例4在线视频

第四个例子就更复杂一点

这个例子

刚才是说的一个无穷大的导体板

外面放一个点电荷

现在我们整两个无穷大导体板

这个无穷大导体板

无穷大导体板我们说了

它就接地了

两个无穷大导体板

这是x轴

然后都是接地

中间就漏出来一段空间

然后这段空间的某一个地方

放一个点电荷q

这个点电荷离这边这个板

距离是a

离这边的这个板距离是b是这样

那么这个点电荷产生的电势

你就可以用我们库仑定律给出来

是什么4πϵ0r

这是分母上

分子上是一个q

我们把它叫做Φ0

现在我们要求这空间的

中间空的这一块的电势分布

实际上这个点电荷

会在这个导体板上感应电荷

这是我们刚才算的

也会在这边

这个导体板上会感应出电荷

也是我们刚才算的

但是这个

比刚才还要复杂的地方是说

这两个导体板之间的感应电荷

还会互相感应

也就是说这个导体板

当你这个导体板上

这个点电荷在这个导体板上

感应出来的电荷

这部分电荷对这个导体板

还会产生再感应

同样这个上面产生的

这个点电荷在这个导体板

产生的感应电荷

这些电荷对这个导体板上

又是外面

它又会感应

互相会不断的感应出来

最后是一个无穷多的电荷的体系

下面我们就看一下这个东西

图象上是怎么算 用镜像法

刚才说了是

我们最简单的是用加一个

在非求解区加一个镜像电荷

来去满足边界条件就OK了

然后不行了

复杂一点

得加两个

这个实际上是告诉你

是要加无穷多个镜像电荷才能

我们下面来去看

无非你加镜像电荷干什么呢

就是要使边界条件满足

现在的边界条件就是

这个面是要电势为0

然后还有这个面电势为0

就是现在是有两个面的电势

都必须为0

就你加多少感应电荷

一定把这两个面的电势

全都弄成0 就可以了

基本是这么着

所以我们一个一个做

按我们刚才一个导体板的经验

要使这个面上的电势为0

你就在它的对称的那个点

加一个负号的电荷

就是这个Φ

它产生电势叫Φ1

这两个合起来

就保证这上为0了

这是我们刚才

一个无穷大导体板的时候的经验

所以叫Φ0加Φ1

是满足这上电势为0的条件的

好 但是这反映的是

这个负q反映的是这个点电荷

在这个面上感应出来的电荷

好 这是第一个镜像电荷

那同样这个点电荷

还可以在这个面上

这个导体板上感应出电荷

那么也就是在它的对应的这个点

这边是b这边也是b

加一个负q

这个负q产生的电势叫Φ2

就是这个Φ0和Φ2加起来

是能保证这个面上的电势为0的

对吧 所以这么着

但是你会发觉这么样的话

Φ2和它合起来

是这个面上为0

Φ1和它是这个为0

还是还做不到两个同时都是为0

那么怎么办呢

然后我们比如说看这个Φ2

这个电荷

本来是从

这个电荷在这个板上感应出来的

但是这个电荷对这个板来说

又是外面的电荷

所以这个q2在这个板上

还会再感应 对不对

所以在这个板上再感应出来的

我们叫Φ3

它的应该是什么

以这段距离为对称的

变成这段距离

这是负q的

那边就是正q

所以在这个位置

放一个正q

那么它的场叫Φ3

这个Φ3和Φ2

对这个板来说合起来

是它的电势为0

就是加起来

这里写的含义

是这两个加起来

在这上是等于0

这是这个负q在这个板上的感应

同样这个电荷

刚才算的是这个电荷

在这边的感应

这个电荷也会在这个板上去感应

那么这个电荷在这个板上的感应

就是要按镜像法

就是这段距离

对称的这段相同的往这边

这个距离

然后电荷是反号

这个产生的电势叫Φ4

这个Φ4和Φ1合起来

是在这个面上的电势是为0

然后你这个Φ4这儿感应过来

这个是这个板在这个上感应出来

这个Φ4在这边

又会在这个板上去感应

那么在这个板上再感应

就是在这个板上

就是这段距离

这段距离对称的相等的到这边

然后用一个负号的

