静电唯一性定理在线视频

大家好

我们现在开始介绍

电动力学第二章

静电场和静磁场的第二小节

在第一小节里我们把

静电场的麦克斯韦方程组

改成用电势来去描写

然后给了一个它的普遍的性质

从这一节开始

后面的连续几节

我们就要去求解

这个静电势所满足的方程

那么有各种各样的不同的方法

我们从这一节呢

首先讨论一个比较数学化的方法

是唯一性定理及其应用

我们在这一节里面

介绍两个部分

一个是静电唯一性定理

这是唯一性定理里面

最一般的一个定理

再有一个我们讨论一个

稍微特殊一点的情况

就是在一般的

静电唯一性定理里面

假设有一部分导体存在

这时候你会发觉

导体存在的情况下

静电唯一性定理

可以得到简化

因此我们把有导体

存在时候的唯一性定理

特别的抽出来

给大家再介绍一下

好 首先我们说第一部分

静电唯一性定理

先把这个定理的内容

给大家交代一下

静电唯一性定理

是讨论一个区域里面的

电势分布的情况

这个区域我们写成

被一个外边界S0所包围

中间呢又挖掉了一些洞

中间的洞就S1S2

它有若干个

我们要讨论静电势的分布呢

是被S0和S1 S2 S3 S4等等中间

包围中间的这些区域

那么在这些被包围的区域里面的

可以有介质

这个介质呢不要求它是均匀的

它可以是所谓的分区连续的

也就是说在中间讨论的这个区

可以分成不同的几个区

每一个区有一个介电常数

这个介电常数

可以是空间坐标的函数

那么不同的区之间的

那个介质的交界面

那个静电常数

中间是有一个不连续的 跳跃的

为了方便讨论

我们假设所有的这个介电常数

都是大于0的

如果是在某个特别的区

介电常数小于0

我们可以单独的拿出来

进行特别的讨论

假设在这个

讨论的区域里面的自由电荷

如果是中间的

是体电荷密度

还有这个介质的交界面上的

会有面电荷密度

假定都是已知的

所注意所谓说已知的

就是我们是知道它这个数值的

在方程里面是我们能够

写下来这些数值的

这是我们对这个求解区域里面的

性质的一些描述

还有一些边界条件

我们需要假设

一个是在这个区域的边界

包括S0 S1 S2

这个边界上有两种条件

一种条件是

边界上的电势是一致

通常这在偏微分方程的理论

叫第一类边界条件

就是电势在这个边界上的

Sl就是可以是外边界

S0和中间的这些边界

S1 S2 S3等等

或者不知道这个

边界上的电势

但是知道边界上的

电势的法线导数就是这个

边界上电势对这个

边界的法线的这个坐标

求导数在这个边界上

或者说用电场强度

就是电场强度

在这个边界上的

法线的这个数值是已知的

这叫第二类边界条件

第一类边界条件是

知道边界上的电势的数值

第二类边界条件是知道这个

电势在边界上的

法线导数的数值

这两个选一种

也可以混合起来

就是一部分边界是知道数值

另外一部分边界

是知道它的法线导数的数值

还有一个

这是如果这个外边界

不是在有限空间 是无穷远

就是整个全空间

那么这时候这个外边界的条件

就不是用这两个

而改用所谓的

无穷远自然边界条件

无穷远自然边界条件

是你要求这个电势

在很远处是按r分之一衰减

或者是电场强度

按r平方分之一衰减

这叫无穷远自然边界条件

把这些内容全部合在一起

我们利用前面给出来的电势的

麦克斯韦方程组和边界条件

唯一性定理就告诉你

由这些条件决定的电势

空间中的电势和电场

电场强度是唯一的

电场强度唯一

当然电势可以差一个常数

是这样

这唯一性定理就说

中间的电场是唯一的

有些人可能会问

你说这个唯一有什么用

我们在证明之前先说一下

实际上这个唯一是告诉你

就这些条件足以

通过那些方程和边界条件

把这个解

电场强度的解固定死

因为很有可能

特别是偏微分方程

我们知道

如果不加边界条件的话

那个解是无穷多

你当那个边界条件

不足够强的时候

那个解可能不是唯一的

可能会有若干个解

或者无穷多个解

当然你边界条件也不能太强

太强了互相

根本就没有解决冲突了

也不行

这个唯一性定理就告诉你

我们的边界条件

取到什么样的程度上

这个解是唯一固定死的

下面我们就来证明

这个静电唯一性定理

一般的讨论是

这么一个外边界

中间挖掉一些洞

在证明的时候

中间的挖的那个洞

