你把这个电场强度代到这个里面

按照我们数学准备里面

所算的积分

这个就可以明显积出来

积出来就是这个结果

因此这个表达式

电场强度和电势的关系

和这个是等价

整个这一串的讨论

告诉我们什么呢

就是静电场它的情况下

也就是电场的旋度等于0

这时候这个电场

一定可以表达成

一个标量场电势的梯度

就是这么一个结果

那么这时候电场是决定了

两个点之间的电势的差

如果要确定这个

电势的绝对值的话

我们需要对

电势的0点做一个约定

在通常的情况下

我们习惯是把

无穷远的电势定为0

那么这样的话

你如果把这个2这点

选成无穷远

那么2这点的电势选成是0的话

那么这个式子

就变成是这样

就是说1这一点的电势

就是从1积到无穷大

这个电场的曲线积分

而电场是什么

电场在我们最开始引入

电场强度的时候

它的含义是

单位的试探电荷所受到的这个力 电力

因此呢这个是单位电荷

所受到的电力

这个电势就可以表达成

单位电荷所受到的静电力

再点乘上

这个受静电力

把它移动的这个距离

从1跑到无穷大

从这个式子我们就得到

这个电势的含义

它是把单位电荷

从场点推到无穷远

靠这个静电力

或者是这是正电荷

如果是负电荷

就是从无穷远推到这个场点

这是什么

这是电场力所做的功

所以这个电势或者是标量势

是把电荷

从正电荷从无穷远移到场点

这个电场力所做的功

另外这个式子告诉我们

我们在数学准备里面

给过梯度的图像

根据那个梯度的图像

然后还有这个式子

我们就得到电场是电势的

空间的最大变化率

加一个负号 负值

它的方向呢

就是垂直于这个等势面

就是等势面的这个法线

所以说电力线是和等势面

是垂直的

方向是从高电势指向低电势

是因为有这个负号

就是电场强度

实际上就是电势的空间变化率

最大的那个空间变化率

在这里我们引入了电势

注意到电势是一个量

而电场强度是矢量

是有三个分量

所以我们既然可以用

电势表达出电场强度

因此在实际的计算里面

显然计算电势

比计算电场强度简单

所以我们更希望是直接

先计算电势

然后把它求梯度

加一个负号就得到电场强度

因此在静电学的计算里边

绝大多数都是来处理

直接处理电势

我们麦克斯韦方程组就

还有它的边界条件

需要都知道化成是

用电势来去表达的

那么这个麦克斯韦方程组

把D等于ϵE

E又是等于负的电势的

梯度代进去

就是这个式子

其中负号移到等号另外一边

注意这个式子

实际上按照第一章

我们的讨论

如果是对这个ρf是自由电荷

空间的自由电荷

如果是点电荷的话

我们说过它就是δ函数

而δ函数如果是对均匀介质

拿过去

可以除过来

最后变成是一个拉普拉斯算符

作用到电势等于一个

如果是点电荷是一个δ函数

而在数学准备里面

我们知道对一个点源

一个δ函数

这块是一个平方

R平方分之一

平方反比作用到那上

正好是δ函数

所以呢它告诉我们

对于点源来说

直接对应的电势

就是平方反比

这就是我这里写的

平方反比率导致的是

局域的这个场的方程

你要很多点电荷

把它叠加起来就是了

还有一个麦克斯韦方程组是

电场的旋度的方程

电场的旋度方程

直接是通过引入电势ϕ

就是恒满足了

那么剩下还有

这个方程如果是在边界上

就是这个边界条件

然后D等于ϵE

E又是等于电势的微商

所以呢这个边界条件

用电势来去写

就变成是这个样子

其中这个∂ϕ/∂n

∂N是指的那个界面上

那个法向的

对应的法向的那个坐标

具体写出来

这个ϕ的梯度和∂ϕ/∂n

是这个关系

是这么定义的

这个负号就移到这边来了

那么在边界上

还有一个对应的那个

电场的切向是连续的

那个条件

在这里面我们是

注意到我们是用这个电势

来去描述 电势我们说

这个两个点的电势差

是可以用这个电场这么联系的

这是刚才我们刚推导过的

这个式子在边界上

如果1和2分别选择上

边界的第一个介质

和第二个介质的话

在边界上

这个式子就导致成是这个结果

其中这个是边界上的

偶极层的密度

这是边界的法线

这是介电常数

下面我们就推导一下这个式子

这个式子是说

边界上如果是有偶极层

就是两层电荷

一个界面一边是正的

一个界面是负的 无穷靠近

这是形成偶极层

如果没有偶极层

这个电势就是连续的

下面我们通过这个

来去证明一下这个式子

电势一般有这么一个关系式

这是我们在第一章

这是库伦定律

实际上给出来的电势的表达式

我们把这个界面

是这么选

这个界面是在这个中间

一面假定有偶极层

这是正电荷

然后一面是负电荷

这个n是从1指向2的

这个法线

两个这个偶极层的

每一层是有一个电荷密度

叫σf

这边是正的

这边是负的σf

然后这个距离是dl

最后这两个σ

这个面电荷密度

乘上这个dl

就是它的偶极层的密度

也就是这个式子

这个偶极层密度

等于面电荷密度

乘上这个dl

那你说为什么这么定义

因为一个电偶极子的

偶极矩就是电荷乘上

它的中间的

正负电荷之间的距离

现在是这个面电荷

那么这就是面电荷密度乘上它

就是偶极层的密度

这个是密度 这也是密度

是这样

而对这么样一个正负电荷

一个相当于是一个大平面

中间的电场

按照我们以前的这个

高斯定理就可以知道

中间的电场强度

是这个表达式

是这个电荷密度除上

ϵ0

而电荷密度除上ϵ0

电荷密度可以用这个

偶极层密度代过来

就是这个表达式

用矢量写下来

就是偶极层密度

如果这个方向也是从

正电荷指向负电荷

就是加上一个矢量就是了

这个电场强度的矢量

就是这个表达式

这样的话这个表达式里面的

电场强度点乘上这个长度

电场强度用这个式子代进去

然后点乘上dl

这两个的 这个n和这个τ的

方向是一样的

所以只换成Τ的大小就行了

然后这个dl约掉

我们就得到这个表达式

这个表达式你看看

这边E点乘dl

加一个负号就是这两个的差

然后这边是等于它

所以这个式子和它结合起来

就是这个结果

就是边界上

如果是有偶极层的话

那么电势就是会不连续

但是这种情况在实际的自然界

出现的是比较少

一般的这个界面上

两种介质界面上

都不会有这个偶极层

所以我们在这个课里面

在后面具体的讨论里面

实际上都是用的电势连续

也就是这个是等于0

所以我们通常说

电势在界面是连续

是假设它没有偶极层的情况

好 这一节的第一部分

我们就说完了