矢量势的多极展开，磁多极矩在线视频

下面我们说它的最后一部分

这个磁的多极展开

磁的多极展开

我们只说前面的一部分

那么后面有一部分

是留给大家自己去做练习

作为作业 磁的多极展开

我们和电的多极展开

实际上很多地方都是对应的

只不过把电换成磁就是了

电场的时候我们是用库仑定律

给出来的电势的表达式

然后进行展开来去算的

那么磁场就是用毕奥萨伐尔定律

给出来的电流分布

产生的矢量势的表达式

然后把这个r分之一

去做幂次展开

就是这个一串的式子

然后n阶项

就是磁的多极展开的n阶展开项

这里面的第n阶项

把它抽出来就是这一串的表达式

在这里面对应于电势的多极展开

那块是电荷密度乘上n个坐标

构造一个电势的多极矩展开的

那么磁是电流密度乘上n个坐标

构造一个磁的对应的多极矩

但磁的这个多极矩

比电的那个多复杂

除了有n个角标

这个电流密度还是这个矢量

所以这个除了有n个角标

还有一个矢量这么一个量

这个多极矩

这个磁的这个多极矩

对应的就是这么一个量

那么把这个矢量势

每一级的矢量势再做一个旋度

就是对应的磁感应强度

因为矢量势的旋度

就是磁感应强度

所以每一级展开

你都做个旋度就对应的

每一级项的对应的磁感应强度

我们把前面两阶项

给大家做一个仔细的讨论

首先算这个0阶项

在这里面展开的0阶项

就是n等于0

0阶项具体写出来

就是这个表达式

你看对应的前面这个里面的

就是n都等于0

n等于0就是这些角标都没有

这个微商也都没有

这些都没有 具体的写出来

这个j就是这个表达式

下面我们证明对静磁场

这个项根本就等于0

具体的看一下

这个多极矩写出来

是电流密度的体积积分

全空间的体积积分

那么我们可以写成

是这么一个表达式 为什么呢

因为这个表达式微两项

一个是微电流密度的

是电流密度的散度

电流密度的散度

我们说对静磁场

是按那个电荷守恒定律

电流密度的散度

加上偏ρ偏t等于0

但是对静态的电磁场

电荷密度不随时间变化

所以电流密度的散度是等于0

就稳恒电流

所以微它的是这样等于0

然后微它就是一个并矢量

并矢量和它再一点乘

就是j自己 就是它

那么这样的话这个积分

就变成是一个全散度

就变成可以积分的积的表面上

我们这个表面可以扩到无穷大

在无穷远的那个面上

电流密度是等于0 所以就没有了

所以这一项这个根本就是等于0

所以零阶项是什么

实际上零阶项对应的电的零阶项

就是把这个体系看成一个点电荷

现在磁的零阶项

就把它对应的看成是一个点磁

或者所谓的磁单极

但是在我们这个体系里面

是没有磁单极的 只有电流

所以这个就没有磁单极这项

就等于0

所以零阶项是一个平庸的

什么都没有

这就具体的就是说了这几句话

稳恒电流分布

导致的可以写成全微商

所以这个多极矩

零阶的多极矩等于0

然后这个零阶相当于

把它说成一个磁单极

没有磁单极就等于0

再有说这是静态的稳恒电流分布

如果是不是稳恒电流

是随时间变化的

假定有一个电荷

在空间某一个点

离坐标原点r0位置的一个点电荷

那么按照这个来去算

这个j是等于ρ乘上v对不对

ρ就是点电荷就是一个δ函数

基出来就是电量

然后v就是它的那个速度

就是r0一点 所以这个积分对

如果是一个运动的点电荷来说

它实际上就是Q乘上r0一点

然后这个Q乘上r0一点

实际上这就是它的

这个点电荷相当于

坐标原点的偶极矩的时间变化率

因为偶极矩就是等于

一个Q乘上一个L

然后你再这个加上一个一点

那个L是随时间变化

这就是偶极矩

所以如果是这个运动的点电荷

它不是一个稳恒的电流

这时候这项就会有贡献

但是我们现在谈的

是稳恒电流的情况

这项就没有

我们下面考虑磁偶极子

也就是磁的矢量势的

多极展开的第一阶项

前面我们证明了

零阶项是没有贡献的

在静磁场情况下

一阶项的结果是这个表达式