我们就可以省略掉了

后面我们可以拿出来讨论

会发觉中间的证明过程

中间那些洞很容易就加上去

因此呢我们就讨论一个

外边界

中间是实心的

但是因为我们说中间的介质

是分区的连续

我们为了体现这个分区连续呢

我们把中间的介质分成两个区

一个一区和二区

一区和二区的交界面上

那个静电常数是有不连续的

跳跃的数值

而在一区里面

那个静电常数

可以不是常数

是随空间坐标变化

但是它是一个连续变化

就是说可以求导的

那么我们要证明

在这样的这个一个体系里面

有一个外边界

然后这个外边界上

这个它的边界条件

要么是第一类边界条件

第二类边界条件

也就是说电势的数值

或者电势的法线导数是已知的

然后中间有这些

麦克斯韦方程组

然后内部的这个边界上

有我们前面上一节给出来的

电势的那些条件

边界之间的条件

再加上里面的电荷

还有这个面上的这些电荷

都是知道的

这些条件我们来证明

这个里面的电场是唯一的

那么证明这个唯一性呢

需要做的呢也是反证法

我们假设它不唯一

就是有两个解

你一开始设它是两个解

但是推出来

最后两个解是一样就完了

因此呢我们在求解的

这个区域里面呢

第一个区电势叫Φ1

第二个区的解叫Φ2

因为每一个区都是设两个解

所以我们呢加上

一个一撇和两撇

所以在第一个区

有一个Φ1一撇

有一个Φ1两撇

第二个区呢

Φ2一撇 Φ2两撇

我们要证明呢

这个带一撇这个电势

和带两撇这个电势是一样的

实际上不是电势是一样

是电场强度一样

电势是可以差一个常数的

那么由于在中间的这个区

我们说这个静电唯一性

一开始要求中间的

电荷是知道的

所以呢第一个区的电荷

是叫做ρf1

1就表示第一区的这个电荷

由于是已知的

所以这两个电势满足的

这个方程

麦克斯韦方程组

都必须是等于这个

已知的这个电荷

这是我们前面推出来

在第二个区都必须满足

第二个区已知的这个电荷密度

这是它满足的方程

然后边界条件

在这个第一个区

和第二个区的

分区连续的交界面上

那么是我们说

我们一般的电势在这个界面上

是可以有这个

如果是有偶极层密度的话

可以不连续的

但是我们具体讨论呢

都是没有偶极层的情况

所以那时候电势是连续的

所以第一个区的电势

和第二区的电势

在这个里面这个介质的

交界面上是连续的

就在S一撇上

它的数值是相同的

这是第一个解

对第二个解同样

它也是连续的是这样

然后在这个面上

然后还有这个

电位移矢量的那个

对应的这个边界条件

就是这个

在第一个区和第二个区的交界

对第一个解

对第二个解是这样

注意这个界面上的

自由面电荷的

面电荷的密度是已知的

所以虽然左边这个解

是可以一撇 可以两撇

可以不同

但是右边因为是已知的

所以它就必须等于

这个已知的面电荷密度

这是在中间

这个面上的两个边界条件

对应两个麦克斯韦方程组的

两个边界条件

再有在外边界上

我们说了在外边界上

是要么是第一类边界条件

第二类边界条件

对第一类边界条件是说

它的这个外边界上的

这个电势是已知

所以一撇在S01是

是相当于是在第一个介质的

这个外边界上

它是等于这个已知

已知的

具体是多少我就不说了

假定是已知 但是呢

你是假设有两个解

但是呢你这个电势是已知的

所以不管你是什么解

都必须等于这个已知的这个

所以在第一个区里面的

第二个解它也得等于它

同样在第二个区的外边界上

不管是第一个解

第二个都等于已知的

这个电势的数值

这是对第一类边界条件

当然也可能不是第一类边界条件

是第二类边界条件

那就是电势的

在这个外边界的法线导数

是等于已知

但是由于这是已知的

不管是第一个解

还是第二个解

都得等于它是这样

所以我们整个对

这个中间区域的这些电势

两个解

就有这一串方程和边界条件

这一大堆

我们要证明

这一串方程和边界条件

决定出来的电势

然后近一步算出来电场

带撇的和带两撇的

是相同的就完了

我们把这个方程化简化简

像这两个方程

就可以减一减

就是这个减去它

因为方程右边的

这个电荷分布是一样的

所以呢这个一减就等于0了

这两个一减就是它

这两个一减就是它

这个式子和这个式子

这两个式子做个差

就是这个式子

这个式子和这个式子

