麦克斯韦方程组的积分形式在线视频

大家好

我们现在开始介绍电动力学

第一章的第二部分

我们在这个第二部分中

介绍真空中的麦克斯韦方程组

在第一节里面

我们把真空中电磁现象的

一些实验规律

给大家罗列出来了

在这一节里面

我们就依据这些实验定律

利用一些我们数学准备中

所讲授的数学方法

所谓数学中的场论的方法

通过一些演绎和推导

把麦克斯韦方程组推出来

麦克斯韦方程组有两种形式

一种是所谓的积分形式

一种是微分形式

我们先从积分形式开始

首先我们从我们列的实验定律

一个一个走下来

首先是电荷守恒

是说的在一个封闭的体积里面

电量如果减少了

那么就是这个电量就流出来

就单位时间这个体积里面的

电量的减少

是等号的右边

就等于单位时间

从这个体积表面流出来的电量

这就表示这个电量

不会自己产生和湮灭

要少了它就跑到别的地方去了

电荷守恒

这个式子本来就是积分方程

所以这已经是一个

麦克斯韦方程组的

一个积分的形式

直接就是了

不需要再做什么推导

然后是库仑定律

我们从库仑定律的受力

我们说引入场的概念

两个电荷元之间的受力

可以用元产生场

然后元在场里面受力来去表达

那么元产生场的公式就是这个

产生的场是电场长度

这是库仑定律的表达式

这是一个积分表达式

我们现在由这个表达式

要推出电场强度的一些积分方程

我们为此先把这个库仑定律

做一些变形

这是我们理论物理经常做的

把一个物理量的表达形式

换成另外一种表达形式

这个R比上R的三次方

可以换成R分之一的梯度

加一个负号

这个梯度是微的

r减r'那个小的r

就是场点的那个r

R分之一的梯度的负号

是等于R比R的三次方

这是我们数学准备里面计算过的

注意这个微的是场点的r

而这个积分变量是r'

所以这个东西对这些微商

都可以没有作用

就可以直接拿到最外面来

这些都是常数

这些拿到最外面来

就变成里面这一团

就先做了积分

对r'做了积分

积分完了以后 和r'没关

只剩一个场点小r的函数

然后做一个梯度

我们把整个这里面的这一团

这个量定义为所谓的叫电势Φ

它是一个因为r'积掉

就是小r的函数

然后再做一个梯度

就是这个电场强度

这里面的这个东西就是这个

当且这个差一个常数

因为这个是没有关系的

因为梯度一微商这个常数

就没有了

所以由这个表达式我们得到

由库仑定律给出来的电场强度

可以用电势来去表达

本来这个电场长度是一个矢量

是三个量

一旦它用电势表达

就是说它核心的这三个量

是来自一个量

是一个标量的梯度

取一个负号

对不对

而这个一个标量场的梯度

我们在数学准备里也讲过

它的含义

它实际上这个是这个Φ的

空间变化率

好了

有了这个表达式

这个很重要的表达式

我们在特别是讨论静电场的时候

以后可能就不算静电场

直接算这个电势

因为算电势就算一个量就行了

你要算电场强度要算三个量

很复杂

算这个就效率比较高

所以后面下一章

谈静电场的问题的时候

主要是谈怎么求解这个电势Φ

好 现在有了这个表达式

我们现在讨论这个电场强度

在任何一个曲面的边界上

假定一个曲面有一个边界

这个边界上这个是一个曲线

这个一个封闭的曲线边界

在这个边界上做一个环路的积分

所谓做它的环量

按我们数学准备给出来的定理

这个曲面的边界的环路积分

可以换成这个曲面所包的

面积上的面积分

然后里面是要做一个旋度

这是我们相当于是斯托克斯公式

而这个E这时候就可以带

我们刚才引入的电势的这个关系式

把电势带进去

而这个倒三角和这个倒三角的

叉乘是等于0

所以这个就等于0

这是说的什么

库仑定律给出来的

电场强度的环量

在任何一个曲面的边界上的环量

是等于0

就是没有旋的

再有我们讨论这个库仑定律

给出来的这个电场强度

在任何一个封闭体积的

表面上通量

这表面的表面积分

从它这个表面往外通量是多少

这个也是按我们的数学准备

给出来的那个关系

在这个体积的表面

做一个表面积分

是等于这个体积上的体积积分

只不过里面被积函数

变成全散度 是一个E的散度

把这个E再用这个代进去

这个负号拿出去

这个倒三角和倒三角点乘

就变成拉布拉斯算符

然后这个Φ

这时候再把这个式子代进去

这个Φ的定义代进去

注意这个拉布拉斯算符

微商是微的大的R里面的

场点的那个小r

和这个r'是没有关系的

所以它直接可以微到R分之一上

就变成这个样子

R分之一用拉布拉斯算符

作用是什么

是我们数学准备

最后给出来的δ函数

是负4π乘上这个δ函数

δ大的R

这样的话这个τ'