我们下面来证明

这个矢量势的表达式

给出来的是一个小电流圈的贡献

所谓磁偶极子的贡献

把这个微商做出来

对r分之一的微商

写出来就是它的分量除上

多除一个r平方

再加上原来的

就是r三次方分之一

这个是我们的磁的多极矩的

一阶的那个矩

我们下面来证明

这个表达式的结果

可以写成这么一个样子

首先我们把这个磁的

这个矢量势多极展开

里面出现的多极矩的项写出来

这是原来定义给出来的在一阶

在这个用分量写出来

原来是这是j的矢量

用分量写出来

基矢量乘上它的分量

在这个还有

本来还有一个下标i

是代表这个坐标Xi一撇

我们把这个项凑成

加一项减一项凑成四项

其中这项是对应的

这个里面的这项和这项

第一项和第三项

第一项和第三项是一样的

加起来是二倍

把这二分之一拿掉

然后第二项和第四项

是差一个负号减掉了

第二项和第一项的差别

就是i和k两个角标交换了一下

那么但是这是负号 这是正号

所以头两项对两个角标

i和k交换是反对称的

就换一下这个角标会出一个负号

后一项对这两个角标交换

是对称的

交换一下是不变号的

我们下面来证明

后面这一项实际上是没有贡献的

因此最后的结果

就只剩下前面这项的贡献

先算后面这项

后面这项实际上可以写成

一个全微商的样子 为什么呢

因为这个全微商里面

分微电流密度 微两个X

微电流密度的这项

是电流密度的全散度

在稳恒电流静磁场的情况下

电流密度的散度是等于0

所以微第一项是等于0

微第二项相当于把

这个一微微商就变成δLi

就要求L这个角标是等于i

那么在这个里面

这个L等于i 就是jiXk一撇

jiXk一撇就是这一项

所以微第二项

就是后面的这一项

同样微第三项是要求L等于k

那么就是jkXi一撇

就是第一项jkXi

所以在这个全微商里面

微第一项是等于0

微第二项是里面的

前面的这个第二项

微第三项是前面的第一项

那么这样写成了一个全微商

就可以变到面上

无穷远的面上没有电流密度

就等于0 所以这项就等于0

好 这是把在这块出现的

这个磁的一阶的这个矩

写成这样的形式

在这个式子里面

是一阶矩的第i1个分量

和X的第i1个分量

这个乘积乘起来

然后对i一求和

也就是这样一个表达式

注意 这是用的i1角标求和角标

这是用的i求和的角标

我们下面来证明

这个东西实际上是

等于一个磁偶极矩

叉乘上一个距离

我们把这个j给出来的

这个表达式代进去

也就是在这个里面

再乘上一个Xi 然后对i求和

Xi乘进去 Xi乘进去

改回用矢量的来去写

前面这两个就是r点乘r一撇

后面然后这个

和这个电流密度分量

就是电流密度的矢量的表达式

这个和Xk一撇合起来

就是r一撇这个矢量的表达式

剩下的是j和r的点乘

这个式子直接可以用

两次矢量的叉乘来去表达

把这两次矢量的叉乘写开

改成用点乘就是这个结果

这里面前面的这一部分

我们就定义成

这个体系的磁偶极矩

是二分之一r一撇叉乘j

所以把它定义成这个样子的话

这个式子就是m叉乘2

也就是这个分子上的这两项

合起来就是m叉乘r

剩下这些抄下来

这样的话我们就证明了这个式子

那么这是一般的情况

一个磁多极展开的一阶项

这里面我们定义了

这个体系的一个特征的量

叫磁偶极矩

这个磁偶极矩写出来是这个样子

如果这个体系的这个电流

是一团运动的电荷来去

点电荷来去产生的

那么我们这电荷的这个电流密度

就是ρ乘上v

而点电荷的电荷密度

ρ是电量乘上δ函数

δ函数一积分就积出来了

所以对点电荷来说

它实际上就是r叉乘点电荷的电量

和它的那个速度

那么也就是r叉乘电量

和点电荷的这个速度

如果把这个q换成这个

电荷所在的这个质点的质量的话

这个一叉乘就是它的角动量

那么所以你可以除上

一个这个带电粒子的质量

乘上一个带电粒子

乘上带电粒子质量

和这个r叉乘还有这个v一撇