两个一减就是这个式子

所以呢上面的这两组

最后就化成这么两组

然后最后这个

在外边界的这个式子

就变成它

这个式子就是这个

这两个移过去

就是这个式子

这个式子就是这个

这样的话

前面这个黑颜色的

这些方程边界条件

就化成这些蓝颜色的

方程边界条件

这是算的是什么

是两个解的差的电势

对不对

你要最后能算出来

这个差的对应的这个电势

再算出来电场是等于0

那这两个解的电场就是一样了

我们很重要的

就是把这一组方程边界条件

要去进行求解

那么下面呢

根据这一组方程边界条件

我们来证明这两个解

实际上是一样的

我们算这么一个量

这是一个区里面的电场

假设第一个电场

和第二个电场的差值

然后求一个模

模平方

然后呢乘上一个ε1

在第一个区的整个空间

体积积分

然后第二个区的

两个解的电场的差

模的平方

然后乘上ε2

你说你为什么算这个量

注意这个量里面的积分的

每一个小的积分元

都是恒正的

我们假设介电常数是正的情况

那么如果你算出来

这个每一项都是正的

如果你算出来

这个两个量合起来是等于0

那只能它里面的被积函数

每一项是等于0

因为没有减

没有正负抵消的

那么里面

如果被积函数这个等于0

实际上就是里面的

第一个解和第二个解相同

就是只要能证明这个量等于0

那么这两个解的电场强度

就是恒值相等的

我们下面就是

开始是看不出来

这个是不是等于0

为什么能要构造这样的结果

是因为这么样一个量

我们最后可以通过

前面的方程和边界条件

证明它等于0

如果不构造这样的量

你换成一个其他形式的量

你可能就证不出来

现在说如果它是等于0

就推出来这个

那么这个唯一性定理

就证出来了

下面呢在这里面我们有赖于

假设这ε是正的对不对

两个区

实际上你如果ε是

全都是负的话

你把那个区

这块改成一个负号就是了

所以这个并不限制

全是那个ε是正的

我们只是拿ε是正的

这个来去做具体说明

下面呢我们要做的

这个静电唯一性定理

就是把证明这个等式是等于0

那么所依据的

就是前面我们的方程

和边界条件

前面的方程边界条件

就是这一堆

好了 下面就开始证

把这个电场强度

用电势代进去

电场强度是等于电势的梯度

有一个负号

这是求绝对值的平方

就是自己点乘自己

那负号就没有了

所以呢这个就换成

第一个解的梯度

这个换成第二个解的梯度

然后这个梯度都拿出来

就变成两个解的

电势的差的梯度

然后这是个矢量

自己就在点乘自己模平方

这个也一样

1换成2就是了

这个具体写出来

实际上就是这个式子

模平方的含义

就是矢量的这个

模的平方的含义

那么我们下面是要

希望证明它等于0

就要用前面的方程和边界条件

注意到前面的方程边界条件

边界条件是要把它

这个化成边界上

那边界上呢

就是要变成是一个全微商

就可以化成

体积分就可以化成边界上

然后还有呢

我们的方程注意到

你看一下这个方程

算的是什么

方程是这一个梯度

再乘上ε

再做散度

方程是这个样子的

所以方程是这个样子呢

也就意味着

如果这一个微商是把

一个ε

和这个乘起来

再做一个微商

那个项是等于0的

所以我们就希望

把这个式子化一化

怎么化呢

本来这个微商是微着

前面这一部分

我们现在呢连这个

（16：28）

和这些全都一块微

就这一串

这个式子化成这个

这个里面它微商呢

后面含这个空间坐标的

有这个ε

有这个 有这个项

单独微这一项

中间这个

这一项的这个就是它

看看

按这个我们求导数的规则

剩下还要微

这个和这个乘起来的

这项是多的

这上面没有了

那么就把它扣掉

后面这个就是把这个这里面没微的

微了这个

其他这两个没微的

后面这一块微

所以整个这个项扣掉这一部分

就是它

同样1换成2

就是这个项换成这两项

那么这有什么好处

这个的好处就是前面这一项

就变成整个是全微商

就可以换上

这个区域的边界的表面

这个现在我们区域

就是第一个那一半

那个介质

它的外表面和第二个的交界这个

这个就可以换成

那个表面的表面积分

表面积分你就可以

用面上的那个边界条件了

这个什么

这一部分不正好是刚才那个方程吗

所以这个就是等于零

第二项这个等于零