所以它的感应电荷叫Φ产生的场

电势叫Φ5

这个Φ5和Φ4合起来

是保证这上的电势为0

同样这边的Φ3也是一样

Φ3在这边产生的镜像电荷

这个电荷在这个外面

在这个板上也会感应

那就是这段距离

这个产生的镜像电荷的势叫Φ6

Φ3和Φ6是加起来是这

这你可以不断的往下走

就会发觉正q 负q

一直的无穷的这么下去

当你发觉无穷加下去以后

总的电势

我们就是1 2 3 4 5 6 7 8

一直往下走

你会发觉这边

在这个板上是1 3 5 7这么

然后0 2 4 6 8

中间是Φ0

就所有的全部加起来以后

1 2 3 4 5 6

从0到12345678

所有的都在里面

在右边是另外一种排列

是0 1 3 5 7

2 4 6 8这么着排起来

每一对都使这个上的电势为0

那么全部的加起来

自然使这板上电势为0

这个也是每一对

都使这上的电势为0

加起来为0

所以整个全部的这些加起来

无穷的系列加起来

正q 负q 正q 负q拼起来 加起来

最后既使这个面上的电势为0

也使这个面上电势为0

所以它就是它的解

但是这个虽然是写出来的

但是是一个无穷级数

而且是正负相间的

这么加起来的

有人会问说

你到底这上的电荷量是多少

这就变成加q减q 加q减q

你可以是通常的数学的

叫做什么特别的级数

你可以变成是0

因为你正q负q合起来

你也可以加若干个正的再去减

可以得到任何的值 这两边的

所以这是一个叫做发散的级数

那么不知道该怎么办法来求

我们下面就换另外一种办法

来把这个电荷到底

在这上的电荷量是多少

给它算一下

我们这么着考虑

这段距离刚才说的是a

这段距离是b

假定这边的总的电荷量加起来

就是正q负q全部加起来叫qA

这边的总的电荷量叫qB

好 然后我们中间考虑

它的这个区域

中间空的这个区域

体积叫v

这个v我们画一个体积

这个v把贴着这个导体的表面

往里一点

就把导体表面

实际上这些电荷

就是分布在这个表面上

导体里面是没有电荷的

我们就把那个体积v

稍微的把这表面跨界一点点

画这么一个大的体积

在这个体积上

我们来算它的总的电荷

总的电荷就包括qA qB

还有这个q

q就是等于这个电荷密度

这么一个积分 对不对

然后按麦克斯韦方程组

它就等于ε0乘上电场强度的散度

电场强度的散度

对体积积分

就可以变成这个通量

这实际上就是高斯定理 这个量

然后再算另外一个

算所谓的偶极矩

这实际上把电荷密度

多乘上一个x的坐标

这实际上是偶极矩的x分量

后面我们在这一章的最后一节

谈多极展开的时候

会给出它的严格的定义

现在就先定义这么一个量计算它

然后同样这个电荷密度

按麦克斯韦方程组代进去

ε0乘上E的散度

然后把这个微商符号 本来是

在这个里面

只微这个电场

现在连x坐标也一块微

就写成是这个样

写成这个样里面

微这个电场的

就是前面这个项

微x这一项原来没有 多了

那就后面扣掉这个

把这个微x这个扣掉

然后这个一微它

实际上是等于偏偏x

这块只有微商的

有偏偏x 偏偏y 偏偏z

那么只有偏偏x有贡献

所以它只有x分量

也就是E的x分量有贡献

E的x分量就是Φ对x的

微商加一个负号

把负号拿过去变成正的

就变成是这个样子

这是全散度

这都是全微商 对不对

所以这个是全微商

就可以变到面上

所以整个你看定义的这两个

都变成是面的积分

就这个体积

我们说中间包的这个体积的表面

包的体积的表面

这个体积有两边侧面的这个面

就是在这个导体上

导体上的里面的电场

导体我们是

这个体积的表面

跨的导体里面一点

这个电场根本就为0

所以这个E

导体上电场根本就等于0

导体上因为导体上电势也是为0

是接地的

所以在这个侧面

这个导体上的

这部分的体积的积分