就是这个带电粒子的总的角动量

前面就是有一个这个q

还有一个那个里面

原来多出来的一个质量

那么如果这个体系

有好多个点电荷

它对这个磁偶极矩有贡献

那么就每一项都加起来就是了

如果这些不同的这个带电粒子

它每一个带电粒子的

所谓的电荷除上质量

所谓的荷质比都是一样的话

也就是说和这个

具体的每一个没有关系

那么我们就可以把这个提出来

提出来以后里面

是所有的角动量相加

就是这个体系总的角动量

也就是说对一个体系

所有的带电粒子的荷质比

是相同的这样的体系

它的磁偶极矩

就和它的角动量成比例

前面有一个荷质比的这个系数

那么我们刚才得到了

这个磁偶极子的矢量势

就是这个表达式

那么把它做一个旋度再去得

就得到了这个它的磁感应强度

是这个表达式

其中磁偶极矩是这个量

那你说凭什么说

它是一个磁偶极子

实际上我们现在说的磁偶极子

在电动力学

实际上是一个小电流圈

因为我们没有磁单极

我们只有电流 小电流圈

这个小电流圈是这么定义的

这个电流绕这个面的这个圈

一圈这么转

然后这个小的面元是趋于零

这个电流强度绕它的趋于无穷大

但是维持这个电流强度

乘上小的面元的面积

是一个有限的这么一个体系

对这样一个体系你可以证明

它在磁的这个

多极展开的里面呢

贡献就是这第一阶项

所谓零阶项本来就没有

因为零阶项刚才一般的证明

它是没有

所以本来最低阶的就是它

只是说要证明

我们来用刚才定义的

磁偶极矩这个量

来去说明对这么样一个体系

它的磁偶极矩的大小

正好是电流强度乘上面元的面积

然后再说明它的高阶项

刚才算到一阶 二阶 三阶

高阶项都是没有贡献的

我们把这个式子具体的化简一下

把这两个r一撇叉乘j反过来一下

注意到这个电流

是这个小的这个面元的边界上

绕一圈

我们可以这个电流的几种描述

这是用小的体积描述

也可以用它的小的线元

乘上电流强度

乘上它的那个小的dl长度

电流管的长度来去写

这样的话因为它是一个回路

这是小面元的边界

所以它是绕成一圈

这么样的积分

那么这么一个环路的积分

一个曲线积分

按我们的以前的

数学准备的关系式

这么一个环路积分一圈的

就可以这个操作和这个操作

是等价的 这是我们以前证过的

这样的话你就代进去就是了

这是一个这个小的环路包的面积

然后在这个面积上的那些微商

坐标的微商

这个微商看起来挺复杂

我们就分量一个一个算

这个倒三角写成这个微商

因为它只是微后面的这个

然后这个L一撇

写成这个和它基矢量

这两个一微是δij

就把这两个写成是一样的了

写成一样的这两次叉乘把它写开

这里面这个点乘上它

再乘它自己

实际上就是ds自己

这是等于三倍 这是等于三

所以这是ds一撇自己

减去三倍的

实际上是负二倍的ds一撇

负二倍和这个前面的

负二分之一约掉就是它

这一积分就是这个小的面元自己

所以确实是对这么一个

小的电流圈它的磁偶极矩

就是等于它的电流强度

乘上它的小的面积元

那么算更高阶的呢

高阶同样这个s

实际上就是它的小的体系的

这个电流圈的限度

叫l一撇的平方

在高阶上它又比它多一些l一撇

比r的幂次

那l一撇趋于0 就等于0了

所以高阶也没有

这个磁的多极展开

我们就说到这

然后本来还有一个

磁的那些能量 受力 力矩

这些的可以用多极展开来去计算

这个留给大家后面作业去做

最后我们再把这个

这一部分的结果

再给大家回顾一下

我们在前面这些讨论中

一步一步的通过泰勒展开

证明了一团荷的分布

是等于球对称的分布

就是最低阶的偶极分布

四极分布等等

那么所依赖的基础

就是这么一个

任意的一个函数的泰勒展开

那么这个泰勒展开的这个系数

这个系数实际上

对应我们现在实际的处理的

电场和磁场

就是标量势和矢量势的

就是对应的它的多极矩

好 第二章的最后一部分

也是我们整个的第二章

到此就介绍完毕