这个是对第二点一样是等于零

所以就剩下前面这两项

前面这两项换成

前面那一半的

那个体积的表面的表面积分

同样这个换成第二个介质的

这个表面的表面积分

而这个表面分成两部分

一部分是外表面

一个是和第二个介质交界的

所以这个表面的积分

S01是它的外表面

然后S02是它的外表面

还有1和2的交界的这个叫S一撇

这边也有一个S一撇

当然S一撇我们是从1指向2的

就是对1来说是外法线

那么这个的这个边界

如果它的往外指

是从2指向1

2指向1和1指向2

差一个负号那个法线

所以我们

用这个1指向2的那个是正的

所以就到第二个这个体积的

那个和第一个体积交界的

这个因为法线的定义是1指向2的

这个2指向1的时候

用1指向2就多出一个负号

是这样

然后这个结果你看一下

这两项

这是在外边界上

外边界上

我们是说

这个要么是第一类边界条件

要么是第二类边界条件

第一类边界条件

就对应的在外边界上

这两个电势是差是等于零的

所以这项就等于零

就没有了

这个外边界这个就等于零

这是外边界第一类边界条件

如果在外边界上

是第二类边界条件

那就是它的那个法向导数

法向导数是它的方向点乘上它

就是这两个的法向导数的差

对不对

第二类边界条件

在外边界上就是这一项等于零

就是这个梯度的

和这个面源的点乘

这个差是等于零

那么在第二个也是

这个S02就是第二个介质的外边界

就是这个

所以不管是第一类

和第二类边界条件

你只要是在这里面选了一个

这个的被积函数里面

要么这项等于零要么这项等于零

所以这项恒是等于零

只要是第一类

和第二类边界条件选一个

它就是等于零

那么内边界

这个我们刚才推出来的是这一项

Φ1一撇这两个的差

和第二个区域的这两个差是相同

看一下

在里面的是这个

你看

这个电势的这两个解的差的

在这个内边界上这两个相同

然后它们的法向导数

乘上ε是相同

是这个

这两个回到这儿

现在的含义就是

这个部分直接1就换成2

就是了

然后ε乘上它就是这个点乘

就是n点乘上它

就是偏n

和这个ε乘上它是相同

整个合起来就是

整个这个被积函数

和这个被积函数是相同的

然后这也差一个负号

所以两个是相同

被积函数相同

差一个负号就消掉了

所以这个是不等于零

但是它们互相消掉了

这个刚才说的分别都等于零

那整个就都等于零了

等于零了就得到这个

虽然我们假设有两个解

但是这两个解最后证明它的

这个电场强度是相同的

这个

这样的话我们的

静电唯一性定理就证出来了

对这个

那你说你现在选的这是

是中间没有挖洞的

那么中间如果是挖了洞的话

实际上挖了洞在这个计算的时候

除了这个τ1的这个外边界

还会有中间的内边界的

那个边界的那个

那个边界

并且和这个是一样

你只是把这个S01S02

换成内边界的那个边界就是了

那这个证明和这个是一样的

要么它是这个电势的差是等于零

要么是第二类边界条件

法向导数等于零

就说中间挖的洞的部分的处理

和这个是完全是一样的

不管你挖多少

或者是你分更多的区

有更多的中间的这个界面

介质的都是处理和这个是一样

所以中间不管挖多少洞

中间分多少区

这个都是等于零的

再有说如果是外面的边界

不是有限大

是无穷远的无穷远

我们说无穷远是用自然边界条件

不是用第一类和第二类边界条件

那么你就看这个

这个假定是无穷远的话

无穷远的话我们说

要求电势是按r分之一的

然后电势在微商

就是电场强度是r平方分之一

所以这个被积函数这个是r分之一

这个是r平方分之

被积函数是r的3次方分之一

就是随着r趋于无穷远

但是无穷远的

这面源积分全部积起来

就是4πR平方整个的面积

就是4πr平方

那么被积函数是r的3次方分之一

面源整个的贡献是r平方

就是r的平方

除上r的3次方是r分之一

到那个r趋于无穷大

到无穷远就趋于零

所以只要有

无穷远只要有自然边界条件

它的边界条件的面上的这个积分

随着r趋于无穷大

那个面趋到无穷大

就是趋于零

所以在无穷远这个也是等于零

所有的这些就告诉你

不管是你这个中间划多少个区

挖多少个洞

外边界是有限还是无穷远

它都是等于零的

所以这个式子

我们的静电唯一性定理

就算证明完了

好

这是我们这一小节的第一部分