这个E都等于0 Φ也等于0

所以就没有贡献

剩下还有就是中间空的这一部分

还有侧面空的这一部分

这一部分都是离电荷是无穷远的

离无穷远的

电荷产生的场的贡献是衰减的

因此那个衰减的

最后它也是没有对这个是

而这个面积

这个侧面的面积

就是那个是衰减的

所以那个面积是一个

上面就是这么宽的一段

然后侧面是这么一个

那个比起这个

它的衰减是压不过它

所以侧面的这个也是等于0

也有是什么意思呢

整个这个曲面的积分

这些都是等于0

这个是等于0

这样的话

我们就得到这么一个关系

这个式子是整个这个体积里面

包含的所有的电量

那就包含这个点电荷

还有这个侧面的

整个这个面上的这个电荷

我们刚才说叫qA

也就是这些所有正负正负加起来

还有这个面上的点电荷

这边所有的

正负正负加起来叫qB

所以这个式子就给出来

是总的电荷是满足这么一个条件

我们要求这个qA和qB

那么这个式子等于0

实际上告你的是一个点电荷

这个实际上是一个矩

就是点电荷是δ函数

积出来就是乘上

它到你那个坐标原点的距离

x的距离

这依赖于你坐标原点的选取

这个式子是坐标原点选在这儿

坐标原点选在这儿的话

这个面上的这个电荷是qA

qA乘上它的矩

就是它到你那个坐标原点的

x的距离

就是a加b

所以是qA乘上a加b

然后这一段是q乘上b

所以这个东西等于0

实际上按这个

就是这个式子

就是它这个里面有贡献的

一个是在这个面上的

这个是qA乘上一个a加b

因为到这个原点这是a加b

然后这块是q乘上b等于0

还有一种是坐标原点选在这儿

坐标原点选在这儿就是

在这个面上的电荷是qB

到这个距离是a加b

qB乘上a加b

然后q乘上它

是q乘上这段距离乘上a等于0

所以我们就有三个方程

然后实际上有qA和qB

来可以把它解出来

结果解出来

你代一代解出来的关系式

就是这个式

qA和qB是这么一个关系式

就是说这个正负正负

如果满足这些条件的话

它是加出来的

不是等于0

也不是等于某一个值

只能等于这样的特殊的值

这是镜像法的第四个问题

再有一个我们想说

我们前面说过

镜像法的镜像电荷就是这些

是一个虚拟的

不是实际出现的

因为实际上这个电荷都分布在

这个表面上

在这里面我们说静电的时候

静电平衡的导体里面

是没有电荷的

所以这些电荷

只是代表这个面上的电荷

在这个求解区的贡献

它们是一样的

只是代表它们的效应是这个

所以通常的说

镜像电荷是没有直观的图像

就要因为它不是实际存在的

但是你仔细看

实际上镜像电荷

还是可以有实际的物理的含义的

就是说这样一个分布

我们实际上可以

假定考虑另外一个体系

就有这么多电荷分布在这上

但是没有这个导体板

就是真空

有这么多的电荷

你可以发觉

这个时候

这个体系的电势的分布

在中间这个区域里面

和现在的区域是完全一样的

唯一不同的是

这时候没有导体板

所以这个区域里面

也有电势分布

也有电场

这个区域里也有电势分布 电场

但是这样的情况

这就是一个镜像电荷

就变成一个实际的电荷

就是这些电荷都在这儿

然后它的场也都在这儿

只是它跟我们现在讨论

有导体板的情况有什么

一样的和不一样的地方呢

一样的地方

就是在中间这个区域里面

它们的场和势的分布

是完全一样的

不一样的地方

是在所谓我们现在非求解区

它们的势和场是不一样的

但是在那种情况里面

它的镜像电荷

变成实际的电荷

就是那么些电荷

只是没有导体板而已

所以说对镜像电荷来说

实际上它是可以代表另外一种

你把导体去掉

然后镜像电荷就变成实际的电荷

变成一个实际的物理情况

那个物理情况

和你现在讨论的情况

在求解区它的场是一样的

只不过导体不存在而已

所以镜像电荷

还是可以挖掘出

它有一个现实的含义的