就是r'的积分就可以积掉了

就又把r'换成r就行了

多了一个4π 就变成它

这个4π和这个k1

4πε0分之一

是把那个4π约掉

就剩了一个ε0分之一

然后这个负号和这个负号约掉

最后就变成

这个积分是什么呢

是这个体积里面的总电量

所以这叫除了前面这个系数

后面叫Q内

就是这个体积内的总电量

这个叫做高斯定理

是说的这个电场

在一个封闭体积的

这个包围它的这个曲面的积分

是等于这个体积里面

所包含的总电量

这是它的通量

这是它的环量

下面再对这个

得到的这个高斯定理

反过来来理解理解

实际上这个高斯定理

直接和库仑定律的平方反比

是一一对应的

如果它的通量不是

是等于里面的这个电荷的话

是另外的东西的话

它有可能平方反比就不对了

我们看一下是怎么出来的

这是刚才得到的高斯定理

我们假定这个空间的电荷

分布在一个坐标原点附近的

一个区里面

然后在这个区附近

我们以这个坐标原点为中心

做一个半径为r的这个球面

这个电荷如果不是

对球对称分布的话

这个球面上

通过的这个电场的通量就是这个

这个是整个包整个球的通量

我可以看一个小的立体角

那块过的那个通量

就是不是做整个这个球面的

一部分

不同的方向的立体角

它要是这个电场不是球对称的话

不同的那个通量可能不一样

但是没关系

我们做一个平均的来去看

因为这个通量

电场的通量是E乘上这个面元

就是等于通量

那你把面元除过来呢

电场就可以等于通量

除上这个面元对不对

那么如果说我不计

在不同的那个立体角方向

那个通量不一样

或者说你要求这个电荷分布

是球对称的

那就各个方面都是

通量都是一样的

那么你就可以这个通量

就可以扩充到

如果各个方向都是一样的话

就可以扩充到整个这个球面

这个就变成整个球面的面积

那么就是整个球面的总的通量

4π立体角总通量

然后整个球面的面积

是4πr平方

就是说如果是球对称的话

这个电荷分布在里边

是球对称的话

这个电场就等于它的总通量

除上4πr平方

对不对

这不就得到了一个什么

这一团电荷和它在这个球面上

所产生的场

和这个坐标原点这个r的关系嘛

这不就是平方反比嘛

但是你光这么看

你说这个不见得是平方反比

你说平方反比

这确实是一个平方反比

但是这个通量和r

如果是要有依赖

它就不是平方反比了对不对

是不是最后要是真正的平方反比

必须这个通量和r没关系

这才是真正的平方反比

我们的那个高斯定理

告诉你的是什么呢

是说这个包的这个球里面的

这个通量

就是这个东西

就是等于里面的电荷

假定这个你包的这个已经

把所有的电荷都放进去了

那么你这个r再大一点呢

它还是那么多的电荷

再大一点还是那么多电荷

只要你R扩大的时候

不包含新的电荷进来的时候

这个q就和r没有关系

那这个通量就和r没关

就是这个式子定义的

就和这个没关

那它就是平方反比

所以从这个式子就看出来

就是由于这个式子

比如说你就说我就说一个点电荷

它就放在那个坐标原点

那你那个球扩的多大

它都是那么多

对不对

所以有这个式子就直接决定了

它这个东西和r没关

这个就是平方反比

所以这个怎么和平方反比

就怎么过来的

本来这个式子

本来是一般的就可以

就可以有的

但是它没有确定

物理上你要给出来

这个通量和r到底有关没关

而你这个现在库仑定律

最后告诉你

实际上它和这个是没关

就是里面的那个电量的话

这个就没关

这个就平方反比就出来了

所以这是平方反比率

这是从高斯定理倒过来理解说

平方反比从高斯定理

怎么可以推出来平方反比

好 刚才是说

我们最开始的电荷守恒

然后还说了库仑定律

叠加原理我们就没说

因为叠加原理

本来在推这些的时候

那个电场可以不同电荷加起来

叠加原理就用了

就隐含的就在用

所以就不说了

剩下这个库仑定律说了

然后是毕奥萨伐定律

毕奥萨伐定律给出来磁感强度

是这个表达式

由这个电流源产生的

在场点产生的磁感强度

是这个表达式

我们同样把它

像推电场的关系的时候

把它划下来

把这个R比R的三次方

同样换成R分之一的梯度

这一个负号

这个倒三角同样可以拿出去

但是这个拿出去

因为这是这个和它叉乘

就涉及到翻过来一下

翻过来把这个负号拿掉了

这是叉乘叉乘

这个叉乘

矢量叉乘是它和它叉乘

但是微商只微这个R分之一

注意这就把这个磁感应强度

化成另外一个矢量

再做一个旋度对不对

我就把里面这个矢量

叫成这个

叫矢量式

那么一般的来说写成这个呢

你会发觉可以加一个

任意的一个标量场的一个梯度

搁在这儿是没有贡献的

因为这个倒三角叉乘再叉乘它

等于0

所以这项也是可以随便加的

所以这个项我们j乘上dl

是那个电流走的小电流管

我们说过J乘上dl

还可以用它的电流密度

乘上那个小电流管的体积元

这个是线积分

这个是体积积分

我们以后说几种不同的

来回互换着用

这个换成另外一种

这个项是抄下来

加的这个项

我们课程以后会慢慢的讨论

现在就先搁在这儿

反正这个项对磁感强度没贡献

那么有了这个矢量式的引进

磁感强度就是矢量式的一个旋度

这个类似于我们刚才推的

引入的标量式

或者是电势Φ

电场等于电势的梯度有一个负号

但是那时候电势是一个标量

我们说电场强度是一个矢量

电势是一个标量

用电势算

用一个量取代三个量要省事

这个磁场矢量式也是个矢量

磁感强度也是个矢量

一点儿都没省事是不是

所以为什么要这样

这个后面我们随着

课程的不断深入

会更仔细的来去说

实际上这个矢量式

是有很深刻的物理的含义的

后面慢慢说

现在就是引进来这么一个量

反正是毕奥萨伐定律

给出来的磁感应强度

它就可以写成这个形式

就可以写成这个形式

这个A就是这个表达式

好 我们有了这个表达式

我们同样像电场的问题一样

讨论这个场强的一个环量

和它的通量

首先现在算一个通量

因为通量比较容易算

在电场的时候

我们先算的是环量

通量就是在一个封闭的体积表面

做磁感应强度的通量

一个体积的表面做通量

这个东西按照我们数学的定理

是等于在这个体积里面

这个被积函数的散度

而被积函数的散度呢

B现在可以用这个代进去

写成这个又可以来回换

变成这个倒三角和倒三角

自己叉乘 又等于0

所以磁感应强度

在任何一个封闭的体积的散度

是等于0

这和电场的那个正好形成是对照

电场的对应的这样的式子是

算通量是高斯定理 刚才算的

是等于这个体积里面

所包含的电荷对不对

那你磁场如果是这么算

如果直观的类比着看

它应该是这个体积里包含的磁荷

但是现在没有磁单极

就没有磁荷

所以它就等于0

然后再算这个磁感应强度

在任何一个曲面的边界上的

那个环量

这个因为后算

是因为这个比较麻烦

凡是以后我们涉及到磁场的

推导的时候

都比电场推导要麻烦一个量级

所以我们磁场都放在后面一点

因为技术上比较复杂一点

同样按我们前面的数学准备

把这个磁场的环路积分

变成这个环路所包围的

那个曲面的曲面积分

然后里面换成是旋度

再把这个磁感应强度

具体的这个表达式写出来

这个是磁感应强度最开始

那个算成R的三次方比R

毕奥萨伐定律

换成R分之一的梯度的

这个代进去 这个式子

这里面 这个是电流管

J乘上dl'

换成电流密度

然后这块是体积元

然后这个叉乘

因为叉乘

它是是场点的那个r

场点r在哪依赖

只有这里面有

所以这个叉乘是跟它

还是接着叉

写成这个矢量

就是这个矢量

这个叉乘还是这么

但是这微商是微的

这个里面的小的这个r

把这个两次叉乘做出来

就有一个是

这个和这个点乘

就是倒三角这个平方

一个是这个和这个点乘

这一项 这么两项

那么在这里面呢

再说一下把这个电流载的

这个回路

换成体积积分的时候

本来这个体积积分

是要包含那个电流所在的

那个区域

那我干脆就取到无穷远

就全空间

因为全空间其他地方没有电流

所以这个画多大都没关系

这个 所以这个写成无穷大

这个体积是全空间的

只要有电流的地方

本来就该包括

没有电流地方

你再写这个被积函数等于0

没贡献

剩下的就要算这一项

这是 因为是比较复杂

所以要一步一步的算

首先算这一项

前面这一项

前面这一项里面

我盯着前面这一点

这一部分 这一部分你看

就是这一项

这个项两个都是微 这是

其实相当于是个二阶张量

然后和它这个点乘

其中把第二个这个微商

改成对r'的微商

就差一个负号

因为这是r减r'的函数

这出一个负号

然后这个微商呢

本来只微这个

R分之一的梯度的

现在连这个一块微

也就是合在这

这里面这个东西

微后面的这个项就是前面的

微前面这个项多出来了

后面这项扣掉

后面 这前面是负的

后面是正的

就把微前面这项扣掉了

这样这两项合起来就是它

好 这一项是个全散度

就可以变到面上

这个体积分全散度

就可以变到面上了

这一项抄下来

这一项是等于0 为什么呢

我们刚才说的

画到这个无穷大的空间

那这个面呢

就是无穷远那个大面

我们现在电流全在有限的空间

你说我这电流

可以一直往大了走

那我这个面就跨得更大

反正我扩的比你大

最后那个 让那个面上

是没有这个电流

所以在面上电流等于0

这一项就没有了

然后就是后面这一项

后面这一项看起来不等于0

但是这个j的散度是等于0

为什么j的散度等于0

我们来看一下

因为我们现在要求的是

电荷是静态的

电荷不随时间变化

电荷守恒就是一个封闭的体积

电流流进去多少

就是流出来多少

里面不会静增加不会静减少

所以这是一个封闭体积电荷

稳恒电流的一个条件

流进去和流出去

这个按我们的数学的那个定理

这一个

在一个封闭体积表面的

表面积分是等于

体积积分里面全散度

那么这个等于0

现在这个体积是任意的

我把体积缩到无穷小

这个就变成皆的散度等于0了

就是这个

你把这个里面的

这个变量都换成r'

就是这个

所以这个就等于0

所以现在讨论是

稳恒电流的情况

这一项就等于0

这个是面上没有电流

这项等于0

好 这什么意思呢

里面的这项根本不用做这个积分

头一项自己就等于0了

就没有了

就剩下第二项

这里面第一项就没有了

就剩下第二项

第二项负号拿出来来去

然后这个dS乘上这一项就写在

这又是什么 δ函数

δ函数把这个r'积掉

就换成r'换成r

就这个 这个是什么

通过你的那个曲线包围的

那个曲面的电流强度

对不对

然后这个k2是等于

μ0除上4π

那么4π约掉就是μ0

这个就是那个电流强度

这个电流强度是什么

就是你那个曲线包的那个面的

曲面过的那个电流强度

所以整个这个磁感应强度的环量

就等于这个环包的这个

通过的这个电流强度

这就是安培环路定理

这是毕奥萨伐定律

推出来的磁感应强度表达式给出

这是一个式子

前面还给出一个

磁感应强度的通量等于0

然后还有最后一个实验定律

是法拉第电子感应定律

就是这个表达式

这个表达式本来也是

就是一个积分方程

就写在这了 但是这个

注意这算的是电场强度

在一个曲面的所包的那个

边界的那个环量

对不对

它说这个环量是和这个

磁感应强度时间变化率的

曲面积分 有这么一个关系

而我们刚才库伦定律推出来的

电场强度的

在一个曲面的边界上的环量

是等于0的

这两个看起来冲突

实际上不冲突

那个是静态的电场出来的

这个可以随时间变化

因为这边是随时间变化的

所以这个是包含它的

就是你如果磁感应强度的

时间变化率等于0就是这个

所以有了法拉第电子感应定律

我们就把库伦定律推出来的

这个东西就放弃了

把它嵌到这个里面

作为它的一个子部分

所以从这个看

你那库伦定律

你也不能全都坚信它

因为它只是在静态的时候

在有一些情况下推广的时候

它有一部分你是不能

是要用更广泛的更一般的形式

也就是法拉第电磁感应定律来测

刚才我们从这个高斯定理

电场的高斯定理逆向来理解

可以推出这个库伦定律的

平方反比什么关系

你把这个安培环路定理

也可以像高斯定理一样

倒过来逆向理解

可以来理解

一个无穷长的电流

它产生的磁感应强度

是和这个R是成

一次方的反比的这个关系

这个因为和那个

高斯定理的那个类似

所以大家自己下去看一下就是了

我们就不再仔细讲

好 到此为止呢

我们就把从刚才的实验定律

得到的几个麦克斯韦方程组的

积分形式

实际上就都给出来了